6/19專題01相交線與平行線（考題猜想，9種易錯重難點與新考向解題模型53題）題型一：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系1．（23-24七年級下·四川達州·期末）定義：若、是同旁內(nèi)角，并且，滿足，則稱是的內(nèi)聯(lián)角．(1)如圖1，已知是的內(nèi)聯(lián)角．①當(dāng)時，________°；②當(dāng)直線時，求的度數(shù)．(2)如圖2，已知是的內(nèi)聯(lián)角，點O是線段上一定點．是的內(nèi)聯(lián)角嗎？請說明理由．【答案】(1)①80；②(2)是，理由見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，同旁內(nèi)角等知識點，握平行線的性質(zhì)及同旁內(nèi)角是解決本題的關(guān)鍵．（1）①已知，；②因為，、是同旁內(nèi)角，所以，則，可得的度數(shù)．（2）因為，，，可得，即是的內(nèi)聯(lián)角．【詳解】（1）解：①是的內(nèi)聯(lián)角，，，；故答案為：80．②是的內(nèi)聯(lián)角，，，，，，．（2）解：是，理由如下：是的內(nèi)聯(lián)角，，，，，，又是同旁內(nèi)角，是的內(nèi)聯(lián)角．2．（23-24七年級下·河北滄州·期末）如圖，已知，點P為射線上的動點（不與點A重合），、分別平分和，分別交射線于點C，D．(1)若，則__________；(2)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)設(shè)的度數(shù)為，當(dāng)點P運動到使時，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后利用角平分線的定義得到，，進而求解即可；（2）同（1）的方法求解即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的概念求解即可．【詳解】（1）∵，∴∵、分別平分和，∴，∴；（2），理由：，，，又平分，，；（3），，又，，，、分別平分和，，即，，，，．3．（23-24七年級下·廣東汕頭·期末）如圖，已知，的平分線交交于點.(1)求證：；(2)若點為射線上一點.連接，探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)見詳解(2)或【分析】（1）由平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可得解；（2）分兩種情況討論，分別作圖，運用數(shù)形結(jié)合思想以及平行線的性質(zhì)即可得解．此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：，，平分，，；（2）解：當(dāng)點在線段上時，過點作，交于點，連接，，，，，，．當(dāng)點在線段的延長線上時，過點作，連接，，，，，，．綜上，或．4．（23-24七年級下·浙江臺州·期末）如圖，，過點B的直線交于點G，在之間作射線，與互余．

(1)求證：；(2)作的平分線交于點H，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)及角平分線的有關(guān)計算，（1）由平行得，結(jié)合已知求出即可證出結(jié)論；（2）先求出，根據(jù)角平分線得，即可求出結(jié)論；【詳解】（1）證明：，與互余，；（2），，平分，．5．（23-24七年級下·湖北武漢·期末）如圖，平分，，，求證：平分．完成下面的證明過程．證明：∵（已知），∴______（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵平分，∴（角平分線的定義）．∴（等量代換）．∵，∴（______），______（兩直線平行，同位角相等），∴______（等量代換），∴平分．【答案】，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，，【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．根據(jù)平行線的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】證明：∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵平分，∴（角平分線的定義）．∴（等量代換）．∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（兩直線平行，同位角相等），∴（等量代換），∴平分．6．（23-24七年級下·吉林四平·期末）已知：如圖，點是直線上一動點，連接，過點作交直線于點．(圖2，圖3為備用圖)(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，①依題意，在圖1中補全圖形；②若，則__________(填度數(shù))．(2)當(dāng)點在線段的延長線上時，請寫出的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)當(dāng)點在直線上時，請直接寫出的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)當(dāng)點D在上時，；當(dāng)D點在的延長線上時，；當(dāng)D點在的延長線上時，【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．（1）①根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，所以；（2）當(dāng)D點在的延長線上時，；根據(jù)平行線的性質(zhì)分別進行證明即可；（3）分三種情況進行討論：當(dāng)點D在線段上時，當(dāng)點D在線段延長線上時，當(dāng)點D在線段的延長線上，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】（1）解：①補全圖形如圖1所示：②∵，∴，，∴；（2）解：當(dāng)D點在的延長線上時，如圖2，；理由如下：∵，∴，，∴；（3）解：當(dāng)點D在上時，；∵，∴，，∴；當(dāng)D點在的延長線上時，根據(jù)解析（2）可知，；當(dāng)D點在的延長線上時，如圖3，；理由如下：∵，∴，，∴，∴．7．（23-24七年級下·河南商丘·期末）已知∶平分(1)如圖①，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)如圖②，請你直接寫出之間滿足什么關(guān)系時，．【答案】(1)，理由見解析(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)推出，進而得出，再根據(jù)角的和差關(guān)系、角平分線的定義推出，可證；（2）仿照（1）求出，再根據(jù)，推出，根據(jù)即可求解；（3）根據(jù)推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，，平分，，，，；（2）解：，，，，，平分，，，，，，，；（3）解：當(dāng)時，，理由如下：，，，，，平分，，，，，當(dāng)時，，，，．【點睛】本題考查平行線的綜合問題，掌握平行線的性質(zhì)以及判定定理、角平分線的定義、角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型二：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)8．（24-25七年級上·湖南衡陽·期末）已知：如圖，，．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)若平分，，求的度數(shù)．【答案】(1)；理由見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)可得，從而證明，根據(jù)平行線的判定即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線定義得出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．【詳解】（1）解：．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．9．（23-24七年級下·廣東廣州·期末）如圖，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了，它真的彎了嗎？其實沒有，這是光的折射現(xiàn)象，光從空氣中射入水中，光的傳播方向發(fā)生了改變．(1)請指出的同位角的有哪些？(2)若，測得，從水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折彎的的度數(shù)為多少？【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了對同位角定義的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力，題目是一道比較好的題目，難度適中．平行線的性質(zhì)：（1）兩直線平行同位角相等；（2）兩直線平行內(nèi)錯角相等；（3）兩直線平行同旁內(nèi)角互補．（1）根據(jù)同位角的定義（兩條直線被第三條直線所截，處于兩條直線的同旁，位于第三條直線的一側(cè)的兩個角叫同位角）逐個判斷即可．（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：與是同位角的有，；（2）解：∵，．∵，∴．10．（24-25七年級上·山西臨汾·期末）在科學(xué)實驗課上，小明做了兩個富有趣味的實驗，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：1．光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不一樣的，而且當(dāng)光線從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時，折射現(xiàn)象便會發(fā)生；2．經(jīng)過反復(fù)實驗，小明還發(fā)現(xiàn)凸透鏡具有這樣一種特性，那就是它能讓與主光軸平行的光線匯聚在主光軸上的某一點．基于這些發(fā)現(xiàn)，小明精心設(shè)計了以下兩個問題．(1)如圖1，這是一塊玻璃的兩面，且．現(xiàn)有一束光線從玻璃中射向空氣時發(fā)生折射，光線變成為射線上的一點．已知，求的度數(shù)．(2)如圖2，箭頭所畫的是光線的方向，是凸透鏡的焦點，．若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)，利用角的關(guān)系求解；（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再根據(jù)鄰補角的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，，再根據(jù)角的和差求出的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴．（2）解：∵，∴，，∵，，∴，，∴．11．（23-24七年級下·湖北武漢·期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生們進行了折紙的系列綜合實踐活動：〖活動素材〗如圖，長方形紙片．〖活動1〗如圖1，將長方形紙片進行折疊，第1次折疊，折疊后與交于點G，在探究過程中，同學(xué)們通過測量發(fā)現(xiàn)與的度數(shù)總是相等的；〖活動2〗如圖2，在活動1的基礎(chǔ)上，將長方形紙片進一步折疊，第2次沿折疊，且，同學(xué)們通過研究發(fā)現(xiàn)與之間也存在一定的數(shù)量關(guān)系；〖活動3〗如圖3，在活動2的基礎(chǔ)上，作的平分線，并反向延長與的平分線交于點Q，與之間是否也存在確定的數(shù)量關(guān)系呢?〖任務(wù)1〗求證：；〖任務(wù)2〗若，求的度數(shù)；〖任務(wù)3〗請畫出點Q，并直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】〖任務(wù)1〗

〖任務(wù)2〗

〖任務(wù)3〗【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，作輔助線構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解題即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)角的和差得到，然后根據(jù)解題即可；（3）根據(jù)任務(wù)的結(jié)論計算，然后過點作，則，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)即可得到結(jié)論．【詳解】解：〖任務(wù)1〗如圖1，則，又∵∴，∴；〖任務(wù)2〗解：由折疊可得，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴；〖任務(wù)3〗由折疊可得，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴；∵平分，平分，∴，，∴，過點作，∵，∴，∴，，∴．12．（23-24七年級下·重慶渝北·期末）已知直線，點和點分別在直線和上，點在直線之間，連接．(1)如圖，若，，則；(2)如圖，若點是直線下方一點，連接與直線交于點，連接，分別是的角平分線，已知，．求的度數(shù)？(3)如圖，連接，點在點右側(cè)且在直線上，過點在下方作，垂足為點，若，，平分．將射線繞點以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，射線在內(nèi)部且，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，直接寫出與的任意一條邊平行時的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（）如圖，作，可得，再利用平行線的性質(zhì)即可求解；（）由角平分線的定義得，，進而由（）得，即得，得到，如圖，作，得，又由平行公理的推論得，即得到，最后利用角的和差關(guān)系即可求解；（）利用角平分線可得，進而由平行線的性質(zhì)可得，即得，又由垂直得，過作與的一條邊平行，再分，，三種情況分別畫出圖形解答即可求解；本題考查了平行線性質(zhì)，平行公理的推論，角平分線的定義，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，作，∵，∴，∴，，∴，故答案為：；（2）解：∵分別是的角平分線，∴，，由()可得，，∴，解得，∴，如圖，作，∴，∵，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為；（3）解：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，過作與的一條邊平行，由題意知，分，，三種情況，當(dāng)即時，如圖①，∴，∵，∴，此情況不成立；當(dāng)，即時，如圖②，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴旋轉(zhuǎn)了，∴；當(dāng)，即時，如圖③，∵∴，∵，∴，∴旋轉(zhuǎn)了，∴；綜上，當(dāng)與的一條邊平行時，的值為或．題型三：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用13．（23-24七年級下·廣西百色·期末）如圖，一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來的方向相同．如果第一次的拐角，則第二次的拐角度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì)．根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可知，進而得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來的方向相同，∴，∴，故選：C．14．（23-24七年級下·廣西貴港·期末）在兩千多年前，我們的先祖就運用杠桿原理發(fā)明了木桿秤，學(xué)名叫作戥子，如圖，這是一桿古秤在稱物時的狀態(tài)，已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求解．【詳解】解：如圖所示，依題意，，

∴，∵，，∴，∴．故選：C．15．（23-24七年級下·北京豐臺·期末）為打造生態(tài)濕地濱水景觀，園林綠化局在永定河兩岸筆直且互相平行的景觀道，上分別放置，兩盞激光燈．如圖，燈發(fā)出的光束自逆時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈發(fā)出的光束自逆時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，燈每秒轉(zhuǎn)動，燈每秒轉(zhuǎn)動，燈先轉(zhuǎn)動2秒，燈才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)燈光束第一次到達之前，兩燈的光束互相平行時燈旋轉(zhuǎn)的時間是（

）

A．3或21秒 B．3或19.5秒 C．1或19秒 D．1或17.5秒【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、一元一次方程的幾何應(yīng)用等知識點，設(shè)A燈旋轉(zhuǎn)時間為t妙，B燈光束第一次到達要則，分兩種情況，分別畫出圖形利用平行線的性質(zhì)列出關(guān)于t的一元一次方程求解即可．【詳解】解：設(shè)A燈旋轉(zhuǎn)時間為t妙，B燈光束第一次到達要，∴，由題意滿足以下條件時，兩燈的光束互相平行，如圖1：，即，解得：，如圖2此時，即，解得：，綜上：當(dāng)燈光束第一次到達之前，兩燈的光束互相平行時燈旋轉(zhuǎn)的時間是1或17.5秒，故選：D．16．（23-24七年級下·山西朔州·期末）如圖，在一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道和，如果管道與縱向聯(lián)通管道的夾角，那么管道與縱向聯(lián)通管道的夾角的度數(shù)等于．【答案】/80度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)平行線的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故答案為：．17．（23-24七年級下·云南曲靖·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時，會發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，，則的度數(shù)為．【答案】/122度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行同位角相等得出，再由兩直線平行同旁內(nèi)角互補即可得出答案．【詳解】解：如圖：∵水中的兩條光線平行，，∴，∵水面和杯底互相平行，∴，∵，故答案為：．18．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖是一種躺椅及其側(cè)面簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手與底座都平行于地面，靠背與支架平行，前支架與后支架分別與交于點和點，與交于點，當(dāng)時，人躺著最舒服，求此時和的度數(shù)．請補充求解過程，并在括號內(nèi)添上相應(yīng)的理由．解：因為扶手與底座都平行于地面，即，因為（已知）．所以（

）．因為______（平角的定義），又因為（已知），所以______（等式的基本性質(zhì)）．因為（已知），所以______（

）．所以______（平角的定義）．【答案】兩直線平行，同位角相等；；；；兩直線平行，同位角相等；【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)完成證明過程，即可求解．【詳解】解：因為扶手與底座都平行于地面，即，因為（已知）．所以（兩直線平行，同位角相等）．因為（平角的定義），又因為（已知），所以（等式的基本性質(zhì)）．因為（已知），所以（兩直線平行，同位角相等）．所以（平角的定義）．故答案為：兩直線平行，同位角相等；；；；兩直線平行，同位角相等；．題型四：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度19．（23-24七年級下·廣西南寧·期末）如圖，在三角形中，D、E、F分別是、、上的點，且．(1)若，試判斷與是否垂直，并說明理由；(2)若平分，，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)，可得，再由，即可求解；（2）根據(jù)，可得，從而得到，再根據(jù)角平分線的定義，可得，即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∴．20．（23-24七年級下·湖南長沙·期末）如圖，已知，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定等知識．（1）先根據(jù)得到，結(jié)合證明，從而得到；（2）先求出，再證明，進而證明，即可求出．【詳解】（1）證明：，，又，，；（2）解：，，，，，，，，即，．21．（24-25七年級上·福建泉州·期末）如圖，在四邊形中，是延長線的一點，連接交于點，若．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，補角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，得出，再根據(jù)平行線的判定方法進行求解即可；（2）由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)，得出，根據(jù)平行線的判定得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．22．（23-24七年級下·黑龍江雞西·期末）如圖，直線，．(1)補全下列說理過程；∵（已知），∴_______（___________）．∵（已知），∴_______（等量代換），∴（__________）；(2)若平分，且，求的度數(shù)．【答案】(1)；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；(2)．【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、對頂角相等，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合題意得出，即可得證；（2）由平行線的性質(zhì)結(jié)合題意得出，再由角平分線的定義得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵（已知），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵（已知），∴（等量代換），∴（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）（2）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴．23．（23-24七年級下·廣東汕頭·期末）如圖，點B，C在線段的異側(cè)，點E，F(xiàn)分別是線段上的點，已知，．(1)求證：；(2)若，且，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了平行線的判定、平行線的性質(zhì)，靈活運用平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．（1）由已知條件結(jié)合對頂角相等可得，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等、兩直線平行即可證明結(jié)論；（2）先證明，再結(jié)合可得，進而證得，由平行線的性質(zhì)可得，即，再結(jié)合求解即可解答．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴．（2）解：∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴①，又∵②，∴①②聯(lián)立可得，∴．24．（22-23七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）已知：直線EF分別交直線AB，CD于點G，H，且，(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點M，N分別在射線GE，HF上，點P，Q分別在射線CA，HC上，連接MP，NQ，且，分別延長MP，NQ交于點K，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接KH，KH平分，且HE平分，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)【分析】（1）利用，再利用等量代換，即可解決；（2）過作，因為，所以，則，，代入即可解決．（3）過作，過作，可以得到，設(shè)，利用平行線的性質(zhì)，用表示出角，即可解決．【詳解】（1），，，，（2）過作，如圖，，，，，，（3）如圖，過作，過作，，，平分∴可設(shè)，∵平分,【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是過拐點作平行線，利用平行線的性質(zhì)進行導(dǎo)角．題型五：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明25．（23-24七年級下·遼寧沈陽·期末）補全下面推理過程：已知：如圖，，E是直線AB上的一點，CE平分，射線，與互余．求證：證明：，______平分，______=______角平分線定義，______等量代換，______，垂直的定義，，______，與互余，______互余的定義，______，______【答案】兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，兩直線平行【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】證明：，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），平分，（角平分線定義），（等量代換），，（垂直的定義），，，與互余，（互余的定義），（同角的余角相等），（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，兩直線平行26．（23-24七年級上·福建福州·期末）如圖，已知，，垂足分別為、，．試說明：，在下列解答中，在橫線填空（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵，（________），∴（________）∴（________）∴________（________）又∵（________），∴（________）∴________（________）∴（________）【答案】已知；垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；已知；同角的補角相等；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等【分析】本題考查了垂直的定義，平行線的判定和性質(zhì)，同角的補角相等．根據(jù)相關(guān)知識點逐一判斷填空即可．【詳解】解：∵，（已知），∴（垂直的定義）∴（同位角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）又∵（已知），∴（同角的補角相等）∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同位角相等）27．（24-25七年級上·福建泉州·期末）如圖，如果，，那么與平行嗎？閱讀下面的解答過程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵（已知）（平角的定義）∴①________（同角的補角相等）∴②________（同位角相等，兩直線平行）∴（③________）∵（已知）∴（等量代換）∴（④________）【答案】見解析【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)同角的補角相等，平行線的判定方法和性質(zhì)，進行作答即可．【詳解】解：∵（已知）（平角的定義）∴（同角的補角相等）∴（同位角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同位角相等）∵（已知）∴（等量代換）∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．28．（24-25七年級上·河南商丘·期末）如圖，已知直線，當(dāng)點E在直線與之間時．(1)與之間有怎樣的關(guān)系（寫出結(jié)論即可）；(2)當(dāng)點E在直線與之外時，試猜想這三個角的關(guān)系并加以證明．【答案】(1)(2)或，見解析【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，（1）過點E作，先證明，得出，根據(jù)角的和差計算得出結(jié)論；（2）分兩種情況：當(dāng)E在的上方時或當(dāng)E在的下方時，分別作輔助線根據(jù)平行線的性質(zhì)求出結(jié)論．【詳解】（1）解：與之間的關(guān)系為：，理由如下：如圖1，過點E作，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：如圖2，當(dāng)E在的上方時，，證明如下：過點E作，∵，∴，∴，∴；如圖3，當(dāng)E在的下方時，，證明如下：過點E作，∵，∴，∴，∴．29．（23-24七年級下·湖南湘西·期末）中國漢字博大精深，方塊文字智慧靈秀，奧妙無窮．如圖①所示的是一個“互”字，如圖②所示的是由圖①抽象的幾何圖形，其中，．點E，M，F(xiàn)在同一直線上，點G，N，H在同一直線上，且．(1)與平行嗎？請說明理由；(2)試說明：．【答案】(1)，見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵，（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合鄰補角的定義即可證明．【詳解】（1）解：．理由如下：因為，所以．因為，所以，所以；（2）證明：如圖，延長交于點．因為，所以．因為，所以，所以．因為，所以．30．（23-24七年級下·江西宜春·期末）【探索發(fā)現(xiàn)】（1）已知：如圖1，，點M在，之間，連接，．證明：．【深入思考】（2）如圖2，點E，F(xiàn)分別是射線，上一點，點G是線段上一點，連接并延長，交直線于點M，連接，，若，求證：；【拓展延伸】（3）如圖3，在（2）的條件下，，平分，平分，與交點N，若，，．求的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）過點作，證明，則，．即可得到結(jié)論；（2）由鄰補角、三角形內(nèi)角和定理和（1）中的結(jié)論求出，即可證明；（3）利用平行線的性質(zhì)和（2）中的條件列方程，進行解答即可．【詳解】（1）解：過點作，，．，．．即；（2）證明：在三角形中，，，．∵，．∴；（3）解：平分，，．設(shè)，．在（2）的條件下，．在（2）的條件下，，，解得：，．設(shè)，平分，．，．．，在（2）的條件下，，同理可得：．即，解得：，．【點睛】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，角的計算，角平分線的定義，準確識圖，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．31．（23-24七年級下·重慶江津·期末）已知，直線與直線分別交于點E、F.(1)如圖1，，求證：；(2)如圖2，在（1）的條件下，與的角平分線交于點P，與交于點G，點H是上一點，且，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，K是上一點，使，作平分，問的大小是否發(fā)生變化，若不變，請求出其值；若變化，說明理由.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)的大小不變，.【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、余角和補角，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、余角和補角．（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行即可判斷直線與直線平行；（2）過點P作，根據(jù)與的角平分線交于點，可得，進而證明；（3）根據(jù)角平分線定義，及角的和差計算即可求得的度數(shù)．【詳解】（1）（1）解：，理由如下：，，，，∴；（2）解：如圖，過點P作，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴（3）解：的大小不變，.理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，平分，∴，∴．32．（23-24七年級下·四川廣元·期末）已知直線，點A，C在直線上，點B，D在直線上．(1)如圖1，若，，且，則的度數(shù)為；(2)如圖2，若，，平分，過點D作交于點F，求證：；(3)如圖3，若，直線和直線相交于點K，點H在上方的直線上，試探究，和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)滿足條件的關(guān)系是或，理由見解析【分析】（1）由垂直的定義先求出再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到；（2）設(shè)則，由角平分線的定義得到則，同理可得，再由垂直的定義得到,則；（3）分當(dāng)點在點上方時，當(dāng)點在點C，K之間時，點H在點C，D之間時，三種情況畫出圖形，根據(jù)角之間的關(guān)系求解即可．本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂直的定義，角平分線的定義，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，，，∵,，故答案為：；（2）證明：設(shè)．，．平分，，．，，，，．，，．（3）解：如圖，當(dāng)點H在點K上方時，過點H作，則，，，，，，；如圖，當(dāng)點H在點C，K之間時，過點H作，則，，，，，，，即；如圖，當(dāng)點H在點C，D之間時，過點H作，則，，，，，，．綜上所述，滿足條件的關(guān)系是或題型六：解題模型-豬蹄模型33．（22-23七年級下·江西·期末）【問題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)一個熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．

【問題探究】（1）如圖1，，為、之間一點，連接、，得到與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【類比遷移】（2）請你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，直線．若，，，求的度數(shù)；【靈活應(yīng)用】（3）如圖3，直線，若，，則__________度．【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）【分析】（1）過點E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，進而求解即可；（2）過點G作，由（1）中的結(jié)論得到，，進而求解即可；（3）過點E作，首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）如圖所示，過點E作

∵∴∵∴∴∴；（2）如圖所示，過點G作

∵∴由（1）可得，，∴；（3）如圖所示，過點E作

∵，∴∵∴∴∵∴∴．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理，并能熟練應(yīng)用．34．（23-24七年級上·湖南衡陽·期末）【模型發(fā)現(xiàn)】某校七年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在活動中發(fā)現(xiàn)：如圖1的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是大家就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，，是、之間的一點，連接，，則有．請你證明這個結(jié)論．(2)【運用】如圖2，，、是、之間的兩點，且，請你利用（1）中“豬蹄模型”的結(jié)論，找出、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【延伸】如圖3，，點、分別在、上，、分別平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)論，無需證明）【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)等于【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，利用“豬蹄模型”是解題關(guān)鍵．（1）如圖，過作．得，故，，因此．（2）過作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可．（3）由角平分線得，，由“豬蹄模型”得，再利用平行線和三角形內(nèi)角和計算即可．【詳解】（1）證明：如圖，過作．，，，，．（2）解：、、三者之間的數(shù)量關(guān)系：．理由如下：如圖：過作．由（1）①．，，②，①②得，即，，，．答：、、三者之間的數(shù)量關(guān)系：．（3）證明：、分別平分和，，，由（1）結(jié)論得：，，．，，，由三角形內(nèi)角和得：．答：等于．35．（22-23七年級上·四川遂寧·期末）【問題背景】同學(xué)們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)一個我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，，E為，之間一點，連接，，得到．試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)【類比探究】請你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，已知，，點E在上，，請你說明；（把下面的解答補充完整）解：因為所以（

）因為（

）又因為所以（

）即所以由（1）知∴(3)【拓展延伸】如圖3，平分，平分，．若，請直接寫出的度數(shù)為．【答案】(1)，理由見解析(2)見解析(3)【分析】（1）過點E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定求解即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由角平分線及（1）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1），理由如下：過點E作，如圖：∵，∴，∴，∴，即；（2）因為所以（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）因為（平角的定義）又因為所以（等角的補角相等）即所以有由（1）知：所以．（3）∵∴，∵即，∴由（1）可知，，∵平分，平分，∴，又∵，∴∴，∵∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的計算，理解題意，熟練掌握運用平行線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．36．（23-24七年級下·江西景德鎮(zhèn)·期中）【問題背景】同學(xué)們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)一個我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，，E為，之間一點，連接、，得到．試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)【類比探究】請你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：如圖②，若，點E、F為直線、之間兩個點，連接、、，，求的值．并說明理由．(3)【拓展延伸】如圖③，如圖，，平分，平分，、的反向延長線相交于點H，，求的值．寫出必要的求解過程．【答案】(1)，證明見解析(2)，理由見解析(3)【分析】本題考查的是角平分線的定義，平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；（1）過E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）如圖，過作，過作，證明，可得，，，再結(jié)合角的和差關(guān)系可得答案．（3）如圖，分別過作，的垂線，由（1）可得：，，證明，，，，可得，可得，過作的平行線，而，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：，理由如下：過E作，如圖，

∵，∴，∴，∴，即；（2）如圖，過作，過作，∵，∴，∴，，，∵，∴，∴．（3）如圖，分別過作，的垂線，，∴，∵，∴，由（1）可得：，，∵平分，平分，∴，，∴，，，，∵∴，∴，∴，過作的平行線，而，∴，∴，，∴，∴．37．（22-23七年級上·四川宜賓·期末）幾何模型在解題中有著重要作用，例如美味的“豬蹄模型”．(1)導(dǎo)入：如圖①，已知，如果，，那么；(2)發(fā)現(xiàn)：如圖②，已知，請判斷與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)運用：(i)如圖③，已知，，點、分別在、上，，如果，那么；如圖④，已知，點、分別在、上，、分別平分和．如果，那么；如圖⑤，已知，點、分別在、上，、分別平分和，且．如果，那么．(用含的代數(shù)式表示)【答案】(1)(2)，理由見解析(3)(i)；(ii)；(iii)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進而根據(jù)，即可求解；（2）過點作，根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）（）由（2）可得，，得出，根據(jù)，即可求解；（）由“豬蹄模型”，可得，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，繼而根據(jù)，即可求解；（）如圖所示，延長交于點，設(shè)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，∵∴∵，，∴∴故答案為：．（2）,如圖所示，過點作，，，，，，；（3）解：（）由（2）可得，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．（）解：如圖所示，∵由“豬蹄模型”，可得，；∵、分別平分和∴∴∴，∴,故答案為：．（）解：如圖所示，延長交于點，設(shè)，∵、分別平分和，∴，∵∴，∵∴，∴∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定求角度，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型七：解題模型-鉛筆模型38．問題情境1：如圖1，，是、內(nèi)部一點，在的右側(cè)，我們稱這種模型為“鉛筆模型”，探究，，之間的關(guān)系，小明的思路是：如圖2，過作，通過平行線性質(zhì)，可得，，之間的關(guān)系是；問題情境2：如圖3，，是，內(nèi)部一點，在的左側(cè)，我們稱這種模型為“豬腳模型”，仿照問題1的思路可得，，之間的關(guān)系是；問題遷移：請合理利用上面的結(jié)論解決以下問題：已知，與兩個角的角平分線相交于點．（1）如圖4，若，求的度數(shù)；（2）如圖5中，，，探究與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖5中，若，，設(shè)，用含有，的代數(shù)式直接寫出．【答案】問題情境；問題情境2:；（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線、等分線及四邊形的內(nèi)角和的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯角，依據(jù)平行線的性質(zhì)進行推導(dǎo)計算，解題時注意類比思想的運用．問題情境1：過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，，進而得出：；問題情境2：過點作，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②，③根據(jù)①中的方法可得出結(jié)論；問題遷移：（1）如圖4，根據(jù)角平分線定義得：，，由問題情境1得：，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得結(jié)論；（2）設(shè)，，則，，，，根據(jù)問題情境和四邊形內(nèi)角和得等式可得結(jié)論；（3）同（2）將3倍換為倍，同理可得結(jié)論．【詳解】解：問題情境如圖2，，理由是：過作，，，∴，，，，即，故答案為：；問題情境2：如圖3，，理由是：過點作，∵，∴，，，，即；故答案為：；問題遷移：（1）如圖4，、分別是和的平分線，，，由問題情境1得：，，，，；（2）如圖5，，理由是：設(shè)，，則，，，，由問題情境1得：，，，，，，；（3）如圖5，設(shè)，，則，，，，由問題情境1得：，，，，，；故答案為：．39．（23-24七年級上·山東濟南·期末）【問題情境】（1）如圖1，，，求度數(shù)．小穎同學(xué)的解題思路是：如圖2，過點P作，請你幫忙完成推理過程：解：（1）過點P作（如圖2）則（）∴∵，∴（）∴又∵∴∴【問題遷移】（2）如圖3，，點P在射線上運動，當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時，．試判斷，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，已知兩條直線，點P在兩平行線之間，且的平分線與的平分線相交于點Q，求的度數(shù)．【答案】（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2），理由見解析；（3）【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握題干中的方法并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）利用平行線的性質(zhì)解答即可；（2）過點P作，根據(jù)（1）的方法，利用平行線的性質(zhì)解答即可；（3）過點P作，過點Q作，利用（2）的結(jié)論和角平分線的定義解答即可．【詳解】解：（1）過點P作（如圖2）則：（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴．∵，，∴（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．∴．又∵，∴，∴．故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2），，之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由：過點P作，如圖，∴．∵，∴，∴，∴．（3）過點P作，過點Q作，如圖，由（2）的結(jié)論可得：，∵的平分線與的平分線相交于點Q，∴，∴．40．（1）如圖1，，則度．如圖2，，則度．如圖3，，則度．請在圖2中，證明你所填寫結(jié)論的正確性．（2）如圖4，，則度．（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖5，已知AB//CD．∠ABE和∠CDE平分線相交于F．∠E＝m°（0＜m＜180），用含m代數(shù)式表示∠BFD度數(shù)，并判斷∠BFD是鈍角、銳角還是直角？【答案】（1）①180，②360，③540；（2）（n-1）180°；（3）180°-m°，∠BFD是鈍角【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得結(jié)論．根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行，把此問題轉(zhuǎn)化為上題形式，可得結(jié)論．在上題的基礎(chǔ)上，多加一個180°，思路不變，可得結(jié)論．（2）通過觀察圖形，尋找規(guī)律：兩個A點時，結(jié)論是1×180°，三個A點時，結(jié)論是2×180°，四個A點時，結(jié)論是3×180°，所以n個A點時，即可得結(jié)論．（3）運用上述結(jié)論和角平分線定義可得結(jié)論．【詳解】解：∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．過點A2作A2B∥A1M，∴∠MA1A2+∠A1A2B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．又∵MA1∥NA3，∴A2B∥NA3（平行于同一條直線的兩條直線平行）．∴∠BA2A3+∠A2A3N=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∴∠MA1A2+∠A1A2B+∠BA2A3+∠A2A3N=180°+180°=360°，即∠A1+∠A2+∠A3=360°；分別過點A2、A3作A2B∥A1M、A3C∥A1M，同上題可得180°+180°+180°=540°，即∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，故答案為：180，360，540．（2）∵∠A1+∠A2=180°=1×180°，∠A1+∠A2+∠A3=360°=2×180°，∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°=3×180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=（n-1）180°．故答案為：（n-1）180°．（3）根據(jù)上述結(jié)論得：∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE=360°，又∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF=360°，即2（∠ABF+∠CDF）+∠E=360°，∴2（∠ABF+∠CDF）=360°-∠E=360°-m°，∴∠ABF+∠CDF=180°-m°，即∠BFD=180°-m°，又∵0＜m＜180，∴0＜m＜90，∴90°＜180°-m°＜180°，∴∠BFD是鈍角．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題時注意：平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系；還要注意規(guī)律性問題的探究過程．41.已知，點P在直線之間，連接．(1)探究發(fā)現(xiàn)：（填空）如圖1，過P作，______（已知）（____）_______；(2)解決問題：①如圖2，延長至點分別平分交于點Q，試判斷與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖3，若，分別作分別平分，求的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)180，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，360(2)①；②=【分析】（1）讀懂每步推理及推理的依據(jù)，即可完成填寫；（2）①兩角關(guān)系為：；由AB∥CD、角平分線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得，再由（1）的結(jié)論即可得到兩角的關(guān)系；②延長AM交CD于H，設(shè)∠BAM=β，∠MDN=α，由平行線的性質(zhì)及（1）的結(jié)論可得∠B+2α=80゜，∠B+2β=180゜，從而可得β?α=40゜；再由AB∥CD及三角形外角的性質(zhì)可得∠AMD=∠MHD+α=180?β+α，從而可求得結(jié)果．【詳解】（1）（1）如圖1，過P作，180（已知）（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）360；故答案為：180；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；360（2）①分別平分∴，由（1）知②如圖3，延長AM交CD于H設(shè)∠BAM=β，∠MDN=α∵AM、DM分別平分∠PAB、∠CDN∴∠PAM=∠BAM=β，∠MDH=∠MDN=α∵BN∥AP，DN∥PC∴∠B+2β=180゜，∠C+2α=180゜∴∠B+2β+∠C+2α=360゜由（1）結(jié)論及∠APC=100゜∴2β+∠C=360゜?∠APC=260゜∴∠B+2α=100゜∴∠B+2β?(∠B+2α)=80゜即β?α=40゜∵AB∥CD∴∠MHD=180゜?β∴∠AMD=∠MHD+α=180?β+α==180゜?(β?α)=140゜即的度數(shù)為【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)等知識，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線是解決本題后兩問的關(guān)鍵，也是本題的難點．42．（22-23七年級下·湖北武漢·期中）已知直線，點P在直線之間，連接．(1)如圖1，若，直接寫出的大??；(2)如圖2，點Q在之間，，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，的角平分線交CD于點M，且，點N在直線之間，連接，，直接寫出的值（用含n的式子表示，題中的角均指大于且小于的角）．【答案】(1)(2)；(3)【分析】（1）過點P作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過點P作，過點Q作，則，，結(jié)合，即可得到結(jié)論；（3）過點P作，則，可得，過點N作，可得，即，結(jié)合，可得，進而可得結(jié)論.【詳解】（1）解：過點P作，則，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：過點P作，過點Q作，則，，∴，∴，即，同理：，∵，∴，∴,∴；（3）解：過點P作，則，∵，∴，即，∵，∴，∴過點N作，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴.【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，添加輔助線，理清各個相關(guān)角的關(guān)系是關(guān)鍵.題型八：解題模型-鳥頭模型43．①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點在直線上，則．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①過點E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正確；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個數(shù)為3，故選：C．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．44．（23-24七年級下·遼寧大連·期末）【問題初探】（1）數(shù)學(xué)活動課上，李老師和同學(xué)們共同探究平行線的作用，李老師給出如下問題：，點為下方一點，連接，，得到，試探究與，的數(shù)量關(guān)系．①小紅的做法是：如圖2，過點作．②小明的做法是：如圖3，設(shè)交于點，過點作．請你選擇一名同學(xué)的做法，寫出證明過程．【歸納總結(jié)】（2）李老師和同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，在解決題目的過程中，都運用了作平行線的方法，平行線起到了構(gòu)造等角的作用．為了幫助學(xué)生更好的體會平行線的作用，李老師提出了下面問題，請你解答．如圖，直線，點在，之間，點在下方，連，．延長至，和的角平分線相交于點．探究與的數(shù)量關(guān)系；圖4【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定；（1）①過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出；②設(shè)交于點，過點作．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進而可得；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得由（1）可得，即可求解．【詳解】解：（1）①小紅的做法是：如圖2，過點作．∵∴∴∵；②小明的做法是：如圖3，設(shè)交于點，過點作．∴，∵∴∴（2）如圖所示，過點作∵和的角平分線相交于點．∴∵∴∴由（1）可得∴45．（1）如圖（1），猜想與的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，不需要說明理由．

【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）圖（3），圖（4）【分析】（1）過點P作，得到，由，，得到，得到，由此得到；（2）過點P作，由，得到，從而得到結(jié)論；（3）由，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得與的關(guān)系．【詳解】（1）解：猜想．理由：過點P作，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）．理由：如圖，過點P作，

∵，∴，∴，∴；（3）如圖（3）：．理由：∵，

∴，∵，∴，即；如圖（4）：．理由：∵，

∴，∵，∴，即．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．46.已知．

(1)如圖1，求證：；(2)若F為直線、之間的一點，，平分交于點G，交于點C．①如圖2，若，且，求的度數(shù)；②如圖3，若點K在射線上，且滿足，若，，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①；②或【分析】（1）過E作，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進行解答即可；（2）①過F作，交于H點，過點作，則，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合，從而得出，進而得出答案；②過點F作，設(shè)，則，，所以，，然后分當(dāng)K在上；當(dāng)K在延長線上兩種情況進行解答即可．【詳解】（1）解：如圖，過E作，

∴，又∵，∴，∴，即；（2）①如圖，過F作，交于H點，過點作，則，，

∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，∴；②如圖，過點F作，則，作，

設(shè)，則，∵，∴，∵∴，，∵，∴∴，即∴，，當(dāng)K在上，，同推出的道理可證：∴，∵平分，∴，即，∴；當(dāng)K在延長線上時，

同推出的道理可證：∴∵∴，∵平分，∴，即，∴；綜上所述，或．故答案是：或．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質(zhì)、作出正確輔助線、運用分類討論的思想解題是關(guān)鍵．47．（23-24七年級下·遼寧大連·期末）【問題初探】（1）數(shù)學(xué)活動課上，李老師和同學(xué)們共同探究平行線的作用．李老師給出如下問題：，點為下方一點，連接，得到，試探究與的數(shù)量關(guān)系．（1）小紅的做法是：如圖2，過點作．（2）小明的做法是：如圖3，設(shè)交于點，過點作．請你選擇一名同學(xué)的做法，寫出證明過程．【歸納總結(jié)】（2）李老師和同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，在解決題目的過程中，都運用了作平行線的方法，平行線起到了構(gòu)造等角的作用．為了幫助學(xué)生更好的體會平行線的作用，李老師提出了下面問題，請你解答．如圖4，直線，點在之間，點在下方，連．延長至和的角平分線相交于點．探究與的數(shù)量關(guān)系；【學(xué)以致用】（3）如圖5，和的角平分線相交于點．作平分交的延長線于點，若，求的度數(shù)．【答案】（1）①；②；（2）；（3）【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解答本題的關(guān)鍵．；（1）①過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出；②設(shè)交于點，過點作．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進而可得；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得由（1）可得，即可求解．（3）過點H作，利用（1）中結(jié)論，利用平行線的性質(zhì)、角平分線定義、鄰補角和為，角與角之間的基本運算、等量代換等得出，進而用等量代換得出．過點H作，由①的結(jié)論得．利用平行線性質(zhì)得，由角平分線定義及鄰補角可得．繼續(xù)使用等量代換可得度數(shù)．【詳解】解：（1）①小紅的做法是：如圖2，過點作．∵∴∴∵；②小明的做法是：如圖3，設(shè)交于點，過點作．∴，∵∴∴（2）如圖所示，過點作∵和的角平分線相交于點．∴∵∴∴由（1）可得∴（3）過點H作，如圖，由（1）可得，由圖可知，∵，∴，∵，∴．∴．∴．又∵，∴．即．∵，∴．∴．過點H作．∵，∴．∴，∵平分，∴．∵．∴．∵，∴，∴，∴，∴．題型九：解題模型-靴子模型48．（23-24七年級上·吉林長春·期末）【感知探究】如圖①，已知，，點在上，點在上．求證：．【類比遷移】如圖②，、、的數(shù)量關(guān)系為．（不需要證明）【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，已知，，，則°．【答案】【感知探究】證明見解析；【類比遷移】；【結(jié)論應(yīng)用】20【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）如圖②，過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖③，過作，根據(jù)平行線