專題28中點(diǎn)四邊形一、單選題1．順次連接菱形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】C【詳解】解：如圖，∵四邊形是菱形，∴，∵是菱形各邊的中點(diǎn)，∴，，∴，同理：，∴四邊形是矩形．故選：C．2．下列命題正確的是（

）A．菱形的對(duì)角線互相垂直平分 B．順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形【答案】A【詳解】解：A、菱形的對(duì)角線互相垂直平分，正確，本選項(xiàng)符合題意；B、順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，不一定是正方形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；D、順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意，故選：A．3．依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)，得到一個(gè)特殊圖形，這個(gè)圖形一定是（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，連接，如圖：

∵E、F、G、H分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，∴、分別是與的中位線，∴，，，，∴，且，∴四邊形是平行四邊形．故選：A．4．下列說(shuō)法正確的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形一定是矩形B．順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是正方形C．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形一定是菱形D．經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分【答案】D【詳解】解：對(duì)角線相等的平行四邊形才是矩形，故A錯(cuò)誤；順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是菱形，故B錯(cuò)誤；對(duì)角線互相平分且相等的四邊形一定是矩形，故C錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分，故D正確；故選：D．5．下列命題是正確的是（

）A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B．若順次連接一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的是一個(gè)正方形，則原四邊形一定是正方形C．順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形一定是矩形D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【答案】C【詳解】解：A、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形也可能是等腰梯形，故原命題錯(cuò)誤，不合題意；B、若順次連接一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的是一個(gè)正方形，則原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，故原命題錯(cuò)誤，不合題意；C、順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形一定是矩形，故正確，符合題意；D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故原命題錯(cuò)誤，不合題意；故選：C．6．順次連結(jié)某四邊形的中點(diǎn)所得的圖形是菱形，則這個(gè)某四邊形一定是（

）A．正方形B．矩形C．對(duì)角線相等的四邊形 D．平行四邊形【答案】C【詳解】解：如圖

連接、，、、、分別是四邊形各邊中點(diǎn)，，，即，，同理可證，，當(dāng)時(shí)，，即，四邊形是菱形，即順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形時(shí)，該四邊形一定是對(duì)角線相等的四邊形，故選：．7．下列命題中，正確的是（

）A．對(duì)角線垂直的四邊形是菱形B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形C．直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于斜邊上中線長(zhǎng)的兩倍D．若連接一個(gè)四邊形四邊中點(diǎn)所得的圖形是菱形，則原四邊形一定是矩形【答案】C【詳解】解：A、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原命題是假命題，不符合題意；B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題是假命題，不符合題意；C、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即直角三角形斜邊長(zhǎng)的等于斜邊上中線的兩倍，故原命題是真命題，符合題意；D、順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則原四邊形可能是矩形，也可能是等腰梯形，故原命題是假命題，不符合題意；故選：C．8．如圖，分別為四邊形各邊的中點(diǎn)，順次連接，得到四邊形，下列描述錯(cuò)誤的是（

）．A．四邊形一定是平行四邊形B．當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形C．當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形D．當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形．【答案】B【詳解】連接，分別為四邊形各邊的中點(diǎn)，，且，，且，故四邊形為平行四邊形，故A正確；當(dāng)時(shí)，故平行四邊形不是矩形，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，故四邊形為菱形，C正確；當(dāng)時(shí)，，，故四邊形為矩形，D正確；故選：B．9．如圖，在方格紙中，順次連接四個(gè)格點(diǎn)A、B、C、D得到四邊形，再順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)得到的四邊形是（

）

A．平行四邊形B．菱形C．正方形 D．矩形【答案】C【詳解】如圖，連接四個(gè)格點(diǎn)A、B、C、D得到四邊形，

設(shè)的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，則，，∵，∴，∴四邊形是菱形，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴四邊形是正方形，故選C．10．若順次連接一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形，則原四邊形一定是（

）A．一般平行四邊形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形 C．對(duì)角線相等的四邊形 D．矩形【答案】B【詳解】因?yàn)槿我馑倪呅蔚闹悬c(diǎn)四邊形都是平行四邊形，而中點(diǎn)四邊形的兩組對(duì)邊分別是和原四邊形的兩條對(duì)角線平行的，矩形相鄰兩邊是互相垂直的，所以原四邊形的對(duì)角線應(yīng)該互相垂直.故選B.11．我們把順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形，下列說(shuō)法正確的是A．任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形B．任意一個(gè)平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形C．對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形D．對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形【答案】B【詳解】選項(xiàng)A，由任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形可判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，任意一個(gè)平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形可判定選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形可判定選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選B.12．下列命題中，假命題是（

）A．順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形B．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形C．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形D．順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形【答案】D【詳解】觀察圖形：分別為的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理：A：順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形,正確；B：順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，正確；C：順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形，正確；D：順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，錯(cuò)誤．故答案選：D．二、填空題13．順次連接一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是．【答案】平行四邊形【詳解】解：如圖所示，四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G，H是四邊形的中點(diǎn)，∴，，，，∴，，∴四邊形EFGH是平行四邊形；故答案為：平行四邊形．14．順次連結(jié)對(duì)角線相等且垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是．【答案】正方形【詳解】順次連接對(duì)角線既相等又垂直的四邊形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正方形．故答案為：正方形．15．依序連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（指特殊四邊形）．【答案】矩形【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)，G，H是各邊的中點(diǎn)，∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴EF⊥GF，∴四邊形EFGH是矩形，故答案是：矩形．16．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是的中點(diǎn)，連接，則四邊形的形狀是．

【答案】矩形【詳解】解：∵,∴點(diǎn)再線段的垂直平分線上，∴,∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn),，∴,∴四邊形為矩形,故答案為：矩形.17．如圖，連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，還要添加，才能保證四邊形EFGH是正方形．【答案】AC⊥BD，AC=BD【詳解】解：當(dāng)AC⊥BD，AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形．∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，當(dāng)AC⊥BD，AC=BD時(shí)，EF⊥EH，EF=EH，∴四邊形EFGH為正方形．故答案為：AC⊥BD，AC=BD．18．若連接一個(gè)四邊形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，則原四邊形需要滿足的條件是．【答案】對(duì)角線相等【詳解】解：若一個(gè)四邊形對(duì)角線互相垂直，則順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的圖形為菱形，理由如下：，，，分別是，，，的中點(diǎn)，，，，同理，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是菱形．故答案為：對(duì)角線相等．

19．四邊形中，，順次連接它的各邊中點(diǎn)所得的四邊形是．【答案】菱形【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別是DC，AD的中點(diǎn)，∴EF=AC，EF∥AC，同理，GH=AC，GH∥AC，GF=BD，∴EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC=BD，∴EF=GF，∴平行四邊形EFGH為菱形．故答案是：菱形．20．如圖，連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，還要添加條件，才能保證四邊形是矩形．【答案】【詳解】解：如圖，∵E、F、G、H分別是、、、的中點(diǎn)，∴，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，若四邊形是矩形，則有，∵，∴，∵，∴，即，∴還要添加的條件，才能保證四邊形是矩形，故答案為：．21．如圖，在四邊形中，對(duì)角線，垂足為O，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，若，，則四邊形的面積為．

【答案】6【詳解】解：∵點(diǎn)O，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，∴是的中位線，是的中位線，是的中位線，∴，，，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，故答案為：6．22．如圖，在四邊形中，、、、分別是各邊中點(diǎn)，當(dāng)，滿足時(shí)，四邊形是菱形．

【答案】【詳解】解：當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，理由如下：如圖，連接、，、、、分別是四邊形各邊中點(diǎn)，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，，平行四邊形為菱形，故答案為：．

23．若順次連接四邊形ABCD四邊中點(diǎn)形成的四邊形為矩形，則四邊形ABCD滿足的條件為.【答案】AC⊥BD【詳解】順次連接四邊形ABCD四邊中點(diǎn)形成的四邊形為矩形，則四邊形ABCD滿足的條件為對(duì)角線垂直，理由：∵四邊形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，又∵點(diǎn)E、F、分別是AD、AB、各邊的中點(diǎn)，∴EF是三角形ABD的中位線，∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，又∵點(diǎn)E、H分別是AD、CD各邊的中點(diǎn)，∴EH是三角形ACD的中位線，∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，則AC⊥BD，故四邊形ABCD滿足的條件為對(duì)角線垂直．故答案為AC⊥BD．24．若順次連接四邊形ABCD四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則原四邊形的對(duì)角線AC、BD所滿足的條件是．【答案】【詳解】如下圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)∵點(diǎn)E、F是AB、BC的中點(diǎn)∴EF=同理可得：AG=EF=，GF=AE=∵要使得四邊形HEFG是菱形，則HE=EF=FG=GH∴只需AC=BD即可故答案為：AC=BD三、解答題25．如圖，四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接E、F、G、H．（1）判斷四邊形EFGH形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AC＝BD，判斷四邊形EFGH形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）平行四邊形，理由見(jiàn)解析；（2）菱形，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）四邊形EFGH為平行四邊形，理由如下：連接AC，如圖，在△ABC和△ADC中，∵EF、GH分別為其中位線，∴EF∥AC,且EF=AC;GH∥AC且GH=AC，∴EF=GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形；（2）若AC=BD,則四邊形EFGH為菱形，連接BD，如圖，在△BCD中，∵GF為其中位線，∴GF=BD，∵EF=AC（已證），且AC=BD，∴EF=GF，又∵四邊形EFGH為平行四邊形（已證），∴四邊形EFGH為菱形．26．把順序連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？（2）符合什么條件的四邊形，它的中點(diǎn)四邊形是菱形？（3）符合什么條件的四邊形，它的中點(diǎn)四邊形是矩形？【答案】（1）平行四邊形；理由見(jiàn)解析；（2）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是菱形；（3）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是矩形.【詳解】（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，理由是：如圖1，連接BD，∵點(diǎn)E、H分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，∴EH∥BD、EH=BD，∵點(diǎn)F、G分別為BC、DC的中點(diǎn)，∴FG∥BD、FG=BD，∴EH=FG、EH∥FG，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；（2）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是菱形；證明：與（1）同理：EH=FG=BD=AC=EF=HG，得它的中點(diǎn)四邊形是菱形；（3）當(dāng)原四邊形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是矩形；證明：與（1）同理：EH∥FG∥BD，AC∥EF∥HG，∵AC⊥BD，∴EH、FG分別與EF、HG垂直，∴得它的中點(diǎn)四邊形是矩形．27．如圖1，在四邊形中，如果對(duì)角線和相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，______一定是等角線四邊形（填寫(xiě)圖形名稱）；②若、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線、還要滿足______時(shí)，四邊形是正方形．（2）如圖2，已知在中，，，，為平面內(nèi)一點(diǎn)．①若四邊形是等角線四邊形，且，求符合條件的等角線四邊形的面積．②設(shè)點(diǎn)是所在平面上的任意一點(diǎn)且，若四邊形是等角線四邊形，求出四邊形面積的最大值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①矩形；②；（2）①；②18，理由見(jiàn)解析【詳解】解：（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，矩形的對(duì)角線相等，矩形一定是等角線四邊形，故答案為：矩形；②當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．理由：如圖1，、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是菱形，，，，，四邊形是正方形．故答案為：；（2）①如圖2，作于．在中，，，，，，，，四邊形是等角線四邊形，，在中，，．四邊形的面積為；②如圖3中，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，作于，于．則，，四邊形是等角線四邊形，，，即，當(dāng)、重合時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，，，即線段最大時(shí)，四邊形的面積最大，，，，的最大值為6，當(dāng)、、共線時(shí)，取等號(hào)，四邊形的面積的最大值為．故答案為：18．四、證明題28．四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．（1）我們知道：無(wú)論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為_(kāi)_________形；②當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形見(jiàn)解析【詳解】（1）解：（1）①連接AC、BD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四邊形EFGH都是平行四邊形，∵對(duì)角線AC=BD，∴EH=EF，∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是菱形；②當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，EF⊥EH，∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是矩形；故答案為：菱；矩；（2）四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．理由如下：分別延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等，中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．29．如圖1，如果四邊形的對(duì)角線互相垂直，那么順次連接其各邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形，這樣的四邊形稱為“中母矩形”．

(1)如圖2，在直角坐標(biāo)系中，已知，，，請(qǐng)?jiān)诟顸c(diǎn)上標(biāo)出點(diǎn)的位置（只標(biāo)一點(diǎn)即可），使四邊形是中母矩形．并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．(2)如圖3，以的邊，為邊，向外作正方形及正方形，連接，相交于點(diǎn)，求證：四邊形是中母矩形．(3)如圖4，在中，，，是斜邊的中點(diǎn)，是直角邊的中點(diǎn)，是直角邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形是中母矩形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，或或；(2)見(jiàn)解析；(3)【詳解】（1）如圖所示，點(diǎn)即為所求，

或或；（2）如圖3，∵正方形及，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是中母矩形；（3）如圖所示，

四邊形是中母矩形時(shí)，，是斜邊的中點(diǎn)，是直角邊的中點(diǎn)，，，，又，即，，是斜邊的中點(diǎn)，是直角邊的中點(diǎn)，，，30．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫(xiě)出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀．（不必證明）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）四邊形EFGH是菱形，證明見(jiàn)解析；（3）四邊形EFGH是正方形【詳解】（1）證明：如圖1中，連接BD．∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=BD，∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD，F(xiàn)G=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形．（2）四邊形EFGH是菱形．證明：如圖2中，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD．∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF=AC，F(xiàn)G=BD，∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形．（3）四邊形EFGH是正方形．證明：如圖2中，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M，AC與EH交于點(diǎn)N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四邊形EFGH是菱形，∴四邊形EFGH是正方形．31．(1)任意四邊形四邊中點(diǎn)圍成的四邊形是__________；(2)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)圍成的四邊形是__________；(3)對(duì)角線垂直的四邊形四邊中點(diǎn)圍成的四邊形是__________；并證明．【答案】平行四邊形菱形矩形【詳解】（1）如圖所示，任意四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，求四邊形EFGH的形狀．連接AC，∵E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，∴HG、EF分別為△ACD與△ABC的中位線，∴HG∥AC∥EF，HG=EF=AC，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖所示，四邊形ABCD的對(duì)角線AC=BD，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，求四邊形EFGH的形狀．連接AC、BD，∵E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，∴EH、GF分別為△ABD與△BCD的中位線，∴EH∥BD∥GF，EH=GF=BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，同理可得，HG=EF=AC，∵AC=BD，∴EH=GF，∴四邊形EFGH是菱形；（3）如圖所示，四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，求四邊形EFGH的形狀．解：連接AC、BD，∵E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，∴EH、GF分別為△ABD與△BCD的中位線，∴EH∥BD∥GF，EH=GF=BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，同理可得，HG∥AC∥EF，∵AC⊥B