PAGEPAGE1專題21計(jì)數(shù)原理及隨機(jī)變量分布列【訓(xùn)練目標(biāo)】駕馭兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題；駕馭排列的定義，排列數(shù)的計(jì)算，駕馭常見的幾種排列問題；駕馭組合的定義，組合數(shù)的計(jì)算，駕馭常見的幾種組合問題；駕馭排列組合的綜合問題；能利用排列組合的方法求解概率問題；能正確的列出簡潔隨機(jī)變量的分布列，駕馭期望和方差的求法；駕馭二項(xiàng)分布的期望和方差公式；駕馭正態(tài)分布曲線的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用。駕馭二項(xiàng)式定理，會(huì)利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)，會(huì)利用賦值法求綻開式的系數(shù)和?！緶剀靶√崾尽看祟悊栴}在高考中，一般與概率問題綜合在一起考查，有小題也有大題，所占分值比重較大，但難度中等，屬于必拿分題。在練習(xí)中，要多加思索，總結(jié)方法?！久Ｔ囶}薈萃】1、某高校支配名高校生到個(gè)單位實(shí)習(xí)，每名高校生去一個(gè)單位，每個(gè)單位至少支配一名高校生，則不同的支配方法的種數(shù)為_______.（用數(shù)字作答）【答案】2402、現(xiàn)將個(gè)扶貧款的名額安排給某鄉(xiāng)鎮(zhèn)不同的四個(gè)村，要求一個(gè)村1個(gè)名額，一個(gè)村2個(gè)名額，一個(gè)村3個(gè)名額，一個(gè)村4個(gè)名額，則不同的安排方案種數(shù)為_______.【答案】24【解析】將個(gè)扶貧款的名額分成四份，四份的名額依次是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)和4個(gè)，分到4個(gè)村共有種安排方法.3、在2024年高考來臨之際，食堂的伙食進(jìn)行了全面升級(jí)．某日5名同學(xué)去食堂就餐，有米飯，花卷，包子和面條四種主食．每種主食均至少有一名同學(xué)選擇且每人只能選擇其中一種．花卷數(shù)量不足僅夠一人食用，甲同學(xué)因腸胃不好不能吃米飯，則不同的食物搭配方案種數(shù)為．【答案】132【解析】分兩種狀況探討：（1）甲選花卷有種，（2）甲不選花卷，則甲選包子或面條，有2種選法，在從剩下的4人中選一人選花卷，有4種選法，在剩下的三人中，若有一人與甲相同，則有種，若沒有人與甲相同，則有種，所以共有種，故總共有種.4、現(xiàn)有5名老師要帶3個(gè)愛好小組外出學(xué)習(xí)考察，要求每個(gè)愛好小組的帶隊(duì)老師至多2人，但其中甲老師和乙老師均不能單獨(dú)帶隊(duì)，則不同的帶隊(duì)方案有_______種．（用數(shù)字作答）【答案】545、各高校在高考錄用時(shí)實(shí)行專業(yè)志愿優(yōu)先的錄用原則．一考生從某高校所給的個(gè)專業(yè)中，選擇個(gè)作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個(gè)專業(yè)不能同時(shí)兼報(bào)，則該考生有______種不同的填報(bào)專業(yè)志愿的方法（用數(shù)字作答）．【答案】180【解析】分三類狀況探討，一是選甲不選乙，有，二是選乙不選甲，有，三是既不選甲也不選乙,有，所以共有．6、袋中有形態(tài)、大小都相同的只球,其中只白球,只紅球,只黃球,從中一次隨機(jī)摸出只球,則這只球顏色不同的概率為_______.【答案】【解析】由古典概型概率公式,得所求事務(wù)的概率為.7、的二項(xiàng)綻開式中，常數(shù)項(xiàng)是_______（用數(shù)字作答）．【答案】160【解析】的二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)為，令，所以常數(shù)項(xiàng)為。8、計(jì)箅的值為______.(用數(shù)字作答）【答案】【解析】原題是的展式，故可知為.9、已知，則二項(xiàng)式綻開式中的系數(shù)為________.【答案】10、若二項(xiàng)式的綻開式的第三項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則=________.【答案】6【解析】綻開式的第三項(xiàng)為，因?yàn)榈谌?xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，所以，即.11、設(shè)的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則________．【答案】【解析】的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為.所以.12、設(shè)為正整數(shù)，

綻開式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為_______．【答案】11213、綻開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．【答案】200【解析】令，則，即，因?yàn)榈木`開式的通項(xiàng)為，所以綻開式中常數(shù)項(xiàng)為，即常數(shù)項(xiàng)為.14、設(shè)，則等于________.【答案】15、設(shè)的綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，若，則_________.

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【答案】4【解析】由題意得：令，，，所以。

16、若，則.（用詳細(xì)數(shù)字作答）【答案】31【解析】因?yàn)榱?，有令，有兩式相減得故答案為.17、若，則_________．【答案】122【解析】令可得,令可得，以上兩式兩邊相減可得,即.18、若，則_____．【答案】19、已知某隨機(jī)變量的分布列如下（）：，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望________.【答案】【解析】因?yàn)槔酶怕屎蜑?，得?那么.20、從、、、、這個(gè)數(shù)字中任取不同的兩個(gè)，則這兩個(gè)數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是________．【答案】8.5【解析】從、、、、中任取不同的兩個(gè)數(shù)，其乘積的值為、、、、、、、、、，取每個(gè)值的概率都是，∴.

21、已知某離散型隨機(jī)變量聽從的分布列如圖，則隨機(jī)變量的方差等于_______.【答案】22、某校為了解本校學(xué)生的課后玩電腦嬉戲時(shí)長狀況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．下面是依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天玩電腦嬉戲的時(shí)長的頻率分布直方圖．（1）依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)抽取樣本的平均數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）已知樣本中玩電腦嬉戲時(shí)長在的學(xué)生中，男生比女生多1人，現(xiàn)從中選3人進(jìn)行回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】（1），；（2）詳見解析.【解析】（1）,（2）樣本中玩電腦嬉戲時(shí)長在的學(xué)生為人，其中男生3人，女生2人，則

的可能取值為1，2，3,,,.的分布列為123所以.

23、某市教化部門規(guī)定,中學(xué)學(xué)生三年在校期間必需參與不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)．教化部門在全市隨機(jī)抽取200位學(xué)生參與社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù),按時(shí)間段（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求抽取的200位學(xué)生中,參與社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù),并估計(jì)從全市中學(xué)學(xué)生中隨意選取一人,其參與社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率；（2）從全市中學(xué)學(xué)生（人數(shù)許多）中隨意選取3位學(xué)生,記為3位學(xué)生中參與社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù)．試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）（2）由（1）可知,從全市中學(xué)生中隨意選取1人,其參與社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率為．由已知得,隨機(jī)變量的可能取值為,

則；；；．隨機(jī)變量的分布列為0123

因?yàn)?全部．

24、某精密儀器生產(chǎn)有兩道相互獨(dú)立的先后工序，每道工序都要經(jīng)過相互獨(dú)立的工序檢查，且當(dāng)?shù)谝坏拦ば驒z查合格后才能進(jìn)入其次道工序，兩道工序都合格，產(chǎn)品才完全合格．經(jīng)長期監(jiān)測發(fā)覺，該儀器第一道工序檢查合格的概率為，其次道工序檢查合格的概率為，已知該廠三個(gè)生產(chǎn)小組分別每月負(fù)責(zé)生產(chǎn)一臺(tái)這種儀器．（1）求本月恰有兩臺(tái)儀器完全合格的概率；（2）若生產(chǎn)一臺(tái)儀器合格可盈利萬元，不合格則要虧損萬元，記該廠每月的贏利額為，求的分布列和每月的盈利期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，所以贏利額的數(shù)額可以為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的分布列如下：每月的盈利期望，所以每月的盈利期望值為萬元．25、在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，則落入陰影外部（曲線為正態(tài)分布的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（

）附：若,則，A.B.C.D.【答案】D26、已知隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，且，則（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)椋烧龖B(tài)分布的對(duì)稱性知，與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從而，所以，故選C．27、設(shè)隨機(jī)變量，若的數(shù)學(xué)期望，方差，則（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】，，得，，故選D28、某廠生產(chǎn)的零件外直徑，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測得其外直徑分別為和則可認(rèn)為（

）A.上午生產(chǎn)狀況正常，下午生產(chǎn)狀況異樣B.上午生產(chǎn)狀況異樣，下午生產(chǎn)狀況正常C.上、下午生產(chǎn)狀況均正常D.上、下午生產(chǎn)狀況均異樣【答案】A29、據(jù)統(tǒng)計(jì)，2024年夏季某旅游景點(diǎn)每天的游客人數(shù)聽從正態(tài)分布則在此期間的某一天，該旅游景點(diǎn)的人數(shù)不超過1300的概率為（）附：若則，，.A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)?024年夏季某旅游景點(diǎn)每天的游客人數(shù)聽從正態(tài)分布，，，故選D.30、從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值聽從正