高數(shù)下冊(cè)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與\(\vec=(2,4,k)\)平行，則\(k=\)（）A.6B.5C.4D.32.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處對(duì)\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.43.曲線\(x=t\)，\(y=t^2\)，\(z=t^3\)在\(t=1\)處的切線方程為（）A.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)B.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}\)C.\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{4}\)D.\(\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}\)4.二重積分\(\iint_D1dxdy\)，其中\(zhòng)(D\)是\(x^2+y^2\leq4\)，結(jié)果為（）A.\(4\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\pi\)D.\(8\pi\)5.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.無(wú)法判斷6.設(shè)\(L\)是從\((0,0)\)到\((1,1)\)的直線段，則\(\int_Lxdy+ydx\)的值為（）A.0B.1C.2D.37.函數(shù)\(z=xy\)在點(diǎn)\((2,3)\)處的全微分\(dz\)為（）A.\(3dx+2dy\)B.\(2dx+3dy\)C.\(dx+dy\)D.\(6dx+6dy\)8.設(shè)\(\vec{F}=(x,y,z)\)，則\(\text{div}\vec{F}\)為（）A.1B.2C.3D.09.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂半徑為\(R\)，若\(\lim_{n\to\infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\vert=\rho\)，則\(R=\)（）A.\(\rho\)B.\(\frac{1}{\rho}\)C.\(\rho^2\)D.\(\frac{1}{\rho^2}\)10.曲線積分\(\oint_{L}(x^2+y^2)ds\)，其中\(zhòng)(L\)為\(x^2+y^2=1\)，結(jié)果是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(4\pi\)D.\(3\pi\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是多元函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)（）A.有界性B.最值性C.介值性D.可微性2.下列向量運(yùn)算正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}\)B.\(\vec{a}\times\vec=-\vec\times\vec{a}\)C.\((\vec{a}+\vec)\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec\cdot\vec{c}\)D.\((\vec{a}\times\vec)\times\vec{c}=\vec{a}\times(\vec\times\vec{c})\)3.關(guān)于二重積分的性質(zhì)，正確的有（）A.\(\iint_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy=\iint_Df(x,y)dxdy+\iint_Dg(x,y)dxdy\)B.若\(f(x,y)\leqg(x,y)\)，則\(\iint_Df(x,y)dxdy\leq\iint_Dg(x,y)dxdy\)C.\(\iint_Dkf(x,y)dxdy=k\iint_Df(x,y)dxdy\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{D_1}f(x,y)dxdy+\iint_{D_2}f(x,y)dxdy\)（\(D=D_1\cupD_2\)且\(D_1\)與\(D_2\)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)）4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)5.曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件有（）A.\(P_y=Q_x\)在單連通區(qū)域內(nèi)恒成立B.存在函數(shù)\(u(x,y)\)，使得\(du=Pdx+Qdy\)C.沿任意閉曲線的曲線積分\(\oint_{L}Pdx+Qdy=0\)D.\(P\)和\(Q\)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)6.對(duì)于多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.可微則偏導(dǎo)數(shù)存在B.偏導(dǎo)數(shù)存在則可微C.連續(xù)則偏導(dǎo)數(shù)存在D.可微則連續(xù)7.以下哪些是向量場(chǎng)的運(yùn)算（）A.散度B.旋度C.梯度D.叉乘8.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)有（）A.可逐項(xiàng)求導(dǎo)B.可逐項(xiàng)積分C.和函數(shù)連續(xù)D.和函數(shù)可導(dǎo)9.設(shè)\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)圍成的區(qū)域，下列二重積分表示正確的有（）A.\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_0^1\int_0^{1-x}f(x,y)dydx\)B.\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_0^1\int_0^{1-y}f(x,y)dxdy\)C.\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_0^1\int_x^{1}f(x,y)dydx\)D.\(\iint_Df(x,y)dxdy=\int_0^1\int_y^{1}f(x,y)dxdy\)10.下列關(guān)于多元函數(shù)極值的說(shuō)法正確的是（）A.駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C.利用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)D.函數(shù)在邊界點(diǎn)處也可能取得極值三、判斷題（每題2分，共10題）1.若向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)的數(shù)量積為\(0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)垂直。（）2.函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。（）3.二重積分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)的值與積分區(qū)域\(D\)的劃分方式無(wú)關(guān)。（）4.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）5.曲線積分\(\int_{L}Pdx+Qdy\)與路徑無(wú)關(guān)，則\(P\)和\(Q\)一定相等。（）6.函數(shù)\(z=xy\)的全微分\(dz=ydx+xdy\)。（）7.向量場(chǎng)\(\vec{F}\)的散度\(\text{div}\vec{F}\)是一個(gè)向量。（）8.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在收斂區(qū)間端點(diǎn)處一定收斂。（）9.多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在某點(diǎn)處的梯度方向是函數(shù)在該點(diǎn)處方向?qū)?shù)取得最大值的方向。（）10.若函數(shù)\(z=f(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(z=x^3-3x^2-3y^2\)的駐點(diǎn)。-答案：分別求\(z\)對(duì)\(x\)、\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)。\(z_x=3x^2-6x\)，\(z_y=-6y\)。令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，由\(z_y=0\)得\(y=0\)，由\(z_x=0\)即\(3x^2-6x=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。所以駐點(diǎn)為\((0,0)\)和\((2,0)\)。2.計(jì)算二重積分\(\iint_Dxydxdy\)，其中\(zhòng)(D\)是由\(y=x\)，\(y=0\)，\(x=1\)圍成的區(qū)域。-答案：\(D\)為\(0\leqy\leqx\)，\(0\leqx\leq1\)，則\(\iint_Dxydxdy=\int_0^1\int_0^xxydydx=\int_0^1\frac{1}{2}x^3dx=\frac{1}{8}\)。3.求冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂半徑和收斂區(qū)間。-答案：\(\lim_{n\to\infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\vert=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=1\)，收斂半徑\(R=1\)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，級(jí)數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)發(fā)散；當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，級(jí)數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)收斂。收斂區(qū)間為\([-1,1)\)。4.簡(jiǎn)述多元函數(shù)可微、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系。-答案：可微能推出連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微，也不一定連續(xù)；連續(xù)不能推出偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能推出可微。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)的斂散性，\(p\)的取值不同有何影響？-答案：當(dāng)\(p\leq1\)時(shí)，通過(guò)積分判別法或比較判別法可知級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)\(p>1\)時(shí)，根據(jù)\(p-\)級(jí)數(shù)性質(zhì)，級(jí)數(shù)收斂。\(p\)值影響級(jí)數(shù)的斂散性，反映了通項(xiàng)趨于\(0\)的速度對(duì)斂散性的作用。2.舉例說(shuō)明曲線積分與路徑無(wú)關(guān)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。-答案：如在計(jì)算保守力場(chǎng)（如重力場(chǎng)）中質(zhì)點(diǎn)從一點(diǎn)移動(dòng)到另一點(diǎn)時(shí)，力所做的功。因?yàn)楸Ｊ亓?chǎng)中曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，所以只需考慮起點(diǎn)和終點(diǎn)位置，可簡(jiǎn)化計(jì)算，方便分析和解決實(shí)際力學(xué)問(wèn)題。3.多元函數(shù)求極值的方法在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用場(chǎng)景？-答案：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可用于求利潤(rùn)最大化、成本最小化問(wèn)題；在工程設(shè)計(jì)里，求材料最省、效率最高等問(wèn)題。例如生產(chǎn)多種產(chǎn)品時(shí)，通過(guò)建立成本與產(chǎn)量的多元函數(shù)求極值確定最優(yōu)產(chǎn)量組合。4.談?wù)勀銓?duì)向量場(chǎng)的散度和旋度概念的理解。-答案：散度描述向量場(chǎng)在某點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，反映向量場(chǎng)在該點(diǎn)處源或匯的強(qiáng)度；旋度表示向量場(chǎng)在某點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)程度和