平面生活中有哪些事物給我們以平面的形象？

情境導(dǎo)入

生活與數(shù)學(xué)YOURSITEHERE平靜的海面教室里的桌面、黑板面、墻面、地面平整的紙張平面的形象學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、掌握平面的表示法，點(diǎn)、直線、平面的關(guān)系，有關(guān)平面的三個(gè)公理；2、會(huì)用符號(hào)語言表示圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系；3、通過共同討論，增強(qiáng)對(duì)平面的感性認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)到我們所處的世界是一個(gè)三維空間。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性質(zhì)，注意它們的條件、結(jié)論、作用、圖形語言及符號(hào)語言。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：平面基本性質(zhì)的掌握與運(yùn)用。思考1:將一條線段向兩端無限伸展得到的圖形是什么？將課桌面、平靜的水面向四周無限伸展得到的圖形是什么？思考2:直線是否有長短、粗細(xì)之分？平面是否有大小、厚薄之別？一.平面

平面是從日常見到的具體平面抽象出來的理想化模型。它具有無限延展，不計(jì)大小，不計(jì)厚薄的特征。

自主探究

二.平面的畫法及表示方法（1）水平放置的平面：（2）豎直放置的平面：通常把表示平面的平行四邊形的銳角畫成ABCD文字語言圖形語言符號(hào)語言位置關(guān)系內(nèi)

容語

言點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線外AC三.用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：ABaPbC直線與平面的位置關(guān)系文字語言圖形語言符號(hào)語言位置關(guān)系內(nèi)

容語

言點(diǎn)與平面的位置關(guān)系點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)不在

平面內(nèi)直線在平面內(nèi)直線在平面外αAαBαα思考如果直線與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)，直線是否在平面α內(nèi)？如果直線與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？

合作探究

如果直線l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l是否在平面α內(nèi)？思考

實(shí)際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：把一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放到桌面上，可以看到，直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上。思考桌面αAB

如果直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線l是否在平面α內(nèi)？

公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。ABl作用：判定直線是否在平面內(nèi)。

在生產(chǎn)、生活中，人們經(jīng)過長期觀察與實(shí)踐，總結(jié)出關(guān)于平面的一些基本性質(zhì)，我們把它作為公理。這些公理是進(jìn)一步推理的基礎(chǔ)。BCABCA自行車有一個(gè)腳撐就可站穩(wěn)，為什么？思考思考:過空間中一點(diǎn)可以做幾個(gè)平面？過空間中兩點(diǎn)呢？三點(diǎn)呢？公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。ACB存在性唯一性作用：確定平面的主要依據(jù)。

不再一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C所確定的平面，可以記成“平面ABC”。下列條件，哪些能確定一個(gè)平面？1、一直線和直線外一點(diǎn)2、兩條平行直線3、兩條相交直線思考推論1.一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。推論2.兩條相交直線確定一個(gè)平面。推論3.兩條平行直線確定一個(gè)平面。公理2.不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。確定一平面還有哪些方法？aACBB

把三角板的一個(gè)角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B

？思考在畫圖時(shí)，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。

觀察長方體，你能發(fā)現(xiàn)長方體的兩個(gè)相交平面有沒有公共直線嗎？觀察

這條公共直線B’C’叫做這兩個(gè)平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交線。

另一方面，相鄰兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一個(gè)公共點(diǎn)B’，經(jīng)過點(diǎn)B有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線B’C’。

公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。作用：①判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù)。②判斷點(diǎn)在直線上。Pl例題講解：例1、(1)用符號(hào)語言表示下面的語句，并畫出圖形．平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.(2)將下面用符號(hào)語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.探究點(diǎn)一三種語言的相互轉(zhuǎn)化[解]

(1)符號(hào)語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用圖形表示：(如圖所示)．(2)文字語言敘述為：點(diǎn)A在平面α與平面β的交線l上，直線AB，AC分別在平面α，β內(nèi)，圖形語言表示如圖所示．

(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示．(2)由符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．例題講解：注意：例題講解：探究點(diǎn)二點(diǎn)、線共面問題例2、證明：兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明：法一：(納入平面法)因?yàn)閘1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3＝B，所以B∈l2.又因?yàn)閘2?α，所以B∈α.同理可證C∈α.又因?yàn)锽∈l3，C∈l3，所以l3?α.所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．例題講解：探究點(diǎn)二點(diǎn)、線共面問題例2、證明：兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法二：(輔助平面法)因?yàn)閘1∩l2＝A，所以l1，l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3＝B，所以l2，l3確定一個(gè)平面β.因?yàn)锳∈l2，l2?α，所以A∈α.因?yàn)锳∈l2，l2?β，所以A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明點(diǎn)、線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．注意：例題講解：探究點(diǎn)三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題例3、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M、N、E、F分別是棱CD、AB、DD1、AA1上的點(diǎn)，若MN與EF交于點(diǎn)Q，求證：D、A、Q三點(diǎn)共線．[證明]因?yàn)镸N∩EF＝Q，所以Q∈直線MN，Q∈直線EF，又因?yàn)镸∈直線CD，N∈直線AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.所以M、N∈平面ABCD，所以MN?平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF?平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直線AD，即D、A、Q三點(diǎn)共線．(1)證明三點(diǎn)共線的方法①首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上．②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上．(2)證明三線共點(diǎn)的步驟①說明兩條直線共面且交于一點(diǎn)．②說明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交．③得到交線也過此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)．例題講解：探究點(diǎn)四平面交線問題例4、如圖所示，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線．

[解]如圖所示，在平面AA1D1D內(nèi)，D1F與DA不平行，分別延長D1F與DA，則D1F與DA必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.

因?yàn)镸∈FD1，M∈DA，F(xiàn)D1?平面BED1F，DA?平面ABCD，所以M∈平面BED1F∩平面ABCD.又B∈平面BED1F∩平面ABCD，連接MB.則直線MB＝平面BED1F∩平面ABCD，即直線MB即為所求兩平面的交線．解決此類問題，必須注意兩個(gè)平面不存在只有一個(gè)公共點(diǎn)的情形．如果有一個(gè)公共點(diǎn)，那么必定有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)，且這些點(diǎn)恰好組成一條直線．同時(shí)要注意，找到兩個(gè)平面的一個(gè)公共點(diǎn)，交線的具體位置還無法判定，只有找到兩個(gè)公共點(diǎn)，才能確定這兩個(gè)平面的交線，這是做幾何體截面時(shí)確定交線經(jīng)常用到的方法．素養(yǎng)提煉：1．立體幾何中的平面與平面幾何中的平面圖形的區(qū)別(1)平面圖形如三角形、正方形、梯形等，它們有大小之分，可以度量．(2)立體幾何中的平面是無大小、厚薄之分的，是不可度量的，它可以無限延展，沒有邊界．(3)立體幾何中的平面是理想的，絕對(duì)平的．2．符號(hào)語言的理解立體幾何中引用集合的觀點(diǎn)，把點(diǎn)看作元素，直線(平面)為點(diǎn)的集合．點(diǎn)與直線(平面)的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)“∈”或“?

”．直線與平面的關(guān)系是包含或不包含關(guān)系，用符號(hào)“?”或“?

”表示．素養(yǎng)提煉：3．對(duì)公理2的理解(1)公理2的條件是“過不在一條直線上的三點(diǎn)”，結(jié)論是“有且只有一個(gè)平面”．條件中的“三點(diǎn)”是骨干，一般不會(huì)被忽視，但“不在一條直線上”這一附加條件則易被遺忘，若無，結(jié)論就不成立了．同時(shí)要注意經(jīng)過一點(diǎn)、兩點(diǎn)或在同一直線上的三點(diǎn)可有無數(shù)個(gè)平面；過不在一條直線上的四點(diǎn)，不一定有平面．(2)公理2中“有且只有一個(gè)”的含義要準(zhǔn)確理解，這里的“有”是說圖形存在，“只有一個(gè)”是說圖形唯一．素養(yǎng)提煉：4．平面的畫法(1)水平的平面的畫法：畫表示水平的平面的平行四邊形，通常把銳角α畫成45°，橫邊畫成鄰邊的2倍．(2)直立的平面的畫法：畫表示直立的平面的平行四邊形，要有一組對(duì)邊為鉛垂線．(3)非水平非直立的平面的面法：畫表示非水平非直立平面的平行四邊形，只要將銳角α畫成不等于45°就可以．平面、平面的畫法及表示法；點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；3.平面的基本性質(zhì)：

(1)如何判定直線在平面內(nèi)？

(2)哪些圖形可以確定一個(gè)平面？

(3)如何判定兩個(gè)平面相交？小結(jié)

總結(jié)反