6.2.3向量的數(shù)乘運算

【學習目標】

素養(yǎng)目標學科素養(yǎng)

1.理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運算律。(重點)1.數(shù)學抽象；

2.掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線。(重點)2.直觀想象；

3.邏輯推理。

【自主學習】

一.向量的數(shù)乘運算

1.向量的數(shù)乘運算的概念

一般地，規(guī)定實數(shù)人與向量a的積是一個,這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作—,它

的長度與方向規(guī)定如下：

(1)I.

(2)當兒＞0時，八a的方向與a的方向；當1V0時，4a的方向與a的方向；

當4=0時，4a=_.

注意：人是實數(shù)，a是向量，它們的積4a仍然是向量.實數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加

減，如4+a,4一a均沒有意義.

2.向量數(shù)乘的運算律

設入，〃為實數(shù)，那么：

(1)4(ita)=.(2)(4+u)a=.(3)入(a+b)=.

3.向量的線性運算

向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的.對于任意向量a,b,以及任意實數(shù)兒，小,

恒有義(4a±〃疝)=.

二.共線向量定理

1.向量a(aWO)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)3使.

注意：(1)定理中，向量a為非零向量

⑵要證明向量a,力共線，只需證明存在實數(shù)3使得b=4a即可.

(3)由定理知，若向量萍兒孫則宓，應共線.又窟，弟有公共點/,從而B,。三點共

線，這是證明三點共線的重要方法.

2.三點共線的性質定理

若平面內三點B,C共線，。為不同于4B,C的任意一點，設狂兒灑則存在實

數(shù)人，〃使得4+〃=L

【小試牛刀】

1

思維辨析(對的打“v”，錯的打“X”)

⑴實數(shù)兒與向量a的積還是向量.()

(2)若ma=mb,則a=b.()

(3)(/z?—n)a=ma—na.()

(4)若向量a和，不共線，且兒則必有4=〃=0.()

(5)若向量拔，且哄線，則4B,C,〃四點共線.()

【經(jīng)典例題】

題型一向量的的線性運算

點撥：向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中去括號、移項、合并同類項、提

取公因式等變形手段在向量線性運算中也可以使用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向

量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).

例1計算

(1)(—3)X4a；(2)3(a+Z?)—2{a—ID)—a；(3)(2a+3b—c)—(3a—2b+c).

219

【跟蹤訓練"⑴化簡善T)F2a+46)k3+136)=—

(111_

(2)若21x—利一5(6+C—3X)+8=0,其中a,b,c為已知向量，求未知向量x.

題型二用已知向量表示其他向量

(1)直接法

(2)方程法

當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和

已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程.

2

例2如圖，平行四邊形(MDB中,向量而=a,OB=b,且贏=：反；CN=^CD,試用a,6表示威

OO

ON,狐:

【跟蹤訓練】2在△46。中，力〃為6。邊上的中線，6為4〃的中點，則而=___________,EB

題型三向量共線定理及其應用

(1)若質=八衣，則瀛與無共線，又宓與應有公共點/,從而4B,。三點共線，這是證明三

點共線的重要方法.

(2)設比=入6+H赤,若存在實數(shù)X,〃使得4+〃=1,則A、B、C三點共線。

例3設兩個非零向量a與力不共線，若宓=a+A,BC=2a+Sb,CD=3(a-b),求證：A.B、D

三點共線；

【跟蹤訓練】3(1)已知a與b是兩個不共線向量，且向量a+與一(，一3團共線，則a=

(2)已知4B,P三點共線，。為直線外任意一點，若赤=疝+順,求x+y的值.

3

【當堂達標】

1.已知月、〃￡R,下面式子正確的是（）

A.與a同向B.0?a=0

C.D.若b=貝/引=4a

2.在UABCD中,AB=2a,AD=3b,則我等于（）

A.a+bB.a-b

C.2a+3bD.2a—3，

3.在△］笈中，若宓+衣=2被則怎于（）

」.3f1-3f

A.—~zAB+-ACB.-AB——AC

乙乙乙乙

1一1一1一J一

C.-AB--ACD.^-AB+-AC

4.已知點尸在線段46上，且|夜=4|心|,設尻4PB,則實數(shù)兒=

5.肯己(2a+85)—(4a—2，)=.

2

6.如圖所示，在△/比'中，D,尸分別是勿，力。的中點，AE=^AD,AB=a,AC=b.

o

(1)用a,6表示而，AE,AF,BE,BF-,

⑵求證：B,E,夕三點共線.

【課堂小結】

1.實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，例如4+a,八一a是沒有意義的.

4

2.若b=4a(aW0),且力與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合.例如，^AB=AAC,

則薪與元共線，又法與信有公共點4從而46,C三點共線，這是證明三點共線的重要方法.

3.設施=兒應+〃應若存在實數(shù)兒，〃使得兒+〃=1,則A、B、C三點共線。

【參考答案】

【自主學習】

一.1.向量4aM|a相同相反0

2.(八〃)a4a+ua4a+ab

3.線性運算兒ma土兒Pib

二.b=4a

【小試牛刀】

(1)V(2)X(3)V(4)V(5)X

【經(jīng)典例題】

例1解(1)原式=(-3)X4)a=-12a；

(2)原式=3a+3b+2a—6—a=5b；

(3)原式=2a+3Z>—c—3a+2/>—c——a+56—2c.

222442622424

【跟蹤訓練】1(1)°解析：原式=鏟-#鏟一於+方+冒=(1§+正)"(-5-勺+

j1)b=0a+08=0+0=0.

2113

(2)解：因為2x-qa一射一尸+/+6=0,

J乙乙乙

721172111

所以5才一qa+jb—5c=。，所以y=鼻3-jb+jc,所以x=Ct

乙〉乙乙乙〉乙乙7

例2解：*：BA=OA-dB=a-b,

/.B^=^BC=^BA=^(a—6),

3bb

AO^f=OB+^M=Z?+~(a-6)=b+Ja—%=%+%.

66666

ffff11?22

由OD=而+~OB=a+b,得蘇三5位?+公應?=/力=m+56.

乙OO

.

1511

2-6

6---

廟=ON—7)M=.+-626

【跟蹤訓I練［2^AB+^AC:罰一；五？解析：如圖所示，2

例3證明：'：AB=a+b,瓦?=2a+8b,宓=3(a—b)

5

：.Bb='BC+Cb=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a~3b=5(a+/j)=5AB.

：.AB,反哄線，

又???它們有公共點8,??/、B、〃三點共線.

【跟蹤訓練】3(1)一；解析：由題意知存在AdR,使得a+乂方=譏一/一3向］,所以

O

\兒=~k,

［1=3%,

(2)［解析］由于4B,產(chǎn)三點共線，所以向量拔，槍同一直線上，由向量共線定理可知，必

定存在實數(shù)人使方三兒就即游一而=幾(*應I),所以礙(1—1)游+4位故x=l一4，

y=4，即x+y=l.

【當堂達標】

1.C解析：對A,當人〉0時正確，否則錯誤；對B,0?a是向量而非數(shù)0；對D,若6=則

|川=|Aa\.

2.C解析：AC=AB+Al)=2a+3b.

3.C解析：由質+衣=2淳得萬-3而+而，所以詼=必+質=—；(法+