/專題18.32菱形（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．下列命題正確的是（

）A．菱形的對角線互相相等 B．矩形的對角線相等且互相平分C．平行四邊形是軸對稱圖形 D．對角線相等四邊形是矩形2．如圖，點E，F(xiàn)分別在的邊上，，連接．請問下列條件中不能使為菱形的是（

）A． B． C． D．3．如圖，菱形的邊的垂直平分線交于點，交于點，連接．當時，（）A．15° B．30° C．40° D．50°4．如圖，在中，、分別為邊、的中點，點、在上，且，若添加一個條件使四邊形是菱形，則下列可以添加的條件是A． B． C． D．5．如圖，在菱形中，，E在上，，，P點在上，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．6．如圖，在矩形中，O為的中點，過點O的直線分別與交于點E，F(xiàn)，連接．若，，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．7．如圖，菱形的對角線，交于點O．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，長為半徑作弧交于點E；②分別以點B，E為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧在的下方交于點F；③作射線，交于點H．若對角線，的長分別為12，16，則線段的長為（

）A．10 B．24 C．4.8 D．9.68．如圖，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別是邊上的動點，連接和，G，H分別為，的中點，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．19．如圖，菱形的對角線、相交于點O，過點D作于點H，連接，，若菱形的面積為12，則的長為（

）A．10 B． C． D．510．如圖，在坐標系中放置一菱形OABC，已知，點B在y軸上，OA＝1，將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn)，若每次翻轉(zhuǎn)60°，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2022次，點B的落點依次為則的坐標為（

）A．（1346，0） B．（1346.5，） C．（1348，） D．（1349.5，）二、填空題11．菱形的周長是8，一個內(nèi)角為，則菱形的面積為________．12．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，請你添加一個條件________，使四邊形AEDF是菱形．13．如圖，在荾形中，對角線，分別為和，于點，則______．14．如圖，四邊形是平行四邊形，以點為圓心，的長為半徑作弧交于點，分別以點、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交的延長線于點，，，則的長為______．15．如圖，在菱形中，，對角線與交于點O，延長到點E，使得，連接，取的中點M、的中點，連接，則的長為___________．16．如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．（1）計算：=________；（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，△CEF的面積最大值是____________．17．如圖，在矩形中，，，點P從點A出發(fā)，每秒個單位長度的速度沿方向運動，點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿對角線方向運動．已知P，Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點A時，P，Q兩點同時停止運動，連接PQ，設運動時間為t秒．在運動過程中，若將沿翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形，則運動時間t的值為______．18．如圖所示，在矩形紙片ABCD中，點E、F分別是矩形的邊AD、BC上的動點，將該紙片沿直線EF折疊．使點B落在矩形邊AD上，對應點記為點G，點A落在M處，連接EF、BG、BE，EF與BG交于點N．則：（1）四邊形BEGF的形狀是_________．（2）若AB=3，BC=6，當點G與點D重合時，線段EF的長為_____．三、解答題19．如圖，在菱形中，兩條對角線相交于點O，F(xiàn)在上，，連接并延長到E，使，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．20．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，O是AC的中點，AD∥BC.(1)請你添加一個條件(不另加輔助線)要使四邊形ABCD是菱形，還添加的一個條件是_______(2)求證：四邊形ABCD是菱形；21．如圖，在四邊形中，，，對角線交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．22．如圖，在中，，分別以點，點為圓心、大于為半徑作弧，兩弧交于點，點，作直線，交邊于點，交邊于點，過點作交于點，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若四邊形是菱形，直接寫出的度數(shù)．23．如圖，在菱形中，，點E是邊的中點．點M是邊上一動點（不與點A重合），連接并延長交的延長線于點N，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當時，求證：四邊形是矩形；(3)填空：當?shù)闹禐闀r，四邊形是菱形．24．綜合與實踐問題情境：如圖1，在中，，點D是的中點，連接，將沿直線折疊，點B落在點E處，連接．獨立思考：在圖1中，若，，則的長為______；實踐探究：在圖1中，請你判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；問題解決：如圖2，在中，，，點D是的中點，連接，將沿直線折疊，點B落在點E處，連接．請判斷四邊形的形狀，并說明理由．參考答案1．B【分析】根據(jù)四邊形的性質(zhì)選擇即可.解：A.菱形的對角線不相等，故選項錯誤，不符合題意；

B.矩形的對角線相等且互相平分，故選項正確，符合題意；C.平行四邊形不是軸對稱圖形，故選項錯誤，不符合題意；

D.對角線相等四邊形不一定是矩形，故選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點撥】此題考查了四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉四邊形的性質(zhì).2．B【分析】添加，證，得，再由菱形的判定即可得出結(jié)論；添加，證，得，再由菱形的判定即可得出結(jié)論；添加，可以由菱形的判定即可得出結(jié)論，從而得出答案．解：證明：添加，∵四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，∴為菱形，A選項不符合題意；添加，∵四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，∴為菱形，C選項不符合題意；添加，∵四邊形是平行四邊形，∴為菱形，D選項不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】連接，利用判定，從而得到，根據(jù)已知可得出的度數(shù)，從而得的度數(shù)．解：如圖，連接，∵四邊形是菱形，∴，，在和中，∵，∴∴∵垂直平分，，∴∵，∴．故選：B．【點撥】本題考查全等三角形的判定，菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，利用判定是關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，連接交于，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．解：可以添加的條件是，理由：四邊形是平行四邊形，，，、分別為邊、的中點，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，即，，，，，，四邊形是平行四邊形，連接交于，，，，四邊形是菱形，故選：D．【點撥】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】連接，先證出，再兩點之間線段最短可得當點共線時，取得最小值，最小值為的長，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求解即可得．解：如圖，連接，∵四邊形為菱形，，，∴關(guān)于對稱，，，∴，則，由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取得最小值，最小值為的長，又，，∴為等邊三角形，，∴，∴，即的最小值為，故選：D．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．D【分析】連接，易證，可得，A選項得證；根據(jù)已知條件易證四邊形是菱形，再根據(jù)，即可得證B選項；證明，可得，即可得證C選項；根據(jù)，設，則，可得，即可判斷D選項．解：連接，在和中，，∴，∴，在矩形中，，∴，∴，故A選項不符合題意；∵O是的中點，∴，在矩形中，，∴，，∴，∴，∵，，∴四邊形是菱形，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，故B選項不符合題意；∵，，又∵，∴，∴，∵，∴，故C選項不符合題意；∵，，∴，∴設，則，∴∴，∴，故D選項符合題意，故選：D．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)等，本題綜合性較強，屬于中考常考題型．7．D【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法知：，再根據(jù)菱形求面積的方法進行求解．解：根據(jù)尺規(guī)作圖的方法知：∵四邊形為菱形，∴，，根據(jù)勾股定理得：∵∴∴故選：D【點撥】本題考查尺規(guī)作圖和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂題目中作圖的方法能夠得到．8．B【分析】連接，得到是的中位線，，當時，最小，得到最小值，則，證得是等腰直角三角形，求出即可．解：連接，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，∵G，H分別為，的中點，∴是的中位線，∴，當時，最小，得到最小值，則，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值為．故選：B．【點撥】此題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】在中先求得的長，根據(jù)菱形面積公式求得長，再根據(jù)勾股定理求得長，即可得到．解：，，四邊形是菱形，，，，（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半），，，由得：，，，，，故選B．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是推導得出．10．C【分析】連接，根據(jù)條件可以求出，確定B的坐標為，畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4．由于，因此點B向右平移(即)到點，根據(jù)點B的坐標就可求出點的坐標．解：連接，如圖所示，交y軸于點D．∵四邊形是菱形，∴．∵，∴是等邊三角形．∴，∴，∴，∴，∴，∴B的坐標為，如圖所示．由圖可知：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4．∵，∴點B向右平移(即)到點．∵B的坐標為，∴的坐標為．故選：C．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，考查了操作、探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力．發(fā)現(xiàn)“每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4”是解決本題的關(guān)鍵．11．2【分析】過點A作于點E，根據(jù)菱形的周長先求出邊長，再根據(jù)30度角的性質(zhì)求出，再利用菱形的面積公式計算即可得解．解：如圖所示，∵菱形的周長為8，∴邊長，∵一個內(nèi)角，過點A作于點E，則，所以，菱形的面積為，故答案為2．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，能夠正確畫出圖形和求出菱形邊上的高是解題的關(guān)鍵．12．DF∥AB【分析】添加DF∥AB，根據(jù)DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，可以判斷四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立．解：DF∥AB，理由如下：∵DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴平行四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．【點撥】本題主要考查了添加條件，菱形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，菱形的判定，添加DF∥AB．13．【分析】由菱形的性質(zhì)可得，，，由勾股定理可求的長，由菱形的面積公式可求解．解：如圖，設與的交點為O，∵四邊形是菱形，，，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的對角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．14．【分析】連接CE交BF于G，連接CF．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)確定∠EFB=∠CBF，根據(jù)題目中作圖過程確定BP是∠CBE的平分線，根據(jù)等角對等邊和等價代換思想確定BC=EF，根據(jù)菱形的判定定理和性質(zhì)確定BF⊥CE，BF=2BG，根據(jù)角平分線的定義，30°所對的直角邊是斜邊的一半，勾股定理求出BG的長度，進而即可求出BF的長度．解：如下圖所示，連接CE交BF于G，連接CF．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，即．∴∠EFB=∠CBF．∵以點B為圓心，的長為半徑作弧交于點，∴BC=BE．根據(jù)作圖過程可知BP是∠CBE的平分線．∴∠CBF=∠EBF．∴∠EBF=∠EFB．∴BE=EF．∴BC=EF．∴四邊形BCFE是平行四邊形．∴平行四邊形BCFE是菱形．∴BF⊥CE，BF=2BG．∵∠CBE=60°，∴∠CBF=30°．∵BC=4，∴．∴．∴．故答案為：．【點撥】本題考查平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線作圖，等角對等邊，菱形的判定定理和性質(zhì)，30°所對的直角邊是斜邊的一半，勾股定理，綜合應用這些知識點是解題關(guān)鍵．15．【分析】延長到點F，使，連接，求出，得到是的中位線，在中，根據(jù)勾股定理求出即可得到的長．解：在菱形中，，⊥，∴，∵N為的中點，∴，延長到點F，使，連接，如圖：則，∵M是的中點，∴，∴是的中位線，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，故答案為：．【點撥】此題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)及正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．

6

【分析】（1）連接AC，證明，從而得到：，即可求出；（2）利用，可以推出四邊形AECF的面積等于△ABC的面積，利用△CEF的面積等于△ABC的面積減去△AEF的面積，當△AEF的面積面積最小時，即可求出△CEF的面積．解：（1）連接，∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∵△AEF為等邊三角形，∴，∵，，又∵，∴，∵，∴（ASA），∴，∴；故答案為：6．（2）∵∴四邊形AECF的面積=，∴，∴當最小時，最大，根據(jù)垂線段最短，當時，最短，此時最小，∵為等邊三角形，∴當時，，，∴，同理可求：，∴；故答案為：．【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接菱形的對角線，構(gòu)造全等三角形．17．2【分析】根據(jù)題意得：，過點Q作于點M，然后根據(jù)30°角直角三角形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．解：根據(jù)題意得：，如圖所示，過點Q作于點M，∵翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形，∴，∴，∵，∴，∴在，，∴，解得：或6（舍去）．故答案為：2．【點撥】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．18．

菱形

【分析】（1）先證明得到，再由，即可證明四邊形是菱形；（2）設，則，在Rt△BAE中，由勾股定理得，然后求出BD的長，再根據(jù)菱形面積公式求解即可．解：（1）∵四邊形是矩形，∴，∴，由翻折可得，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，故答案為：菱形；（2）∵四邊形是菱形，∴，當D，G重合時，如圖，設，則，在Rt△BAE中，由勾股定理得：,∴，解得，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理與折疊，菱形的性質(zhì)與判定等等，證明四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．19．(1)見分析 (2)【分析】（1）先由菱形的性質(zhì)得到，再由，得到四邊形是平行四邊形，即可證明四邊形是矩形；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)證明是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作答即可．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的的判定方法，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．20．(1)AD＝AB（答案不唯一）(2)見分析【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形ABCD是平行四邊形，故添加AD＝AB即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝BCO，然后證明△ADO≌△CBO，得到OD＝OB，進而可證四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定定理得出結(jié)論．（1）解：∵AD，∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝BCO，又∵O是AC的中點，即OA＝OC，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴添加條件AD＝AB可得四邊形ABCD是菱形，故答案為：AD＝AB；（2）解：∵AD，∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝BCO，又∵O是AC的中點，即OA＝OC，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵添加條件AD＝AB，∴平行四邊形ABCD是菱形．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定以及菱形的判定，靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．(1)見分析 (2)2【分析】(1)先判斷出，進而判斷出，得出，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：∵，∴．∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，對角線交于點．∴，，，∴．∵，∴．在中，，為中點．∴．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．22．(1)見分析 (2)【分析】（1）由題意可知，為線段的垂直平分線，則，，，根據(jù)等腰三角的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可得，進而可得，即，則，由此即可證明．（2）由菱形的性質(zhì)可得，進而可得為等邊三角形，即，由（1）知，四邊形是菱形，則，根據(jù)即可得答案．解：（1）證明：由題意可知，為線段的垂直平分線，，，，，，，，，，四邊形是菱形．（2）解：四邊形是菱形，，，即為等邊三角形，，由（1）知，四邊形是菱形，，，．【點撥】本題考查尺規(guī)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和作圖方法，以及菱形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．23．(1)見分析 (2)見分析 (3)2【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，然后利用“”證明和全等，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證