試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁圓的弧長、陰影部分面積的計算2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高頻考點訓(xùn)練1．如圖，在中，，以為直徑作交斜邊于點E．連接并延長交的延長線于點D，交于點G．F為中點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分的面積．2．如圖，在中，，是上一點，經(jīng)過點，與相切于點，點、分別是與的交點，且．(1)求的度數(shù)．(2)若，求圖中陰影部分的面積為多少？3．如圖，已知等腰中，，以為直徑的與底邊交于點，過點作，垂足為，連接．(1)求證：為的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．4．如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，，．(1)求的長；(2)求圖中陰影部分的面積．5．如圖1，在中，直徑，P是線段延長線上的一點，切于點C，D是上一點，切，連接．

(1)求證：是的切線；(2)當時（如圖2），求的長；(3)若四邊形是菱形（如圖2），求弧與線段圍成的陰影圖形的面積．6．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是的中點，連接AD．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)，過點D作直線l垂直于直線AC（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)若（1）中所作的直線l與直線AC交于點E，與AB的延長線交于點F．①判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．②若，則的長為7．如圖，是的直徑，點在上，平分交于點，過點作直線，交的延長線于點，連結(jié)，．(1)求證：直線與相切；(2)若，．①求證：四邊形是菱形；②陰影部分面積的大小是___________．8．如圖，為的內(nèi)接三角形，是的直徑，平分，且交于點，與相切．(1)求證：．(2)已知，，求的長．9．如圖，是的直徑，是的中點，過點作的垂線，垂足為點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求陰影部分的面積．10．已知：如圖，內(nèi)接于，點為上一點，連接，其中經(jīng)過圓心的延長線交射線于點，若．(1)求證：是切線；(2)若，求的長．11．如圖，在中，，點在邊上，以為直徑作的經(jīng)過邊上的點，連接，平分，(1)求證：是的切線；(2)，，以點為圓心，長為半徑作弧，交邊于點，交邊于點，求圖中，，，．圍成的陰影部分的面積．12．如圖，已知半圓的直徑的長為6，、是半圓的三等分點，點在上，以為直徑作．(1)設(shè)的弧長為，半圓（即）的弧長為，若，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)連接，若與相切，請求出的長．13．如圖，點在的邊上，，頂點在以為直徑的上，過作交的延長線于點，交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分面積．14．中，，點在上，以為半徑的圓交于點，交于點．且．(1)求證：是的切線；(2)連接交于點，若，，求弧的長．15．如圖圖3，在中，，，．點是斜邊上的一點，連接，以為直徑作，交于點，與的另一個交點為，連接．(1)當點與點重合時，如圖1；與的位置關(guān)系是_____，此時的半徑為_____，并用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖1中作出的中點；(2)當時，如圖2，求證：；(3)連接，點始終保持在點左側(cè)，點在的延長線上，如圖3．①當時，求的長；②若點關(guān)于的對稱點恰好落在內(nèi)，直接寫出的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案1．(1)見解析(2)【分析】本題考查了直角所對的圓周角是直角，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)切線的判定定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）連接，得到，推出，得到，推出，即可得到結(jié)論；（2）由得到是等邊三角形，得出，求出，得到．【詳解】（1）證明：如圖，連接，為直徑，，∴，為中點，，，，，，為的半徑，為的切線；（2）解：，是等邊三角形，，，，即，，．2．(1)(2)陰影部分的面積為【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，求扇形的面積，（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得，再說明，可得，然后證明接下來根據(jù)可得答案；（2）由（1）得，可得為等邊三角形，進而求出，，再求出和扇形，最后根據(jù)面積差可得答案．【詳解】（1）解：連接，是的切線，為切點，．，即，，．，，，即，．，，．是O的直徑，，，；（2）解：由（1），得，．，為等邊三角形，．，，．根據(jù)勾股定理，得，，扇形，陰影部分的面積為．3．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、扇形的面積、解直角三角形等知識，熟練掌握圓的切線的判定定理和扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．（1）連接，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)圓的切線的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，解直角三角形可得，根據(jù)圓周角定理可得，然后根據(jù)圖中陰影部分的面積等于求解即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵是的半徑，∴為的切線．（2）解：∵是的直徑，∴，即，∴，（等腰三角形的三線合一）∵在中，，∴，，，∴，，∴，∴圖中陰影部分的面積為．4．(1)；(2)．【分析】（1）延長至點，使，連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補和鄰補角的性質(zhì)可證，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證是等腰直角三角形，從而可得，過點作于點，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，，利用勾股定理可求的長度；（2）連接，可證是等腰直角三角形，根據(jù)扇形的面積公式和三角形的面積公式可求陰影的面積．【詳解】（1）解：如下圖所示，延長至點，使，連接，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，

，又，，，，，在和中，，，，，是等腰直角三角形，，過點作于點，則，，，設(shè)，，在中，，，解得：，；（2）解：如下圖所示，連接，，，又，，，．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解決問題．5．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）如圖1，連接，則有，再證明可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，進而得到，即可證明結(jié)論；（2）如圖2，連接，由（1）可知，，再證明四邊形為正方形，再求出，由勾股定理可得，再根據(jù)線段的和差即可解答；（3）如圖3，連接，設(shè)，則，根據(jù)菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)可得，進而得到，最后根據(jù)以及扇形的面積公式即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，則有．

在和中，∴，∴，∵切于點C，∴，∴，即，∴是的切線．（2）解：如圖2，連接，由（1）可知，．

當時，四邊形為矩形．又∵，∴四邊形為正方形．∵，∴，即∴，∴．（3）解：如圖3，連接，設(shè)，則，

∵四邊形是菱形，∴．則，∵是的切線，即．∴，即．∴，∴∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、切線的判定、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)①直線與相切，理由見解析；②【分析】（1）根據(jù)垂線的作圖方法，D為圓心，適當長為半徑畫弧，交于兩點，再分別以這兩點為圓心，大于兩點間距離的一半為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過D與該點作直線l即可；（2）①連接交于點G，證明四邊形是矩形得，可證直線與相切；②證明，結(jié)合可求出，，從而，利用銳角三角函數(shù)求出，可得半徑，然后根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】（1）如圖，直線l即為所求，；（2）①如圖，連接交于點G，∵是的直徑，∴．∵，∴．∵D是的中點，∴，∴四邊形是矩形，∴，．∵是的半徑，∴直線與相切；②∵D是的中點，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．∵，∴，∴，∴的長為∶．故答案為：．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及弧長公式，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義可得，利用平行線的判定與性質(zhì)可證明，進而利用切線的判定可得結(jié)論；（2）①先證是等邊三角形，再證，進而即可容易得證；②將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積即可得解．【詳解】（1）證明：平分，，，，，，，，，，又為半徑，是的切線；（2）①證明：連接，∵平分，∴，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴是菱形；②∵，∴，∴，∴，由①知四邊形是菱形，∴垂直平分，，記與交于點F，則，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、扇形面積等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．8．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，求弧長，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵：（1）連接，切線的性質(zhì)，得到，等邊對等角，結(jié)合角平分線的定義，推出，進而得到，求出，即可得證；（2）解直角三角形求出的長，進而求出半徑的長，求出所對的圓心角的度數(shù)，利用弧長公式進行計算即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接．與相切于點，．平分，．，，，．（2）解：是的直徑，．，，，，．，對應(yīng)的圓心角為，的長為．9．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定及扇形的面積公式，矩形的判定和性質(zhì)等知識點，熟練地掌握切線的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．（1）連接，證明，可得，再進一步可得結(jié)論；（2）連接，證明四邊形是矩形，可得，再證明，可得，可得，利用可得答案．【詳解】（1）證明：連接，，，∵是的中點，，，，，，，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：連接交于點，∵是的直徑，，，，∴四邊形是矩形，，，，，，，，，．10．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）連接，根據(jù)是的直徑，得出，直角三角形兩銳角互余得出，根據(jù)等邊對等角可得出，由等弧所對的圓周角相等得出，等量代換可進一步得出，進一步即可得出答案．（2）求出，證明為等邊三邊形，得到，根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】（1）解：連接，如圖：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，，為等邊三邊形，，，．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，弧長公式等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．11．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定，求不規(guī)則圖形面積，角平分線的定義和等邊對等角，熟知圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵。（1）連接，由角平分線的定義和等邊對等角可證明，則可證明，得到，據(jù)此可證明結(jié)論；（2）求出，根據(jù)題意可得扇形和扇形的面積之和等于圓心角度數(shù)為90度，半徑為2的扇形面積，再根據(jù)列式計算即可。【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的半切線；（2）解：∵，∴，∵，，∴，由題意得，扇形和扇形的半徑相同，且，∴扇形和扇形的面積之和等于圓心角度數(shù)為90度，半徑為2的扇形面積，∴。12．(1)，理由見解析(2)4.5【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，弧、圓心角的關(guān)系，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）連接，弧、圓心角的關(guān)系可得出，然后根據(jù)弧長公式求出和即可；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)得出，求出，即可求解．【詳解】（1）解：．理由：連接，、是半圓的三等分點，，，，．（2）解：連接，與相切，，由（1）知，，，，即，13．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)，證明，即可證明，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到，求出，分別求出和和的面積即可得到答案，【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，，，點在上，故是的切線；（2）解：，為的直徑，，，，，且，，，，，令半徑為，，，，過點作于點，，，，，．【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，以及扇形的面積公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．(1)見解析(2)【分析】（1）利用證明，推出，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)的半徑為，在中，利用勾股定理列式計算求得半徑，進而求得，再求得，利用弧長公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接，在和中，，，；為的半徑，是的切線；（2）解：，，設(shè)的半徑為，在中，，即，解得，，，∴，，，，弧的長為．【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)的定義，弧長公式．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．15．(1)相切，，圖形見解析；(2)見解析；(3)①；②．【分析】（1）根據(jù)切線的定義可判斷與的位置關(guān)系；用面積法求出直徑，進而可得半徑；過點O作線段的垂線交于點M，則點M即為的中點；（2）連接，由證明，得出，可得，則，即可得證；（3）①連接，，證明是等邊三角形得，由（1）知，，求出，然后利用弧長公式求解即可；②根據(jù)題意得出四邊形是菱形，分當在上時，當在上時，求得臨界值，進而結(jié)合圖形，即可求解．【詳解】（1）解：∵當點與點重合時，與只有一個交點，∴與的位置關(guān)系是相切；∵，，，∴．∵與相切