2025年加拿大數(shù)學競賽（CMO）模擬試卷（組合數(shù)學與數(shù)論進階）——組合數(shù)學競賽真題解析一、組合計數(shù)要求：計算下列各題中的組合數(shù)。1.計算組合數(shù)C(10,3)。2.在5個不同的球中，從中任取3個球，有多少種不同的取法？3.從10個不同的物品中，每次取出3個，有多少種不同的取法？4.有6個不同的球，從中取出3個，要求取出的3個球都是不同的顏色，有多少種取法？5.有4個不同的球和3個相同的球，從中取出3個球，有多少種不同的取法？6.在5個不同的物品中，每次取出3個，要求取出的3個物品都是不同的顏色，有多少種取法？二、排列組合要求：計算下列各題中的排列數(shù)。1.計算排列數(shù)A(7,4)。2.有5個不同的物品，從中任取4個，要求取出的4個物品是按照一定的順序排列的，有多少種不同的排列方式？3.從6個不同的物品中，每次取出4個，要求取出的4個物品是按照一定的順序排列的，有多少種不同的排列方式？4.有8個不同的物品，從中任取4個，要求取出的4個物品是按照一定的順序排列的，有多少種不同的排列方式？5.有10個不同的物品，從中任取4個，要求取出的4個物品是按照一定的順序排列的，有多少種不同的排列方式？6.有4個不同的物品和3個相同的物品，從中任取4個，要求取出的4個物品是按照一定的順序排列的，有多少種不同的排列方式？四、組合與排列的應用要求：根據(jù)給定的條件，計算以下各題中的組合數(shù)或排列數(shù)，并解釋其應用場景。1.有10個不同的學生參加數(shù)學競賽，需要從中選出3名學生作為代表，有多少種不同的選法？解釋該問題的應用場景。2.一個班級有8名男生和5名女生，需要從中選出2名男生和2名女生組成一個小組，有多少種不同的選法？解釋該問題的應用場景。3.一個密碼鎖由4個數(shù)字組成，每位數(shù)字可以是0到9中的任意一個，計算有多少種不同的密碼組合。解釋該問題的應用場景。五、圖論基礎(chǔ)要求：根據(jù)給定的圖，回答以下問題。1.在無向圖中，頂點A和頂點B之間有多少條不同的路徑？2.在有向圖中，頂點A可以到達頂點B，但頂點B不能到達頂點A，有多少種不同的路徑？3.給定一個有向圖，其中每個頂點的出度都是2，計算圖中的邊數(shù)。4.在一個完全圖中，有10個頂點，計算圖中的邊數(shù)。5.在一個無向圖中，頂點A和頂點B之間有3條不同的路徑，其中有2條路徑包含一個特定的頂點C，計算頂點A和頂點B之間不包含頂點C的路徑數(shù)。六、數(shù)論問題要求：解答以下數(shù)論問題。1.找出所有小于100的質(zhì)數(shù)，并計算它們的和。2.給定一個正整數(shù)n，證明n^2+n是偶數(shù)。3.計算下列各數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：-60和72的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。-45和90的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。4.證明對于任意兩個正整數(shù)a和b，a^2+b^2≥2ab。5.給定一個正整數(shù)n，證明n^2-n是偶數(shù)。本次試卷答案如下：一、組合計數(shù)1.解析：C(10,3)=10!/(3!*(10-3)!)=10*9*8/(3*2*1)=120。2.解析：5個不同的球中任取3個，不考慮順序，所以是組合問題，C(5,3)=5!/(3!*(5-3)!)=5*4/(2*1)=10種取法。3.解析：從10個不同的物品中任取3個，不考慮順序，所以是組合問題，C(10,3)=120。4.解析：6個不同顏色的球中任取3個，不考慮順序，所以是組合問題，C(6,3)=6!/(3!*(6-3)!)=20種取法。5.解析：4個不同顏色的球和3個相同顏色的球中任取3個，考慮相同顏色的球，所以是組合問題，C(4,3)=4!/(3!*(4-3)!)=4種取法。6.解析：5個不同顏色的物品中任取3個，不考慮順序，所以是組合問題，C(5,3)=10。二、排列組合1.解析：A(7,4)=7!/(7-4)!=7*6*5*4=840。2.解析：5個不同的物品中任取4個，考慮順序，所以是排列問題，A(5,4)=5!/(5-4)!=5*4*3*2=120種排列方式。3.解析：6個不同的物品中任取4個，考慮順序，所以是排列問題，A(6,4)=6!/(6-4)!=6*5*4*3=360種排列方式。4.解析：8個不同的物品中任取4個，考慮順序，所以是排列問題，A(8,4)=8!/(8-4)!=8*7*6*5=1680種排列方式。5.解析：10個不同的物品中任取4個，考慮順序，所以是排列問題，A(10,4)=10!/(10-4)!=10*9*8*7=5040種排列方式。6.解析：4個不同的物品和3個相同的物品中任取4個，考慮順序，所以是排列問題，A(4,4)=4!/(4-4)!=4!=24種排列方式。四、組合與排列的應用1.解析：C(10,3)=120，表示從10個學生中選出3名代表的不同組合方式。應用場景：在班級中選出3名學生代表參加數(shù)學競賽。2.解析：C(8,2)*C(5,2)=28*10=280，表示從8名男生中選出2名和從5名女生中選出2名組成小組的不同組合方式。應用場景：在班級中組建一個由男生和女生組成的小組。3.解析：10^4=10000，表示密碼鎖由4個數(shù)字組成，每個數(shù)字有10種可能，所以共有10000種不同的密碼組合。應用場景：設計一個安全的密碼鎖。五、圖論基礎(chǔ)1.解析：無向圖中頂點A和頂點B之間的路徑數(shù)取決于它們之間的邊數(shù)。如果A和B之間有直接邊相連，則路徑數(shù)為1；如果A和B之間沒有直接邊相連，則路徑數(shù)為0。2.解析：有向圖中，頂點A可以到達頂點B，但頂點B不能到達頂點A，路徑數(shù)取決于從A到B的路徑數(shù)。如果存在這樣的路徑，則路徑數(shù)為1；如果不存在，則路徑數(shù)為0。3.解析：每個頂點的出度都是2，所以每條邊連接兩個頂點，因此邊數(shù)等于頂點數(shù)減1。4.解析：在完全圖中，每個頂點都與其他所有頂點相連，所以邊數(shù)等于頂點數(shù)的平方，即10^2=100。5.解析：3條不同的路徑中，有2條包含頂點C，所以不包含頂點C的路徑數(shù)為3-2=1。六、數(shù)論問題1.解析：小于100的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97，它們的和為1060。2.解析：n^2+n=n(n+1)，由于n和n+1是連續(xù)的兩個整數(shù)，它們中必有一個是偶數(shù)，所以n(n+1)是偶數(shù)，即n^2+n是偶數(shù)。3.解析：-60和72的最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)是360。-45和90的最