2025年歐幾里得競賽解析幾何坐標向量專項突破模擬試卷（含詳解）一、選擇題（每小題5分，共30分）1.在平面直角坐標系中，點A（3，4）關于原點的對稱點是：A.（3，-4）B.（-3，-4）C.（-3，4）D.（3，4）2.在直角坐標系中，若點P（x，y）在第二象限，且x+y=5，則下列結論正確的是：A.x>0，y>0B.x>0，y<0C.x<0，y>0D.x<0，y<03.已知點A（2，-3），點B（-1，4），則向量AB的坐標是：A.（-3，7）B.（3，-7）C.（-3，-7）D.（3，7）4.在平面直角坐標系中，點P的坐標為（3，2），則點P關于x軸的對稱點坐標是：A.（3，-2）B.（-3，2）C.（-3，-2）D.（3，2）5.在平面直角坐標系中，點A（3，4），點B（-2，1），則向量AB與x軸的夾角是：A.45°B.135°C.225°D.315°二、填空題（每空5分，共30分）6.已知點A（-2，3），點B（4，-1），則向量AB的坐標是________。7.在平面直角坐標系中，若點P（x，y）在第三象限，且x+y=-5，則下列結論正確的是________。8.已知點A（2，-3），點B（-1，4），則向量AB與y軸的夾角是________。9.在平面直角坐標系中，點P的坐標為（3，2），則點P關于y軸的對稱點坐標是________。10.在直角坐標系中，若點P的坐標為（x，y），則點P到原點的距離是________。三、解答題（共70分）11.（15分）在平面直角坐標系中，已知點A（-2，3），點B（4，-1），求：（1）向量AB的坐標；（2）向量AB與x軸的夾角；（3）向量AB與y軸的夾角。12.（15分）在平面直角坐標系中，已知點A（2，-3），點B（-1，4），求：（1）向量AB的坐標；（2）向量AB與x軸的夾角；（3）向量AB與y軸的夾角。13.（15分）在平面直角坐標系中，已知點A（3，2），求點A關于x軸的對稱點坐標。14.（15分）在平面直角坐標系中，已知點A（3，2），求點A關于y軸的對稱點坐標。15.（15分）在平面直角坐標系中，已知點A（2，-3），點B（-1，4），求：（1）向量AB的坐標；（2）向量AB與x軸的夾角；（3）向量AB與y軸的夾角。四、計算題（每小題10分，共30分）16.已知點A（-1，2），點B（3，-4），求向量AB的模長。17.已知點A（-2，3），點B（4，-1），求向量AB與向量OA的夾角θ，其中O為原點。18.已知點A（3，2），點B（-1，-3），求向量AB與向量OB的夾角θ，其中O為原點。五、應用題（每小題15分，共30分）19.在平面直角坐標系中，已知三角形ABC的三個頂點坐標分別為A（1，3），B（-4，2），C（5，-1），求三角形ABC的面積。20.在平面直角坐標系中，已知直線l的方程為2x-3y+6=0，點P（1，2）到直線l的距離為d，求d的值。21.在平面直角坐標系中，已知點A（2，3），點B（-1，-4），求經(jīng)過點A和B的直線方程。六、證明題（每小題20分，共40分）22.證明：對于任意兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），向量AB的坐標（x2-x1，y2-y1）與向量BA的坐標（x1-x2，y1-y2）互為相反向量。23.證明：在平面直角坐標系中，點P（x，y）到原點O的距離的平方等于點P的坐標（x，y）的乘積之和，即x^2+y^2=OP^2。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：點A（3，4）關于原點的對稱點坐標是（-3，-4）。2.C解析：點P（x，y）在第二象限，說明x<0，y>0，且x+y=5，所以x<0，y>0。3.D解析：向量AB的坐標是終點坐標減去起點坐標，即（-1-2，4-(-3)）=（-3，7）。4.A解析：點P關于x軸的對稱點坐標是（3，-2），因為x坐標不變，y坐標取相反數(shù)。5.B解析：向量AB與x軸的夾角是135°，因為向量AB的坐標是（-3，7），斜率k=-7/3，tanθ=-7/3，θ=135°。二、填空題6.（-3，-7）解析：向量AB的坐標是終點坐標減去起點坐標，即（4-(-2)，-1-3）=（6，-4），所以（-3，-7）是錯誤的，正確答案是（6，-4）。7.x<0，y<0解析：點P（x，y）在第三象限，說明x<0，y<0，且x+y=-5，所以x<0，y<0。8.135°解析：向量AB與y軸的夾角是135°，因為向量AB的坐標是（-3，7），斜率k=-7/3，tanθ=-7/3，θ=135°。9.（-3，2）解析：點P關于y軸的對稱點坐標是（-3，2），因為y坐標不變，x坐標取相反數(shù)。10.√(x^2+y^2)解析：點P到原點的距離是點P的坐標（x，y）的平方和的平方根。三、解答題11.（1）向量AB的坐標是（6，-4）（2）向量AB與x軸的夾角是135°（3）向量AB與y軸的夾角是45°12.（1）向量AB的坐標是（-3，7）（2）向量AB與x軸的夾角是135°（3）向量AB與y軸的夾角是45°13.點A關于x軸的對稱點坐標是（3，-2）14.點A關于y軸的對稱點坐標是（-3，2）15.（1）向量AB的坐標是（-3，7）（2）向量AB與x軸的夾角是135°（3）向量AB與y軸的夾角是45°四、計算題16.向量AB的模長是5解析：向量AB的模長是√((-1-3)^2+(2-(-4))^2)=√(16+36)=√52=2√1317.向量AB與向量OA的夾角θ是135°解析：向量OA的坐標是（-2，3），向量AB的坐標是（6，-4），夾角θ=135°18.向量AB與向量OB的夾角θ是135°解析：向量OB的坐標是（-1，-3），向量AB的坐標是（6，-4），夾角θ=135°五、應用題19.三角形ABC的面積是15解析：使用行列式方法計算三角形面積，|ABC|=|1-45|=1*(-4*5-(-1)*(-3))=1*(-20+3)=-17，面積是絕對值的一半，即15。20.點P到直線l的距離d是3解析：使用點到直線距離公式，d=|2*1-3*2+6|/√(2^2+(-3)^2)=|2-6+6|/√(4+9)=2/√1321.經(jīng)過點A和B的直線方程是x-2y+5=0解析：使用兩點式直線方程，(y-3)=((-4-3)/(-1-2))*(x-2)，化簡得x-2y+5=0。六、證明題22.證明：對于任意兩點A（x1，y1）和B（x2，y2），向量AB的坐標（x2-x1，y2-y1）與向量BA的坐標（x1-x2，y1-y2）互為相反向量。解析：向量AB的坐標是終點坐標減去起點坐標，向量BA的坐標是起點坐標減去