試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年中考二輪數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練有關(guān)二次函數(shù)中拋物線與x軸的交點(diǎn)存在性問(wèn)題1．已知二次函數(shù)的圖象為．(1)用表示圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)證明：當(dāng)時(shí)，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；(3)記一次函數(shù)（是常數(shù)，，）的圖象為線段，若圖象與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．2．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱這樣的點(diǎn)為整點(diǎn)．設(shè)函數(shù)（實(shí)數(shù)為常數(shù)）的圖象為圖象．(1)求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，圖象與軸總有公共點(diǎn)；(2)是否存在整數(shù)，使圖象與軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若拋物線與直線有交點(diǎn)，求m的取值范圍；(3)若把二次函數(shù)的圖像沿x軸向右平移個(gè)單位，在自變量x的值滿足的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為，求n的值．4．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)試確定b，c之間的關(guān)系；(2)我們規(guī)定：若是一元二次方程的兩個(gè)根，則．已知該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離，求b的值；(3)若點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，求h的最小值．5．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大.設(shè)n是拋物線與x軸的交點(diǎn)（交點(diǎn)也稱公共點(diǎn)）的橫坐標(biāo).(1)求b，c的值；(2)求代數(shù)式的值.6．已知關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)此函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)：______．(2)求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)7．二次函數(shù)，，為實(shí)數(shù)，且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的值；(2)若，當(dāng)時(shí)，此二次函數(shù)恒滿足隨著的增大而減小，求的取值范圍；(3)設(shè)是該函數(shù)圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍．8．在平面直角坐標(biāo)系中，，，是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，，當(dāng)時(shí)，試比較，的大小，并說(shuō)明理由；(3)若對(duì)于，，都有，求b的取值范圍．9．如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，是拋物線上的兩點(diǎn)，且，求c的取值范圍；(3)將直線向上平移m個(gè)單位，使平移后的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．10．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)時(shí)，求的取值范圍；(3)已知點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．11．如圖，已知拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，直線與拋物線交與兩點(diǎn)，(1)__________；(2)__________0；(3)方程的根__________；(4)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)是__________；(5)__________0；(6)拋物線的解析式____________；(7)__________0．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且交線段于點(diǎn)C．(1)求k的值．(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(3)直接寫出當(dāng)x在何范圍時(shí)，．13．如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)．(1)求的值；(2)若點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖像上，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．14．如圖，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，與軸相交于另一點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)使的面積等于面積的一半？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．閱讀材料：如圖，函數(shù)的圖像是一條拋物線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由此可知，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0與1之間．即方程的一個(gè)根所在的范圍是．根據(jù)上述材料解決下面的問(wèn)題：已知拋物線（a、c是常數(shù)，）．(1)①寫出拋物線的對(duì)稱軸________；②若拋物線過(guò)點(diǎn)和，求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程在的范圍內(nèi)有解，求c的取值范圍．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年中考二輪數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練——有關(guān)二次函數(shù)中拋物線與x軸的交點(diǎn)存在性問(wèn)題》參考答案1．(1)；(2)見解析；(3)，或時(shí)，圖象與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)圖象的交點(diǎn)．把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，可得：，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可證當(dāng)時(shí)，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；根據(jù)一次函數(shù)的解析式可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)圖象與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，分或以及直線與二次函數(shù)聯(lián)立有且只有一個(gè)交點(diǎn)三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：整理，可得：，圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：當(dāng)時(shí)，可得：，，整理得：，當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）解：①當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，一次函數(shù)（是常數(shù)，，）的圖象為線段，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，依題意，圖象與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，，解得：或當(dāng)時(shí)，，解得：∴②當(dāng)時(shí)，解得：當(dāng)一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立方程，得，一元二次方程有且只有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí)：整理得，解得，此時(shí)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為或（不在x取值范圍舍去）綜上所述，，或時(shí)，圖象與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)．2．(1)證明見解析(2)存在，或或或【分析】（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為，可得一次函數(shù)與軸有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，根據(jù)可得拋物線與軸有交點(diǎn)，綜上即可求證；（）當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，可得拋物線與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為或，由可得是的因數(shù)，據(jù)此解答即可求解；本題考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，理解題意是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為，令，則，∴，∴此時(shí)函數(shù)（實(shí)數(shù)為常數(shù)）的圖象與軸有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，，∴函數(shù)（實(shí)數(shù)為常數(shù)）的圖象與軸有交點(diǎn)；綜上所述，無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，圖象與軸總有公共點(diǎn)；（2）解：存在整數(shù)，使圖象與軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)，理由如下：當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，解得或，，是整數(shù)，是奇數(shù)，∴當(dāng)是的奇因數(shù)時(shí)，是整數(shù)，∴或或或，解得或或或．3．(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要知識(shí)點(diǎn)有通過(guò)已知條件求函數(shù)解析式，函數(shù)的增減性，平移等，注意分類討論．（1）將，代入，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）令，再利用一元二次方程根的判別式解答即可；（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，圖像向左或向右平移，在自變量的值滿足的情況下，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最小值求出的值．【詳解】（1）解：將，代入，得：，解得，二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：，即：，∵拋物線與直線有交點(diǎn)，則，解得；（3）解：由（2）可得的對(duì)稱軸為直線，且拋物線在范圍內(nèi)y隨x的增大而增大，拋物線在時(shí)有最小值為，①向右平移個(gè)單位，當(dāng)平移后對(duì)稱軸在2左邊時(shí)，即，函數(shù)在處取得最小值，即，解得：，都不符合題意；②當(dāng)平移后對(duì)稱軸在2到3之間時(shí)，在頂點(diǎn)處取到最小值，即最小值；③當(dāng)平移后對(duì)稱軸在3右邊時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在時(shí)，存在的最小值，，解得：，，（舍去），綜上所述，．4．(1)(2)或9(3)h的最小值為【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．（1）直接將點(diǎn)代入二次函數(shù)，然后整理即可解答；（2）由(1)得：，則，由二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系可得m，n是一元二次方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離和完全平方公式可得解得：，然后代入檢驗(yàn)即可解答；（3）將點(diǎn)代入拋物線解析式可得，再將代入可得，最后配方并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．（2）解：由（1）得：，

∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，∴m，n是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，，，，，整理得解得：當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，滿足題意；∴或9．（3）解：∵點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，由（1）得，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，h有最小值，最小值為5．(1)，(2)0【分析】本題考查二次函數(shù)綜合知識(shí)，涉及二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、增減性、與軸交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，可得對(duì)稱軸為直線，可求，,由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得；（2）根據(jù)題意可得，變形計(jì)算即可．【詳解】（1）解：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，，；（2）解：設(shè)n是拋物線與x軸的交點(diǎn)（交點(diǎn)也稱公共點(diǎn)）的橫坐標(biāo)，，，，，，，，，.6．(1)；(2)見解析．【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，懂題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)即可求解；（2）先計(jì)算判別式的值得到，則可判斷，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，，∴無(wú)論m取什么值都會(huì)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故答案為：；（2）解：∵∴∴∴無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，此函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．7．(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）將點(diǎn)代入函數(shù)關(guān)系變換形式即可得；（2）根據(jù)對(duì)稱軸關(guān)系式與的取值范圍即可確定的取值范圍；（3）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系確定二次函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)位置，再根據(jù)的取值范圍確定的取值范圍．【詳解】（1）解：的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，；（2）解：，二次函數(shù)的圖象開口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)隨的增大而減小，，即，，；（3）解：是二次函數(shù)圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，此二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)一個(gè)在正半軸，一個(gè)在負(fù)半軸，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，．8．(1)和(2)，見解析(3)或【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（1）當(dāng)時(shí)，求出解析式，再令解方程即可求出（2）將代入解析式得，由得到，對(duì)稱軸，再根據(jù)開口向上時(shí)離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小判斷即可；（3）根據(jù)對(duì)于，，都有得與異號(hào)，再根據(jù)對(duì)稱軸的位置判斷即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，將代入解析式得，解得，∴解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴拋物線與x的交點(diǎn)坐標(biāo)為和；（2）解：將代入解析式得，∵即，∴，∵拋物線對(duì)稱軸為：直線，∴離對(duì)稱軸比更近，∵拋物線開口向上，故離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小，∴；（3）解：∵對(duì)于，，都有∴與異號(hào)①若即，∵當(dāng)時(shí)，必然大于0，∴當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，∴；②若即，∵當(dāng)時(shí)，必然大于0，∴當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得，∴，綜上所述，b的取值范圍為或9．(1)(2)或(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖象的平移，直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）先求解析式，再配方即可求解頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）可得，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，解得，，由圖象法可得或；（3）先求出的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后函數(shù)表達(dá)式為，與拋物線聯(lián)立得，根據(jù)平移后的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，得到，即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入中，解得：，∴，整理得，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：將代入，解得∵，當(dāng)時(shí)，解得，，∴或；（3）解：設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為將，代入得，解得：∴直線的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后函數(shù)表達(dá)式為，由題意得即∵平移后的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，∴．10．(1)(2)(3)點(diǎn)【分析】本題主要查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，兩點(diǎn)間線段最短：（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再觀察圖象，即可求解；（3）設(shè)直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，求出直線的解析式，可得點(diǎn)，再由拋物線的對(duì)稱性可得，此時(shí)的值最小，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，，對(duì)稱軸為直線，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為．（3）解：設(shè)直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，∴，解得：，∴直線的解析式為：；∴點(diǎn)，∵直線垂直平分，∴，，∴，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)有最小值，∴，此時(shí)的值最小，∵，是定值，∴當(dāng)點(diǎn)時(shí)，有最小值．11．(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）由拋物線圖象可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，從而得出，即，即可得解；（2）由拋物線圖象可得拋物線開口向下，與軸交于正半軸，得出，，結(jié)合，即可得解；（3）由拋物線圖象即可得出答案；（4）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可得出答案；（5）由拋物線函數(shù)圖象即可得出答案；（6）利用待定系數(shù)法計(jì)算即可得解；（7）根據(jù)拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可得解．【詳解】（1）解：由拋物線圖象可得：拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴；（2）解：由拋物線圖象可得：拋物線開口向下，與軸交于正半軸，∴，，∵，∴；（3）解：∴方程，即的根為：；（4）解：∵拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)是；（5）解：由拋物線圖象可得，當(dāng)時(shí)，；（6）解：∵拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線的解析式為，將代入拋物線解析式得，解得：，∴拋物線的解析式為；（7）解：由拋物線的圖象可得，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴．12．(1)(2)(3)或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合：（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案；（3）根據(jù)函數(shù)圖象找到一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方時(shí)自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，解得或，∴，把代入中得：，解得；（2）解：由（1）可得，聯(lián)立，解得或，∴；（3）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，．13．(1)(2)【分析】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意設(shè)，結(jié)合幾何圖形面積計(jì)算方法可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入后解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，∴，解得，，∴；（2）解：由（1）可知二次函數(shù)解析式為：，，，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，；∴．14．(1)拋物線的解析式為(2)的坐標(biāo)為(3)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）把代入求出，再用待定系數(shù)法可得拋物線的解