3/3專題02實數(shù)（考點清單，3考點梳理+8題型解讀）清單01平方根1.算術平方根

一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根.a的算術平方根記為,讀作“根號a”,a叫做被開方數(shù).

規(guī)定:0的算術平方根是0.

2.平方根

(1)平方根的相關概念

一般地，如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根.這就是說,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.如2和-2是4的平方根，簡記為2是4的平方根.

(2)平方根的性質

正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).

0的平方根是0.

負數(shù)沒有平方根，

(3)平方根的表示方法

正數(shù)a的算術平方根可以用表示;正數(shù)a的負的平方根,可以用，符號“-”表示,故正數(shù)a的平方根可以用符號“”表示,讀作“正、負根號a”".如=5.

3.平方根的估算

要估算“(a≥0)”的近似值，第一步先確定估算數(shù)的整數(shù)范圍,如.22<7<32,所以2<<3;第二步以較小整數(shù)為基礎,開始逐步加0.1(或以較大整數(shù)為基礎,開始逐步減0.1),并求其平方，確定被估算數(shù)的十分位;如此繼續(xù)下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夾逼法”清單02立方根1.立方根和開立方

(1)一般地,如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根.這就是說,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.

(2)求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.開立方與立方互為逆運算，可以通過這種關系求一個數(shù)的立方根.

2.立方根的表示方法

一個數(shù)a的立方根,用符號“”表示,讀作“三次根號a”",其中a是被開方數(shù),3是根指數(shù).如表示8的立方根,=2;表示-8的立方根,=-2,中的根指數(shù)3不能省略，

3.立方根的性質

(1)正數(shù)的立方根是正數(shù).

(2)負數(shù)的立方根是負數(shù).

(3)0的立方根是0.

4.平方根與立方根的聯(lián)系與區(qū)別

(1)聯(lián)系

都與相應的乘方運算互為逆運算,開平方與平方互為逆運算,開立方與立方互為逆運算.

0的平方根和立方根都是它本身.

(2)區(qū)別

在用符號表示平方根時,根指數(shù)2可以省略不寫;而用符號表示立方根時,根指數(shù)3不能省略.

平方根只有非負數(shù)才有,而立方根任何數(shù)都有.

正數(shù)的平方根有兩個,而正數(shù)的立方根只有1個.

互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù).如:-8和8互為相反數(shù),它們的立方根-2和2也互為相反數(shù).即=--.清單03實數(shù)及其簡單運算1.無理數(shù)

(1)無理數(shù)的概念

無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).如,,,0.8080080008...都是無理數(shù).

(2)常見的無理數(shù)

所有開方開不盡的方根,如.

化簡后含有π的數(shù),如-

無限不循環(huán)小數(shù)，如0.320030250...

2.實數(shù)的定義有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

3.實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系

我們知道，任何一個有理數(shù)，在數(shù)軸上都有唯一確定的點與之對應，但是數(shù)軸，上的點并不都表示有理數(shù),而有理數(shù)和無理數(shù)合在一起,才.能填滿整個數(shù)軸，所以實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，也就是說，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示;反之，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).4.實數(shù)的運算

(1)實數(shù)的運算

當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后,實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運算,而且正數(shù)及0可以進行開平方運算,任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.在進行實數(shù)的運算時,有理數(shù)的運算法則及運算性質等同樣適用.

(2)實數(shù)運算的順序

先算乘方、開方,再算乘除,最后算加減，同級運算從左到右依次計算,有括號的要先算括號里面的.實數(shù)的運算順序與有理數(shù)相同,有理數(shù)范圍內(nèi)的加法運算律、乘法運算律和去(添)括號法則同樣適用于實數(shù).【考點題型一】平方根、算數(shù)平方根、立方根（）【例1-1】（22-23七年級下·西藏拉薩·期末）的平方根是（

）A．16 B． C．2 D．【答案】B【分析】本題主要考查了絕對值，平方根的概念等知識點，熟練掌握絕對值，平方根的概念是解決此題的關鍵．根據(jù)絕對值，平方根的概念解答即可．【詳解】解：，的平方根是，的平方根是是，故選：B．【例1-2】（22-23七年級下·西藏拉薩·期末）的算術平方根是，的立方根是，化簡：．【答案】【分析】本題主要考查了算術平方根，立方根等知識點，熟練掌握算術平方根，立方根的性質是解決此題的關鍵．根據(jù)算術平方根和立方根的概念求解即可．【詳解】解：，的算術平方根是，，的立方根是，，，故答案為：，，．【例1-3】（23-24七年級下·云南昭通·期末）已知的立方根是，的算術平方根是，求的值為：．【答案】【分析】本題主要考查了立方根和算術平方根定義，解題的關鍵是根據(jù)立方根定義和算術平方根定義求出，．根據(jù)立方根定義和算術平方根定義求出，，然后求出結果即可．【詳解】解：∵的立方根是，∴，解得：，又∵的算術平方根是，∴，又∵，解得，∴．【變式1-1】（23-24七年級下·廣西河池·期末）若，則的值（

）A． B．0 C．1 D．2024【答案】C【分析】本題考查了非負數(shù)的性質，以及有理數(shù)的乘方運算，根據(jù)非負數(shù)的性質求出a、b的值是解答本題的關鍵．先根據(jù)非負數(shù)的性質求出a、b的值，然后代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴．故選：C．【變式1-2】（22-23七年級下·上海嘉定·期末）下列運算一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查算術平方根、立方根的定義，根據(jù)平方根、立方根的定義判斷即可．【詳解】解：．，原計算錯誤，故該選項不符合題意；．，原計算正確，故該選項符合題意；．，原計算錯誤，故該選項不符合題意；．，原計算錯誤，故該選項不符合題意；故選：B．【變式1-3】（23-24七年級下·黑龍江鶴崗·期末）如果，是2024的兩個平方根，那么．【答案】4048【分析】本題考查平方根和相反數(shù)的性質、求代數(shù)式的值，熟練掌握平方根和相反數(shù)的性質是解題的關鍵．根據(jù)平方根的性質可知、互為相反數(shù)，再根據(jù)相反數(shù)的性質即可求出結果．【詳解】解：∵是2024的兩個平方根，，故答案為：4048．【變式1-4】（23-24七年級下·重慶開州·期末）求下列各式中x的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了利用平方根、立方根解方程的知識，（1）原方程變型為，再利用平方根求解方程的根即可；（2）原方程變型為，再利用立方根求解方程的根即可．【詳解】（1）；（2），．【變式1-5】（23-24七年級下·陜西延安·期末）已知一個正數(shù)x的兩個平方根分別是和，的立方根是2．(1)求這個正數(shù)x的立方根；(2)求的平方根．【答案】(1)4(2)【分析】本題主要考查了平方根，立方根，算術平方根的應用，解題的關鍵是熟練掌握平方根，立方根，算術平方根的計算方法．（1）根據(jù)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，得出，求出a的值，然后再求出x，最后求出立方根即可；（2）根據(jù)（1）可求得，再求出，根據(jù)平方根的求法，即可求得．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，則，∴這個正數(shù)為，∴這個正數(shù)的立方根為；（2）解：∵的立方根是2，∴，解得：，∴，∴的平方根為．【考點題型二】實數(shù)的概念與分類（）【例2-1】（22-23七年級下·福建福州·期末）下列說法正確的是(

)A．實數(shù)分為正實數(shù)和負實數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．帶根號的數(shù)都是無理數(shù) D．無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)實數(shù)的分類以及有關概念逐一分析即可解決.【詳解】A.實數(shù)分為正實數(shù)、負實數(shù)和零，故此選項錯誤；B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故此選項錯誤；C.帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如，等，故此選項錯誤；D.無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，故此選項正確；故選：D【點睛】此題考查了實數(shù)的分類以及有關概念，掌握實數(shù)的分類和相關概念是解答此題的關鍵.【例2-2】（23-24七年級下·西藏林芝·期末）把下列各數(shù)分別填入相應的集合中：，，，，，，，，，相鄰的兩個之間依次多一個．(1)無理數(shù)集合：________________________________________(2)有理數(shù)集合：________________________________________．(3)分數(shù)集合：_______________________．(4)負無理數(shù)集合：_____________．【答案】(1)，，，，相鄰的兩個之間依次多一個(2)，，，，(3)，，(4)，【分析】此題考查了實數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．根據(jù)無理數(shù)，有理數(shù)，分數(shù)，負無理數(shù)的定義求解即可．【詳解】（1）無理數(shù)集合：，，，，相鄰的兩個之間依次多一個，故答案為：，，，，相鄰的兩個之間依次多一個，（2）有理數(shù)集合：，，，，，故答案為：，，，，，（3）分數(shù)集合：，，，故答案為：，，，（4）負無理數(shù)集合：，，故答案為：，，【變式2-1】（23-24七年級下·遼寧鞍山·期末）下列實數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（

）A． B． C．0.121121112… D．【答案】D【分析】本題考查無理數(shù)和有理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)，進行判斷即可．【詳解】解：，，0.121121112…，中，只有是有理數(shù)，故選D．【變式2-2】（24-25七年級下·全國·期末）下列四個數(shù)，，，，是無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是無理數(shù)的概念，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，它的表現(xiàn)形式為：開方開不盡的數(shù)，與有關的數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．根據(jù)無理數(shù)的定義，即可得出符合題意的選項．【詳解】解：都是有理數(shù)，是無理數(shù)，故選：B．【變式2-3】（23-24七年級下·河南商丘·期末）在下列說法中：①無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)；②無理數(shù)都是實數(shù)；③兩個無理數(shù)的和仍是無理數(shù)；④循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；錯誤的序號是．【答案】①③/③①【分析】本題考查實數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)，根據(jù)實數(shù)的分類逐項判斷即可．【詳解】解：無理數(shù)包括開方開不盡的數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)、含的數(shù)等，故①錯誤；實數(shù)包括無理數(shù)、有理數(shù)，因此無理數(shù)都是實數(shù)，故②正確；兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，如，故③錯誤；循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故④正確；綜上可知，錯誤的序號是①③，故答案為：①③．【考點題型三】實數(shù)的性質與數(shù)軸（）【例3-1】（23-24七年級下·遼寧大連·期末）若，則x的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【知識點】實數(shù)的性質【分析】本題考查了絕對值的性質，由利用絕對值的性質分類討論即可.【詳解】解：∵，∴，故選：D．【例3-2】（24-25七年級上·山東泰安·期末）如圖，面積為的正方形的頂點在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為，若，則數(shù)軸上點所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】實數(shù)與數(shù)軸、數(shù)軸上兩點之間的距離【分析】本題考查的知識點是實數(shù)與數(shù)軸及兩點間距離，解題關鍵是根據(jù)兩點間距離及點的位置判斷出點所表示的數(shù)．根據(jù)正方形的邊長是面積的算術平方根得到，結合點所表示的數(shù)及間距離即可得解．【詳解】解：正方形的面積為，即，（負值舍去），點表示的數(shù)是，，點表示的數(shù)是．故選：．【變式3-1】（23-24七年級下·陜西安康·期末）的相反數(shù)是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【知識點】相反數(shù)的定義、實數(shù)的性質【分析】本題考查了相反數(shù)的概念，熟練掌握知識點是解題的關鍵．根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)即可求解．【詳解】解：的相反數(shù)是，故選：C．【變式3-2】（23-24七年級下·四川廣元·期末）在數(shù)，0，和中，絕對值等于它本身的共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【知識點】求一個數(shù)的絕對值、求一個數(shù)的立方根、實數(shù)的性質【分析】本題主要考查絕對值，立方根的知識，求出每一個數(shù)的絕對值進行比較即可求出．【詳解】解：，絕對值不等于它本身，絕對值等于它本身，，絕對值不等于它本身，絕對值等于它本身絕對值等于它本身的共有2個；故選：B．【變式3-3】（24-25七年級上·浙江紹興·期末）如圖，實數(shù)在數(shù)軸上的對應點可能是點．【答案】D【知識點】實數(shù)與數(shù)軸、無理數(shù)的大小估算【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)無理數(shù)的估算方法得到，則，據(jù)此結合數(shù)軸可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴實數(shù)在數(shù)軸上的對應點可能是D點，故答案為：D．【變式3-4】（23-24七年級下·山東臨沂·期末）如圖，圓的直徑為1個單位長度，該圓上的點A與數(shù)軸上表示1的點重合，將圓沿數(shù)軸無滑動的逆時針滾動一周，點A到達點B的位置，則點B表示的數(shù)是．【答案】/【知識點】實數(shù)與數(shù)軸【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸、圓的周長．求出圓的周長，再根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系即可得到答案．【詳解】解：由題意得，圓的周長為，得到圓的周長為，∴點B表示的數(shù)是，故答案為：．【考點題型四】實數(shù)的大小比較與估算（）【例4-1】（23-24七年級下·湖南永州·期末）比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保敬鸢浮俊局R點】實數(shù)的大小比較、無理數(shù)的大小估算【分析】本題考查的是實數(shù)的大小比較，掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關鍵．由得到，即可求解．【詳解】∵∴．故答案為：．【例4-2】（23-24七年級下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）估計的值在（

）A．3和4之間 B．4和5之間C．5和6之間 D．6和7之間【答案】A【知識點】無理數(shù)的大小估算【分析】此題考查了無理數(shù)的估算能力，運用算術平方根知識進行變形、估算，關鍵是能準確理解并運用算術平方根知識進行求解．【詳解】解：∵，，，的值在3和4之間，故選：A．【變式4-1】（22-23七年級下·全國·期末）比較大小：．【答案】【知識點】實數(shù)的大小比較、無理數(shù)的大小估算【分析】本題考查無理數(shù)的大小估算和實數(shù)的大小比較，熟練掌握無理數(shù)的大小估算的方法是解題的關鍵．先判斷得出；再判斷得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．【變式4-2】（24-25七年級上·山東淄博·期末）若，則的值在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【答案】B【知識點】無理數(shù)的大小估算【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，根據(jù)無理數(shù)估算的方法即可求解，掌握無理數(shù)估算的方法是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，即，∴，故選：．【變式4-3】（23-24七年級下·廣西河池·期末）已知，a，b為相鄰的整數(shù)，則的值是．【答案】【知識點】無理數(shù)的大小估算、已知字母的值，求代數(shù)式的值【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算以及代數(shù)式求值，根據(jù)無理數(shù)的估算方法可得出，，然后代入即可得出答案．【詳解】解：，即，∵a，b為相鄰的整數(shù)，∴，，∴，故答案為：．【考點題型五】實數(shù)的運算（）【例5-1】（23-24七年級下·全國·期末）計算：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【知識點】求一個數(shù)的算術平方根、求一個數(shù)的立方根、帶有字母的絕對值化簡問題、實數(shù)的混合運算【分析】此題考查了算術平方根和立方根，化簡絕對值，解題的關鍵是掌握以上運算法則．（1）首先計算算術平方根和立方根，化簡絕對值，然后計算加減；（2）首先計算算術平方根和立方根，化簡絕對值，然后計算加減．【詳解】（1）；（2）．【例5-2】（23-24七年級下·全國·期末）計算：．【答案】2【知識點】求一個數(shù)的算術平方根、實數(shù)的混合運算、求一個數(shù)的立方根【分析】此題考查了算術平方根，實數(shù)的乘法和立方根，解題的關鍵是掌握以上運算法則．首先計算算術平方根，實數(shù)的乘法和立方根，然后計算加減．【詳解】．【變式5-1】（23-24七年級下·全國·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】實數(shù)的混合運算、有理數(shù)的乘方運算、求一個數(shù)的算術平方根、求一個數(shù)的立方根【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及算術平方根、平方根、立方根以及乘方，掌握相關運算法則是解題關鍵．（1）先化簡算術平方根、立方根，再計算加減法即可；（2）先化簡算術平方根、立方根以及乘方，再計算加減法即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式5-2】（23-24七年級下·全國·期末）計算：．【答案】【知識點】實數(shù)的混合運算【分析】此題考查了實數(shù)的乘法運算，加法運算，乘法分配律，解題的關鍵是掌握以上運算法則．首先計算實數(shù)的乘法，然后計算加減即可．【詳解】．【變式5-3】（23-24七年級下·廣東肇慶·期末）計算(1)；(2)【答案】(1)(2)【知識點】實數(shù)的混合運算【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算．（1）先開方、乘方、除法運算轉化為乘法運算，再計算乘法運算和減法運算；（2）先開方、去絕對值符號，再計算加減即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式5-4】（23-24七年級下·黑龍江鶴崗·期末）劉謙的魔術表演風靡全國，小明也學起了劉謙，發(fā)明了一個魔術盒：當任意實數(shù)對進入其中時，會得到一個新的實數(shù)，例如把放入其中，就會得到，現(xiàn)將實數(shù)對放入其中，得到實數(shù)，則．【答案】【知識點】新定義下的實數(shù)運算、解一元一次方程（一）——合并同類項與移項【分析】此題考查實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．利用題中的新定義計算即可求出的值．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：，解得：．故答案為：．【考點題型六】實數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分（）【例6】（23-24七年級下·吉林·期末）已知的算術平方根是的平方根是是的整數(shù)部分，求的平方根．【答案】【知識點】已知字母的值，求代數(shù)式的值、無理數(shù)整數(shù)部分的有關計算、已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)、求一個數(shù)的平方根【分析】根據(jù)算術平方根及平方根確定，，再由估算算術平方根的整數(shù)部分確定，將其代入代數(shù)式，然后計算平方根即可．【詳解】解：的算術平方根是5，，解得：．∵的平方根是，，解得：．是的整數(shù)部分，而，，，的平方根為．【點睛】此題題目主要考查算術平方根及平方根，估算算術平方根的整數(shù)部分，求代數(shù)式的平方根，熟練掌握這些基本運算是解題關鍵．【變式6-1】（23-24七年級下·廣東汕頭·期末）已知a是的小數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，則的平方根是．【答案】【知識點】求一個數(shù)的平方根、無理數(shù)的大小估算、無理數(shù)整數(shù)部分的有關計算【分析】先利用夾逼法估算、的取值范圍，即可求出、的值，再計算的值，最后求出平方根即可．本題考查了估算無理數(shù)的大小，平方根，熟練掌握利用夾逼法估算無理數(shù)的大小是解題的關鍵．【詳解】解：，，，的整數(shù)部分是12，小數(shù)部分是，即，，，，，的整數(shù)部分是5，小數(shù)部分是，即，，的平方根是，的平方根是，故答案為：．【變式6-2】（23-24七年級下·黑龍江大慶·期末）若的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則．【答案】1【知識點】無理數(shù)整數(shù)部分的有關計算【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題關鍵是熟練掌握不等式的基本性質．先估算的大小，再利用不等式的基本性質估算，，從而求出它的整數(shù)部分和小數(shù)部分，然后代入所求代數(shù)式進行計算即可．【詳解】解：，即，，，，，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為10，小數(shù)部分為，．故答案為：1．【變式6-3】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）閱讀下列材料：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．規(guī)定實數(shù)m的整數(shù)部分記為．小數(shù)部分記為如：，．解答以下問題：(1)_________，_________；(2)求的值．【答案】(1)3，；(2)1．【知識點】無理數(shù)整數(shù)部分的有關計算【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解題的關鍵是理解題意，掌握估算無理數(shù)大小的方法，正確計算．（1）根據(jù)得，即可得的整數(shù)部分為3，根據(jù)得，即可得的整數(shù)部分為；（2）根據(jù)得，可得，根據(jù)題意得，進行計算即可得．【詳解】（1）解：∵，即，的整數(shù)部分為3，∴，∵，即，的整數(shù)部分為，∴，故答案為：3，；（2）解：∵，即，的整數(shù)部分為，∴，∴．【變式6-4】（23-24七年級下·云南曲靖·期末）閱讀材料：是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，而，于是我們可用來表示的小數(shù)部分．請根據(jù)材料解答下列問題：(1)的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________；(2)如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值；(3)已知：，其中x是整數(shù)，且，求的算術平方根．【答案】(1)3，(2)6(3)11【知識點】無理數(shù)整數(shù)部分的有關計算【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出，，的范圍是解此題的關鍵．（1）先估算出的范圍，即可得出答案；（2）先估算出的范圍，求出a、b的值，再代入求出即可；（3）先估算出的范圍，求出x、y的值，再代入求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是，故答案為：3，；（2）解：∵，∴的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分為，即；∵，∴的整數(shù)部分是4，即；∴（3）解：∵，∴，∴∵，其中x是整數(shù)，且，∴，∴，∴的算術平方根為【變式6-5】（23-24七年級下·吉林松原·期末）閱讀下列材料：，即的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為．請根據(jù)材料提示，進行解答：(1)的整數(shù)部分是____________，小數(shù)部分是____________；(2)如果的小數(shù)部分為的整數(shù)部分為n，求的值；(3)已知：，其中a是整數(shù)，且，請直接寫出a，b的值．【答案】(1)3，(2)(3)【知識點】無理數(shù)整數(shù)部分的有關計算、實數(shù)的混合運算【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，實數(shù)的運算：（1）仿照題意求解即可；（2）仿照題意求出m、n的值即可得到答案；（3）先估算出，進而得到，據(jù)此求出a、b的值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為，故答案為：3，；（2）解：∵，∴，∴的整數(shù)部分為2，的整數(shù)部分為4，∴的小數(shù)部分為，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∵，其中a是整數(shù)，且，∴，∴．【變式6-6】（23-24七年級下·云南昭通·期末）規(guī)定：對任意的非負實數(shù)n，用表示不大于n的最大整數(shù)，稱為n的整數(shù)部分，用表示的值，稱為n的小數(shù)部分.例如：，，，；請回答下列問題：(1)當時，以下五個命題中為真命題的是（填序號）①；②；③；④；⑤若（a為整數(shù)），則(2)當時，解關于x的方程【答案】(1)①②④⑤(2)或【知識點】無理數(shù)整數(shù)部分的有關計算【分析】本題考查的是估算無理數(shù)的大小和實數(shù)的運算，熟練掌握無理數(shù)估算的方法是解題的關鍵．（1）根據(jù)題目中的規(guī)定進行逐一判斷即可得出答案；（2）先根據(jù)題目中的規(guī)定對原方程進行整理得，再進行分類討論，求解即可．【詳解】（1）解：，故①正確；，由于，，故②正確；表示的小數(shù)部分，，故③錯誤；表示的整數(shù)部分，，故④正確；為整數(shù)），，故⑤正確，故五個命題中為真命題的是①②④⑤，故答案為：①②④⑤；（2）解：，，，，是的小數(shù)部分，當時，；當時，，，可得，，綜上可得或．【考點題型七】實數(shù)的小數(shù)點移動（）【例7】（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）觀察下表，并解決問題．a(chǎn)0.00010.011100100000.010.1110100(1)①隨著被開方數(shù)的小數(shù)點的移動，它的算術平方根的小數(shù)點是怎樣移動的？請歸納總結這一規(guī)律；②已知則．(2)①猜想被開方數(shù)的小數(shù)點移動和它的立方根的小數(shù)點移動有怎樣的關系？寫出你的猜想；②已知請用含m的式子表示n．【答案】(1)①被開方數(shù)a的小數(shù)點每向右移兩位，它的算術平方根的小數(shù)點相應向右移一位；②0.447；(2)①被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移3位，它的立方根的小數(shù)點相應向右移一位；②【知識點】與算術平方根有關的規(guī)律探索題、立方根概念理解、數(shù)字類規(guī)律探索【分析】本題考查算術平方根、立方根的變化規(guī)律，熟練掌握算術平方根、立方根的變化規(guī)律是解決本題的關鍵．（1）①從被開方數(shù)的小數(shù)點，以及相應的算術平方根的小數(shù)點的移動來找規(guī)律；②根據(jù)（1）的規(guī)律即可得出答案；（2）①仿照算術平方根的規(guī)律探討被開方數(shù)與其立方根小數(shù)點移動規(guī)律；②根據(jù)①所求規(guī)律解決此題即可．【詳解】（1）解：①觀察表格可知，被開方數(shù)a的小數(shù)點每向右移兩位，它的算術平方根的小數(shù)點相應向右移一位；②∵，∴，故答案為：；（2）解：①∵，∴規(guī)律是：被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移3位，它的立方根的小數(shù)點相應向右移一位；②∵，∴．【變式7-1】（23-24七年級下·湖北武漢·期末）觀察表格a0.00010.01110010000…0.010.1110100…按表中規(guī)律若已知，用含m的式子表示n，則．【答案】【知識點】與算術平方根有關的規(guī)律探索題【分析】本題考查算術平方根的規(guī)律探究，通過表格可知，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動2個數(shù)位，算術平方根的小數(shù)點向右移動1個數(shù)位，即可得出結果．【詳解】解：由表格可知，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動2個數(shù)位，算術平方根的小數(shù)點向右移動1個數(shù)位，∵，∴；故答案為：．【變式7-2】（23-24七年級上·浙江湖州·期末）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：…0.00010.01110010000……0.01x1y100…表格中，．（2）歸納總結：被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動2位，相應的算術平方根的小數(shù)點就向移動位．（3）規(guī)律運用：①已知，則；②已知，，則．【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50【知識點】與算術平方根有關的規(guī)律探索題【分析】本題考查算術平方根中的規(guī)律探索題：（1）直接計算即可；（2）觀察（1）中表格數(shù)據(jù)，找出規(guī)律；（3）利用（2）中找出的規(guī)律求解．【詳解】解：（1），，故答案為：，10；（2）被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動2位，相應的算術平方根的小數(shù)點就向右移動1位．故答案為：右，1；（3）①已知，則，②已知，，則，故答案為：22.4，50．【變式7-3】（1）填表：a0.001110001000000110由表你發(fā)現(xiàn)了：被開方數(shù)的小數(shù)點向右(或左)移動位，其立方根的小數(shù)點向右(或左)移動位；（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：①已知，則；②已知，則．（3）用鐵皮制作一個封閉的正方體，它的體積為立方米，需要多大面積的鐵皮？【答案】（1）填表見解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大約平方米的鐵皮【分析】本題主要考查立方根的估算與運用，理解表格信息，找出規(guī)律是解立方根估算的關鍵，掌握體積的計算公式，立方根的估算方法是解實際問題的關鍵．（1）利用立方根的定義，先將表格填完整，根據(jù)表格信息中小數(shù)點的移動情況分析即可求解；（2）①結合表格信息，對進行變形分析即可；②結合表格信息，對進行變形分析即可；（3）設正方體的棱長為米，由體積公式，立方根的估算得到棱長，再根據(jù)表面積的計算方法即可求解．【詳解】（1）解：填表：a0.001110001000000110規(guī)律：數(shù)的小數(shù)點每移動三位，它的立方根的小數(shù)點就向相同方向移動一位；（2）解：①∵，∴；②∵∴；（3）解：設正方體的棱長為米，則，，（平方米），答：需要大約平方米的鐵皮．【考點題型八】實數(shù)的規(guī)律探究（）【例8】（23-24七年級下·廣西百色·期末）計算四個式子的值：；；；，觀察計算結果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出：的值為．【答案】36【知識點】與算術平方根有關的規(guī)律探索題【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術平方根以及數(shù)字的變化規(guī)律的應用，熟練掌握求一個數(shù)算術平方根的方法是解題關鍵．根據(jù)；；；，…，可得：，據(jù)此求出的值為多少即可．【詳解】解：；；；，…，∴，∴．故答案為：36．【變式8-1】（23-24七年級下·山東德州·期末）數(shù)學活動課上，陳老師出示了一組題，閱讀下列解題過程，探求規(guī)律：，，；；計算式子的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求一個數(shù)的算術平方根、與實數(shù)運算相關的規(guī)律題【分析】本題考查了算術平方根的規(guī)律問題，根據(jù)所給算式總結規(guī)律計算即可，熟練掌握算術平方根是解題的關鍵．【詳解】解：由，，；；則原式，，故選：．【變式8-2】（23-24七年級下·廣西河池·期末）將實數(shù)按如圖方式進行有規(guī)律排列，則第19行的第37個數(shù)是．【答案】19【知識點】與實數(shù)運算相關的規(guī)律題【分析】本題考查實數(shù)數(shù)字類規(guī)律，從題中實數(shù)的排列方式中找到