線性代數(shù)自考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert-2A\vert\)等于（）A.-16B.-4C.4D.163.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.04.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)5.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A=B\)B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)C.\(A\)與\(B\)有不同的特征值D.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量6.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的行列式\(\vertA^\vert=8\)，則\(\vertA\vert\)的值為（）A.2B.4C.8D.167.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣）僅有零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性無(wú)關(guān)B.\(A\)的列向量組線性無(wú)關(guān)C.\(A\)的行向量組線性相關(guān)D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)8.設(shè)\(A\)為\(n\)階正交矩陣，則\(\vertA\vert\)的值為（）A.1B.-1C.\(\pm1\)D.09.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)10.已知矩陣\(A\)的一個(gè)特征值為\(\lambda\)，則矩陣\(A^2\)的一個(gè)特征值為（）A.\(\lambda\)B.\(\lambda^2\)C.\(2\lambda\)D.\(\frac{1}{\lambda}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算正確的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（當(dāng)\(AB=BA\)時(shí)）B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）2.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)B.\(\alpha_1\)能由\(\alpha_2,\alpha_3\)線性表示C.\(\alpha_2\)能由\(\alpha_1,\alpha_3\)線性表示D.該向量組的秩小于\(3\)3.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可逆B.若\(A\)可逆，則\(A\)的秩為\(n\)C.若\(A\)的秩為\(n\)，則\(A\)可通過(guò)初等變換化為單位矩陣D.若\(A\)可逆，則\(A\)的行向量組線性無(wú)關(guān)4.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)合同5.下列矩陣中是正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}\)6.關(guān)于二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為對(duì)稱矩陣），下列說(shuō)法正確的是（）A.\(A\)的秩等于二次型的秩B.二次型可通過(guò)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形C.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形唯一D.正定二次型的矩陣\(A\)的所有順序主子式都大于零7.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系為\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}\)（\(r\)為\(A\)的秩），則（）A.\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}\)線性無(wú)關(guān)B.\(Ax=0\)的任意解都可由\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}\)線性表示C.\(n-r\)是\(Ax=0\)解空間的維數(shù)D.\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}\)是\(Ax=0\)的全部解8.已知矩陣\(A\)的特征值為\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)，則（）A.\(A\)的跡（主對(duì)角線元素之和）等于\(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\)B.\(\vertA\vert=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\)C.若\(\lambda_i\neq0\)，則\(\frac{1}{\lambda_i}\)是\(A^{-1}\)的特征值D.\(A\)與對(duì)角矩陣相似當(dāng)且僅當(dāng)\(A\)有\(zhòng)(3\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量9.設(shè)\(A\)、\(B\)為同階方陣，且\(AB=BA\)，則（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量C.\(A\)與\(B\)同時(shí)可對(duì)角化D.\(AB\)與\(BA\)的特征值相同10.對(duì)于矩陣\(A\)，若\(A^2=A\)，則（）A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)B.\(A\)可以相似對(duì)角化C.\(A\)的秩等于\(A\)的非零特征值的個(gè)數(shù)D.\(A\)是對(duì)稱矩陣三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）2.向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)，向量組一定線性相關(guān)。（）3.若\(A\)為可逆矩陣，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆。（）4.相似矩陣一定有相同的特征向量。（）5.正交矩陣的行列式的值為\(1\)。（）6.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^2\)是正定二次型。（）7.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）8.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)的所有\(zhòng)(r+1\)階子式都為\(0\)。（）9.矩陣\(A\)的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是唯一的。（）10.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則\(A=O\)或\(B=O\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。答：矩陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，此時(shí)\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^\)（\(A^\)為\(A\)的伴隨矩陣）。2.如何判斷向量組的線性相關(guān)性？答：可通過(guò)定義，看是否存在不全為零的數(shù)使線性組合為零向量；也可利用向量組構(gòu)成矩陣的秩，若秩小于向量個(gè)數(shù)則線性相關(guān)，等于向量個(gè)數(shù)則線性無(wú)關(guān)。3.簡(jiǎn)述二次型正定的判定方法。答：二次型\(f(x)=X^TAX\)正定的判定方法：一是\(A\)的所有順序主子式都大于零；二是\(A\)的特征值都大于零。4.說(shuō)明矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系。答：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。將矩陣按行或列分塊得到向量組，其極大線性無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)就是矩陣的秩。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣相似對(duì)角化的條件及意義。答：矩陣\(A\)可相似對(duì)角化的條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。意義在于簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算，如求矩陣的高次冪等，對(duì)角矩陣運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單，通過(guò)相似變換可利用對(duì)角矩陣性質(zhì)解決原矩陣相關(guān)問(wèn)題。2.談?wù)務(wù)痪仃囋趯?shí)際中的應(yīng)用。答：在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中用于圖形的旋轉(zhuǎn)、平移等變換保持圖形形狀不變；在數(shù)據(jù)處理中，正交變換可對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去相關(guān)處理，利于數(shù)據(jù)壓縮和特征提?。辉诹孔恿W(xué)等物理領(lǐng)域也用于描述物理量的變換。3.分析線性方程組解的結(jié)構(gòu)與向量空間的聯(lián)系。答：齊次線性方程組的解空間是向量空間的子空間，基礎(chǔ)解系是解空間的基。非齊次線性方程組的解是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組解空間中的一個(gè)陪集，通過(guò)特解和齊次通解共同表示非齊次方程的所有解，體現(xiàn)了向量空間的線性組合關(guān)系。4.探討特征值和特征向量在工程領(lǐng)域的應(yīng)用。答：在機(jī)械工程中，用于分析結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，特征值對(duì)應(yīng)振動(dòng)頻率，特征向量表示振動(dòng)模式；在電力系統(tǒng)中，可分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；在信號(hào)處理中，用于數(shù)據(jù)降維和特征提取，如主成分分析就基于