3.2.2平面的法向量與平面的向量表示

若l1，l2是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，且l1⊥α，l2⊥β.問題1：若l1∥l2，則α與β有什么位置關(guān)系？提示：α∥β.問題2：若l1⊥l2，則α、β有什么位置關(guān)系？提示：α⊥β.1.問題引入1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基線與平面α

，則向量n叫做平面α的法向量或說向量n與平面α正交．

2．平面的向量表示式設(shè)A是空間任一點，n為空間內(nèi)任一非零向量，適合條件

·n＝0的點M構(gòu)成的圖形是過點A并且與向量n垂直的

，

通常稱為一個平面的向量表示式．垂直平面2.知識梳理3．兩平面平行、垂直的判定設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則①α∥β或α與β重合?

；②α⊥β?

?

．

4．正射影與三垂線定理

(1)正射影：已知平面α和一點A，過點A作α的垂線l與α相交于點A′，則A′就是點A在平面α內(nèi)的

，簡稱

．n1∥n2n1⊥n2n1.n2=0正射影射影(2)三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的

垂直，則它也和這條斜線垂直．

(3)三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的

垂直．射影射影1．用向量法證明線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系，主要是找出直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系，因此求直線的方向向量及平面的法向量是解題關(guān)鍵．

2．一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可以根據(jù)需要進行選取，一個平面的所有法向量共線．小結(jié)[例1]已知點A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一個法向量．[思路點撥]3.考點探究（1）求平面的法向量[一點通]利用待定系數(shù)法求法向量的解題步驟：練習(xí)1．已知平面內(nèi)的兩個向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，則該平面的一個法向量為 (

)A．(1，－1，1)

B．(2，－1，1)C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)答案：C

[思路點撥]建立空間坐標(biāo)系．求出平面ADE與平面A1D1F的法向量求解．（1）利用法向量證明空間中的位置關(guān)系[一點通]設(shè)直線l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，平面β的法向量v＝(a3，b3，c3)，且l?α，α與β不重合，則

(1)l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；

(2)l⊥α?a∥u?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)；

(3)α∥β?u∥v?(a2，b2，c2)＝m(a3，b3，c3)；

(4)α⊥β?u⊥v?u·υ＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.練習(xí)3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面A1BD∥平面CD1B1.練習(xí)4．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，求證：平面AED⊥平面A1FD1.證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.[例3]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BDC1.[思路點撥]根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD1C1內(nèi)的射影，由三垂線定理證明BD⊥A1C，C1D⊥A1C.（3）三垂線定理及逆定理的應(yīng)用[精解詳析]在正方體中，AA1⊥平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD內(nèi)的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C.同理D1C是A1C在平面CDD1C1內(nèi)的射影．所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1.[一點通]

(1)三垂線定理及其逆定理主要用于證明空間兩條直線的垂直問題．對于同一平面內(nèi)的兩直線垂直問題也可用“平移法”，將其轉(zhuǎn)化為空間兩直線的垂直問題，用三垂線定理證明．

(2)當(dāng)圖形比較復(fù)雜時，要認真觀察圖形，證題的思維過程是“一定二找三證”，即“一定”是定平面和平面內(nèi)的直線，“二找”是找平面的垂線、斜線和斜線在平面內(nèi)的射影，“三證”是證直線垂直于射影或斜線．練習(xí)5．正三棱錐P-ABC中，求證：BC⊥PA.證明：在正三棱錐P-ABC中，P在底面ABC內(nèi)的射影O為正三角形ABC的中心，連接AO，則AO是PA在底面ABC內(nèi)的射影，且BC⊥AO，所以BC⊥PA.1．確定平面的法向量通常有兩種方法：

(1)利用幾何體中已知的線面垂直關(guān)系；

(2)用待定系數(shù)法，設(shè)出法向量，根據(jù)它和α內(nèi)不共線兩向量的垂直關(guān)系建立方程組進行求解．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可從方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．

2．用空間向量處理平行問題的常用方法：

(1)線線平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量平行．

(2)線面平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量垂直．4.知識總結(jié)