專題5.4導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）】 1【題型2利用導(dǎo)數(shù)證明不等式】 2【題型3利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題】 4【題型4利用導(dǎo)數(shù)研究存在性問(wèn)題】 4【題型5利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題】 5【題型6導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題】 6【題型7導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用】 7【知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問(wèn)題】1．導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）主要有兩種方法：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值，轉(zhuǎn)化為f(x)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.【題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）】【例1】（23·24上·廣東·階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)=x2+3x+1+kex恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A．?5e,0 B．(e2,+【變式11】（23·24上·南昌·階段練習(xí)）關(guān)于x的方程x3?ax?1=0至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A．(322,+∞) B．[【變式12】（23·24上·無(wú)錫·期中）設(shè)函數(shù)fx=x+lnx，gx=xlnx?1，?(x)=1?1A．c<b<a B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c【變式13】（22·23·商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=xex,x<0?x2A．?∞,?1e B．?1e【知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)中的不等式證明】1．導(dǎo)數(shù)中的不等式證明(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過(guò)分析F(x)在端點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可.(2)在證明不等式中，若無(wú)法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．【題型2利用導(dǎo)數(shù)證明不等式】【例2】（23·24·南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=e(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若g(x)=f(x)+(2?a)ex在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn)【變式21】（23·24上·寧波·一模）已知函數(shù)fx=ae(1)討論fx(2)證明：當(dāng)a>1時(shí)，f【變式22】（23·24上·河西·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2ln(1)若f1=?1，求函數(shù)(2)若關(guān)于x的不等式gx≤0恒成立，求整數(shù)(3)當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)gx恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，且x【變式23】（23·24上·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ln(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若x1、x2∈R+【知識(shí)點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)中的恒成立、存在性問(wèn)題】1．導(dǎo)數(shù)中的恒成立、存在性問(wèn)題解決不等式恒（能）成立問(wèn)題有兩種思路：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問(wèn)題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，即可解決問(wèn)題．(2)分類討論法解決恒（能）成立問(wèn)題，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，此類問(wèn)題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.【題型3利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題】【例3】（23·24上·河南·期中）若aeax?lnx≥A．1e,+∞ B．1,+∞ C．【變式31】（23·24上·德陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=mex+lnm,g(x)=lnx，若f(x)≥g(x)A．(?∞,1e] B．(0,1【變式32】（23·24上·鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)fx=xln(1)當(dāng)m=2時(shí)，求函數(shù)fx在x=(2)當(dāng)x≥1時(shí)，不等式fx+2x+m≥0【變式33】（23·24上·北辰·期中）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線fx在x=2(2)討論函數(shù)fx(3)若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2【題型4利用導(dǎo)數(shù)研究存在性問(wèn)題】【例4】（22·23·全國(guó)·專題練習(xí)）若存在x0∈?1,2，使不等式x0+A．12e,e2 B．1e【變式41】（22·23·全國(guó)·專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx，對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng)x1≠x2時(shí)，都有fxA．?π B．1 C．0 D．【變式42】（22·23·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax+(1)當(dāng)a=e（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求函數(shù)f(2)若?x1,x2【變式43】（22·23·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=(1)已知函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)gx=fx+2lnax+26x，對(duì)于【題型5利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題】【例5】（23·24上·深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若a=0，求fx(2)若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為x1和x2【變式51】（23·24上·呂梁·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若方程fx=1?xlnx有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，【變式52】（22·23·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=a+1x+a(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)函數(shù)gx=2x2f′x【變式53】（22·23下·珠?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在x=1(2)記函數(shù)gx=x2?bx?3?fx，設(shè)x1,x【題型6導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題】【例6】（22·23·云南·模擬預(yù)測(cè)）定義方程fx=f′x的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)fx的“奮斗點(diǎn)”.若函數(shù)gx=lnx，?xA．m≥n B．m>n C．m≤n D．m<n【變式61】（22·23下·揚(yáng)州·期中）定義方程fx=f′x的實(shí)根x0叫做函數(shù)fx的“新駐點(diǎn)”，若函數(shù)gx=2xex+1，?x=lnx+2，A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a【變式62】（22·23下·蘭州·期末）給出定義：設(shè)f″x是函數(shù)y=f′x的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″x0=0有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)xA．tanx0=4 B．點(diǎn)MC．sin2x0=417【變式63】（22·23下·江西·階段練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)k和m使得函數(shù)fx和gx對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：gx≤kx+m≤fx恒成立，則稱此直線y=kx+m為fx和gx的“分離直線”.有下列命題：①fx=x2和gx=alnA．①、②都是真命題 B．①、②都是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①是真命題，②是假命題【知識(shí)點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用】1．導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用(1)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常涉及用料最省、成本(費(fèi)用)最低、利潤(rùn)最大、效率最高等問(wèn)題，求解時(shí)需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，抓主元，找主線，把“問(wèn)題情境"翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解，最后經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)得到實(shí)際問(wèn)題的解.

(2)解決優(yōu)化問(wèn)題的方法并不單一，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值是解決這類問(wèn)題的有效方法，有時(shí)與判別式、基本不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)等結(jié)合，多舉并用，達(dá)到最佳效果.

(3)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟【題型7導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用】【例7】（22·23·全國(guó)·隨堂練習(xí)）工廠需要圍建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．我們知道，砌起的新墻的總長(zhǎng)度y（單位：m）是利用原有墻壁長(zhǎng)度x(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定x的取值范圍；(2)隨著x的變化，y的變化有何規(guī)律？(3)當(dāng)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)、寬比為多少時(shí)，需要砌起的新墻用的材料最??？【變式71】（22·23下·廈門·期中）學(xué)校里的生物園地由矩形OABC與扇形OCD組成，OA=2m，AB=23m，∠COD=π3，生物園地從O點(diǎn)出水噴灑灌溉，噴灑張角∠EOF=π3，陰影部分為可灌溉范圍，點(diǎn)E在弧CD上，點(diǎn)F

(1)求灌溉面積S關(guān)于θ的關(guān)系式，并求出θ的范圍；(2)求灌溉面積S取得最大值時(shí)sinθ【變式72】（22·23下·上?！て谀┠车亟ㄒ蛔鶚?，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下的工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)預(yù)測(cè)一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+x)x萬(wàn)元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？【變式73】（23·24上·武漢·階段練習(xí)）北京時(shí)間