高數(shù)下試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(z=\ln(x+y)\)的定義域是（）A.\(x+y\gt0\)B.\(x+y\geq0\)C.\(x+y\lt0\)D.\(x+y\leq0\)2.設(shè)\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)3.二重積分\(\iint_Ddxdy\)（\(D\)是\(x^2+y^2\leq1\)）的值為（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(4\pi\)D.\(0\)4.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)當(dāng)（）時(shí)收斂。A.\(p\gt1\)B.\(p\lt1\)C.\(p=1\)D.\(p\geq1\)5.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與\(\vec=(2,4,6)\)的關(guān)系是（）A.垂直B.平行C.相交D.異面6.設(shè)\(z=e^{xy}\)，則\(dz\)=（）A.\(e^{xy}dx\)B.\(e^{xy}dy\)C.\(ye^{xy}dx+xe^{xy}dy\)D.\(xye^{xy}dx\)7.曲線\(x=t\)，\(y=t^2\)，\(z=t^3\)在點(diǎn)\((1,1,1)\)處的切線方程為（）A.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)B.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}\)C.\(\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}\)D.\(\frac{x-1}{0}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-1}{0}\)8.設(shè)\(D\)是由\(y=x\)，\(y=0\)，\(x=1\)圍成的區(qū)域，則\(\iint_Dxydxdy\)=（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{8}\)C.\(\frac{1}{12}\)D.\(\frac{1}{24}\)9.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)的收斂半徑\(R\)的求法是（）A.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}\)B.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert\)C.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)D.\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\vert\)10.設(shè)\(\vec{a}=(1,-1,0)\)，\(\vec=(0,1,-1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)=（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是多元函數(shù)的概念（）A.定義域B.值域C.極限D(zhuǎn).連續(xù)2.下列關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)的說法正確的是（）A.偏導(dǎo)數(shù)是對多元函數(shù)某一個(gè)自變量求導(dǎo)B.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線的切線斜率C.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)一定連續(xù)D.函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一定存在3.計(jì)算二重積分的方法有（）A.直角坐標(biāo)B.極坐標(biāo)C.柱坐標(biāo)D.球坐標(biāo)4.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)5.向量的運(yùn)算包括（）A.加法B.減法C.數(shù)乘D.點(diǎn)乘6.下列哪些是曲線的切線和法平面方程的相關(guān)概念（）A.切向量B.法向量C.方向?qū)?shù)D.梯度7.關(guān)于全微分說法正確的是（）A.全微分存在則偏導(dǎo)數(shù)一定存在B.偏導(dǎo)數(shù)存在則全微分一定存在C.全微分\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)D.全微分表示函數(shù)的微小變化量8.冪級數(shù)的性質(zhì)有（）A.收斂區(qū)間內(nèi)絕對收斂B.收斂區(qū)間端點(diǎn)處可能收斂也可能發(fā)散C.可以進(jìn)行加、減、乘運(yùn)算D.可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分9.下列區(qū)域哪些可以用二重積分表示面積（）A.由曲線\(y=f(x)\)，\(y=g(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)圍成B.由曲線\(x=\varphi(y)\)，\(x=\psi(y)\)，\(y=c\)，\(y=d\)圍成C.圓形區(qū)域D.橢圓形區(qū)域10.下列關(guān)于多元函數(shù)極值的說法正確的是（）A.駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C.可用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)D.函數(shù)在邊界點(diǎn)處也可能取得極值三、判斷題（每題2分，共10題）1.多元函數(shù)在某點(diǎn)極限存在則一定連續(xù)。（）2.函數(shù)\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。（）3.二重積分的值與積分區(qū)域和被積函數(shù)有關(guān)。（）4.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)。（）5.向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行，則\(\vec{a}\times\vec=\vec{0}\)。（）6.曲線在某點(diǎn)的切向量唯一。（）7.函數(shù)\(z=f(x,y)\)的全微分\(dz\)是\(\Deltaz\)的線性主部。（）8.冪級數(shù)的收斂半徑\(R\)只與系數(shù)\(a_n\)有關(guān)。（）9.若函數(shù)\(z=f(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)有\(zhòng)(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)。（）10.計(jì)算二重積分時(shí)，選擇積分次序不影響計(jì)算結(jié)果。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。答：可微能推出連續(xù)且可偏導(dǎo)；可偏導(dǎo)不一定可微，也不一定連續(xù)；連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，更不一定可微。2.計(jì)算二重積分\(\iint_D(x+y)dxdy\)，\(D\)由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)圍成。答：\(D\)：\(0\leqy\leq1-x\)，\(0\leqx\leq1\)，則\(\iint_D(x+y)dxdy=\int_0^1dx\int_0^{1-x}(x+y)dy=\int_0^1[xy+\frac{y^2}{2}]_0^{1-x}dx=\frac{1}{3}\)。3.求冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂半徑和收斂區(qū)間。答：\(a_n=\frac{1}{n}\)，\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert=1\)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，級數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)發(fā)散；當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，級數(shù)為\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)收斂，收斂區(qū)間為\([-1,1)\)。4.求函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的全微分。答：\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2y\)，在點(diǎn)\((1,2)\)處，\(\frac{\partialz}{\partialx}\vert_{(1,2)}=2\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\vert_{(1,2)}=4\)，\(dz=2dx+4dy\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論多元函數(shù)極值在實(shí)際問題中的應(yīng)用。答：在實(shí)際中，常通過建立多元函數(shù)模型，求其極值來解決優(yōu)化問題。如用料最省、利潤最大等問題。先確定變量關(guān)系構(gòu)建函數(shù)，再求駐點(diǎn)并判斷是否為極值點(diǎn)，從而得到最優(yōu)方案。2.討論級數(shù)收斂性判別方法的選擇策略。答：對于正項(xiàng)級數(shù)，可先看通項(xiàng)極限是否為0，若不為0則發(fā)散。再根據(jù)特點(diǎn)選比較判別法、比值判別法等。對于交錯級數(shù)，用萊布尼茨判別法。一般級數(shù)可考慮絕對收斂和條件收斂情況，綜合判斷。3.討論向量運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用。答：向量運(yùn)算在幾何中用于求直線、平面方程，判斷直線、平面間位置關(guān)系。如用向量點(diǎn)乘求夾角、距離，叉乘求平面法向量、三角形面積等，為解決幾何問題提供有效工具。4.討論二重積分和定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：二重積分在一定條件下可化為累次定積分計(jì)算。區(qū)別：定積分是對一元函數(shù)在區(qū)間上積分，二重積分是對二元函數(shù)在平面區(qū)域上積分。定積分結(jié)果是數(shù)值，二重積分幾何意義常與曲