第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省深圳高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(2x?1,?4)，b=(4,4)，若a//b，則實(shí)數(shù)A.?32 B.?2 C.522.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A.若m//n，n//α，則m//α B.若n?α，n//β，則α//β

C.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β D.若m⊥α，m?β，則α⊥β3.在△ABC中，∠B=π3，AB=8，AC=7，則BC=(

)A.5 B.3或5 C.4 D.2或44.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是棱AB，BC，A1B1A.直線GH和MN平行，GH和EF相交

B.直線GH和MN平行，MN和EF相交

C.直線GH和MN相交，MN和EF異面

D.直線GH和EF異面，MN和EF異面5.如圖，某人為測(cè)量塔高AB，在河對(duì)岸相距s的C，D處分別測(cè)得∠BCD=α，∠BCA=β，∠BDC=γ(其中C，D與塔底B在同一水平面內(nèi))，則塔高AB=(

)A.s?sinγtanβsin(α+γ)B.s?sinγsin(α+γ)tanβ6.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,a在b方向上的投影向量為bA.14 B.12 C.37.如圖，圓錐的軸截面SAB是正三角形，O為底面圓的圓心，D為SO的中點(diǎn)，點(diǎn)C在底面圓的圓周上，且△ABC是等腰直角三角形，則直線CD與AS所成角的余弦值為(

)A.74B.23

C.3

8.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=3，∠ABC=3π4，若AC⊥BD，則tan∠ABD=A.23 B.223 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，三棱錐P?ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=PA=6，BC=8，則(

)A.D，F(xiàn)，B，C四點(diǎn)共面

B.點(diǎn)P與點(diǎn)B到平面DEF的距離相等

C.直線PB與直線DF垂直

D.三棱錐F?BED的體積為610.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若sin2A<sin2B+sin2C，則△ABC是銳角三角形

B.若△ABC是銳角三角形，則sinA>cosB

C.若b=4，c=3，11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，A.BP的最小值為32

B.AD1⊥PC

C.當(dāng)P在直線A1D上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐B1?ACP的體積不變

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知一個(gè)圓臺(tái)的上下底面半徑分別為3和4，母線長(zhǎng)為2，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為_(kāi)_____．13.如果一個(gè)三角形的三邊是三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且這個(gè)三角形的最大角是最小角的2倍，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．14.若向量a與向量b的夾角為θ，我們定義“a×b”為向量a與向量b的“外積”.兩個(gè)向量的外積是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度定義為|a×b|=|a|?|b|sinθ，在四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在梯形ABCD中，AB=2DC，∠BAD=90°，AB=AD=2，E為線段BC的中點(diǎn)，記AB=a，AD=b．

(1)用a，b表示向量AE；

(2)求|AE|的值；16.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，已知側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都等于2，E是線段PC上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求四棱錐P?ABCD的體積；

(2)若E是PC的中點(diǎn)，求證：PA//平面BDE；

(3)直線BD是否與直線AE互相垂直？如果垂直，請(qǐng)證明；如果不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．17.(本小題12分)

已知a，b，c分別為銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acos(A+C)=(2c?b)cos(B+C)．

(1)求A；

(2)若a=2，D為BC邊的中點(diǎn)，求AD長(zhǎng)的最大值；

(3)若b=4，求△ABC18.(本小題12分)

如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2BB1，底面中心為O，點(diǎn)E在棱AB上，且AE=tAB,(0<t≤12)．

(1)當(dāng)t=12時(shí)，證明：平面19.(本小題12分)

已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=6，b=5，c=4.△ABC的內(nèi)心、重心、外心、垂心依次記為點(diǎn)I、G、O、H，如圖所示．

(1)求AB?AC和AO?AB；

(2)連接A、I，并延長(zhǎng)交BC邊于點(diǎn)E，用AB，AC做基底來(lái)表示AI；

(3)被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，在1765年發(fā)表了令人贊美的歐拉線定理：設(shè)△ABC的外心，重心，垂心分別是O，G，H，則O，G，H三點(diǎn)共線(歐拉線)，且OH

參考答案1.A

2.D

3.B

4.B

5.A

6.A

7.C

8.D

9.BD

10.BD

11.BCD

12.713.15

14.1315.解：(1)如圖，連接AC，

因?yàn)镋為線段BC的中點(diǎn)，AB=a，AD=b

所以AE=12(AB+AC)，因?yàn)锳B=2DC，

所以AC=AD+DC=12a+b，

由向量的加法法則得AC=AD+DC=AD+12AB=b+12a，

故12(AB+AC)=12(a+b+12a)=34a+12b，

所以AE=34a+12b；

(2)由于∠BAD=90°，可得a?b=0，又有|a|=2,|b|=2，

所以AE2=|AE|2=(34a+12b)2=916|a|2+34a?b+14|b|2

=916×4+14×4=134，

故|AE|=132；

(3)由向量的減法法則得AB=a，

由于∠BAD=90°，可得a?b=0，又有|a|=2,|b|=2，

得到|BD|217.(1)因?yàn)閍cos(A+C)=(2c?b)cos(B+C)，

所以a(?cosB)=(2c?b)(?cosA)，所以acosB=(2c?b)cosA，

由正弦定理得：sinAcosB=2sinCcosA?sinBcosA，

所以sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin(A+B)=2sinCcosA，

所以sinC=2sinCcosA，

因?yàn)镃∈(0,π2)，所以sinC≠0，所以cosA=12，

因?yàn)锳∈(0,π2)，所以A=π3；

(2)因?yàn)镈為BC邊的中點(diǎn)，

所以由中線公式得：AD2=2b2+2c2?a24，

由a=2及余弦定理：a2=b2+c2?2bccosA，

得4=b2+c2?bc，即b2+c2=bc+4，

代入中線公式得：AD2=bc+22，

因?yàn)閎18.(1)證明：由已知，當(dāng)t=12時(shí)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AA1⊥平面ABCD．

由AB=2BB1，可得tan∠A1AB1=tan∠AEA1=2，所以∠A1AB1=∠AEA1，

故∠B1AB+∠A1EA=90°，即A1E⊥AB1．

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，有AD⊥AB，且AA1⊥AD，AB∩AA1=A，

所以AD⊥平面ABB1A1，A1E?平面ABB1A1，所以AD⊥A1E.

又因?yàn)锳1E⊥AB1，AD∩AB1=A，所以A1E⊥平面AB1D，

又因?yàn)锳1E?平面A1OE，所以平面A1OE⊥平面A19.(1)∵a=6，b=5，c=4，由余弦定理得：cosA=b2+c2?a22bc=18，

∴AB