華二2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)沖刺卷22025.5一、填空題（本大題共有12題,滿(mǎn)分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．若集合，則．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．3．的展開(kāi)式中的系數(shù)為．4．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則．

5．已知空間向量共面，則實(shí)數(shù)．

6．若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則．

7．已知雙曲線(xiàn)的上、下焦點(diǎn)分別為，雙曲線(xiàn)以為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則的漸近線(xiàn)方程為．8．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則．

9．已知，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的垂足為，直線(xiàn)交于點(diǎn)，則．

10．將一個(gè)圓心角為、面積為的扇形卷成一個(gè)圓錐，則此圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．

11．雨天外出雖然有撐雨傘，時(shí)常卻總免不了淋濕衣袖、褲腳、背包等，熱愛(ài)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的小明想通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法研究如何撐傘可以讓淋濕的面積盡量小.為了簡(jiǎn)化問(wèn)題小明做出下列假設(shè)：

假設(shè)1：小明把人假設(shè)為身高、肩寬分別為的矩形＂紙片人＂；

假設(shè)2：受風(fēng)的影響，雨滴下落軌跡視為與水平地面所成角為的直線(xiàn)；

假設(shè)3：傘柄長(zhǎng)為60cm，可繞矩形＂紙片人＂上點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；假設(shè)4：傘面為被傘柄垂直平分的線(xiàn)段．

如圖，在矩形＂紙片人＂上身恰好不被淋濕時(shí)，求其＂褲腳＂被淋濕（陰影）部分的面積（結(jié)果精確到）；12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值是．二、選擇題（本大題共4題，滿(mǎn)分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

13．運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的意義是（）.

A．B．C．D．

14．設(shè)，則是的（）條件.

A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要15．已知，集合，若集合A恰有8個(gè)子集，則的可能值有幾個(gè)（）.

A．1B．2C．3D．4

16．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，則稱(chēng)為＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，對(duì)于＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，有以下四個(gè)結(jié)論：①＂－嚴(yán)格增函數(shù)＂一定在上嚴(yán)格增；

②＂－嚴(yán)格增函數(shù)＂一定是＂－嚴(yán)格增函數(shù)＂（其中，且）③函數(shù)是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂（其中表示不大于的最大整數(shù)）

④函數(shù)不是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂（其中表示不大于的最大整數(shù)）

其中，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）.

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分）．

17．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．

如圖，四邊形是圓柱的軸載面，，以圓柱上底面為底面作高為2的圓錐，C、分別在上，．

（1）求這個(gè)幾何體的表面積和體積；

（2）求二面角的余弦值．

18．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．

已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的值域；

（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

19．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．燒烤是某地的特色美食，今年春季一場(chǎng)始于煙火、歸于真誠(chéng)的邂逅，讓無(wú)數(shù)人前往＂趕烤＂.當(dāng)?shù)啬碂镜晖瞥?50元的燒烤套餐，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，燒烤店成本（單位：千元，包含人工成本、原料成本、場(chǎng)地成本、設(shè)備損耗等各類(lèi)成本）與每天賣(mài)出套餐數(shù)（單位：份）的關(guān)系如下：與可用回歸方程（其中為常數(shù)）進(jìn)行模擬.

參考數(shù)據(jù)與公式：設(shè)，則線(xiàn)性回歸直線(xiàn)中，．

（1）填寫(xiě)表格中的三個(gè)數(shù)據(jù)，并預(yù)測(cè)該燒烤店一天賣(mài)出100份的利潤(rùn)是多少元．（利潤(rùn)售價(jià)－成本，結(jié)果精確到1元）

（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增．4月份的連續(xù)16天中某品牌飲料每天為該地配送的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖，用這16天的情況來(lái)估計(jì)相應(yīng)的概率.供貨商擬購(gòu)置輛小貨車(chē)專(zhuān)門(mén)運(yùn)輸該品牌飲料，一輛貨車(chē)每天只能運(yùn)營(yíng)一趟，每輛車(chē)每趟最多只能裝載40箱該飲料，滿(mǎn)載發(fā)車(chē)，否則不發(fā)車(chē).若發(fā)車(chē)，則每輛車(chē)每趟可獲利500元；若未發(fā)車(chē)，則每輛車(chē)每天平均虧損200元.若或4，請(qǐng)從每天的利潤(rùn)期望角度給出你的建議.

20．（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分．

已知橢圓的上焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)．

（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；

（2）設(shè)．直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，求的最小值；

（3）設(shè)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與橢圓相交于軸右側(cè)的點(diǎn)；若同時(shí)也是橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)，求的所有可能值．

21．（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分．

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)滿(mǎn)足以下①②兩個(gè)性質(zhì)中的任意一個(gè)時(shí)，則稱(chēng)區(qū)間是的一個(gè)＂美好區(qū)間＂．

性質(zhì)①：對(duì)于任意，都有；性質(zhì)②：對(duì)于任意，都有．

（1）已知．分別判斷區(qū)間和區(qū)間是否為函數(shù)的＂美好區(qū)間＂，并說(shuō)明理由；

（2）已知且，若區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)＂美好區(qū)間＂，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且對(duì)于任意，都有．求證：函數(shù)存在＂美好區(qū)間＂，且存在，使得不屬于函數(shù)的任意一個(gè)＂美好區(qū)間＂．

華二2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)沖刺卷22025.5一、填空題（本大題共有12題,滿(mǎn)分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．若集合，則．

【答案】2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

【答案】3．的展開(kāi)式中的系數(shù)為．

【答案】844．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則．

【答案】【解析】由已知得，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，

又因?yàn)?，所以，所以等比?shù)列的首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，

所以．

5．已知空間向量共面，則實(shí)數(shù)．

【答案】3【解析】設(shè)，即，故，解得．

6．若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則．

【答案】3【解析】由題意，函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，可得是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得．

7．已知雙曲線(xiàn)的上、下焦點(diǎn)分別為，雙曲線(xiàn)以為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則的漸近線(xiàn)方程為．

【答案】8．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則．

【答案】9【解析】因?yàn)?，所以，，又，即，解得，所以?/p>

9．已知，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的垂足為，直線(xiàn)交于點(diǎn)，則．

【答案】【解析】作出圖像，如圖所示：則即為的值，因?yàn)?，即，所以，解得或（舍），所以?/p>

10．將一個(gè)圓心角為、面積為的扇形卷成一個(gè)圓錐，則此圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．

【答案】

11．雨天外出雖然有撐雨傘，時(shí)常卻總免不了淋濕衣袖、褲腳、背包等，熱愛(ài)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的小明想通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法研究如何撐傘可以讓淋濕的面積盡量小.為了簡(jiǎn)化問(wèn)題小明做出下列假設(shè)：

假設(shè)1：小明把人假設(shè)為身高、肩寬分別為的矩形＂紙片人＂；

假設(shè)2：受風(fēng)的影響，雨滴下落軌跡視為與水平地面所成角為的直線(xiàn)；

假設(shè)3：傘柄長(zhǎng)為60cm，可繞矩形＂紙片人＂上點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；假設(shè)4：傘面為被傘柄垂直平分的線(xiàn)段．

如圖，在矩形＂紙片人＂上身恰好不被淋濕時(shí)，求其＂褲腳＂被淋濕（陰影）部分的面積（結(jié)果精確到）；【答案】【解析】解得，12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值是．

【答案】45【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，構(gòu)造函數(shù)，

則的圖像與直線(xiàn)至少有5個(gè)公共點(diǎn)，

橫坐標(biāo)分別為，根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)知：

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，時(shí)有最小值，此時(shí)最多有2個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)圖像在上是一條水平的線(xiàn)段，可以有5個(gè)交點(diǎn)，

故，且，故，即，，故，故．二、選擇題（本大題共4題，滿(mǎn)分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

13．運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的意義是（）.

A．B．C．D． 【答案】C

14．設(shè)，則是的（）條件.

A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

【答案】B15．已知，集合，若集合A恰有8個(gè)子集，則的可能值有幾個(gè)（）.

A．1B．2C．3D．4

【答案】B【解析】由題意易知，，均是集合A中的元素，

又集合A恰有8個(gè)子集，故集合A只有三個(gè)元素，

有，則結(jié)合誘導(dǎo)公式易知，可取的值是4或5．

16．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，則稱(chēng)為＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，對(duì)于＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，有以下四個(gè)結(jié)論：①＂－嚴(yán)格增函數(shù)＂一定在上嚴(yán)格增；

②＂－嚴(yán)格增函數(shù)＂一定是＂－嚴(yán)格增函數(shù)＂（其中，且）③函數(shù)是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂（其中表示不大于的最大整數(shù)）

④函數(shù)不是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂（其中表示不大于的最大整數(shù)）

其中，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）.

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】C【解析】①，函數(shù)，定義域?yàn)镽，存在，對(duì)于任意，都有，但在R上不單調(diào)遞增，所以①錯(cuò)誤．

②，是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，則存在，使得對(duì)任意，都有，

因?yàn)?，所以，故，即存在?shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有，所以是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，②正確．

③，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有，即，所以函數(shù)嚴(yán)格增函數(shù)＂，③正確．

④，對(duì)于函數(shù)，，所以是周期為1的周期函數(shù)，，若，則，不符合題意．

當(dāng)且時(shí)，若，則，即，其中，若，則總存在，使得，

當(dāng)時(shí)，若是正整數(shù)，則不成立，若不是正整數(shù)，不恒成立，所以函數(shù)不是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，④正確．三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分）．

17．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．

如圖，四邊形是圓柱的軸載面，，以圓柱上底面為底面作高為2的圓錐，C、分別在上，．

（1）求這個(gè)幾何體的表面積和體積；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意可知，圓柱的底面半徑為，

因?yàn)闉閳A錐的高，且，所以，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，

又，因此，該幾何體的表面積為．

該幾何體的體積為；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，得，令，則，所以，平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，

由圖象可知，二面角為銳角，它的余弦值為．18．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．

已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的值域；

（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）的值為3，值域?yàn)椋?）【解析】（1）由是R上的奇函數(shù)，知，解得．

此時(shí)，故對(duì)于任意的，有，

即是R上的奇函數(shù)；因此實(shí)數(shù)的值為3．

令，則，解得，即函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

（2）解法1：由（1）知，于是不等式可化為．

令（因），則不等式在上恒成立.

設(shè)，則在上恒成立，等價(jià)于.即.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

解法2：由（1）知，當(dāng)時(shí)，．于是不等式可化為．（因），則由函數(shù)在上遞增知，．故由恒成立知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

19．（本題滿(mǎn)分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分．燒烤是某地的特色美食，今年春季一場(chǎng)始于煙火、歸于真誠(chéng)的邂逅，讓無(wú)數(shù)人前往＂趕烤＂.當(dāng)?shù)啬碂镜晖瞥?50元的燒烤套餐，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，燒烤店成本（單位：千元，包含人工成本、原料成本、場(chǎng)地成本、設(shè)備損耗等各類(lèi)成本）與每天賣(mài)出套餐數(shù)（單位：份）的關(guān)系如下：與可用回歸方程（其中為常數(shù)）進(jìn)行模擬.

參考數(shù)據(jù)與公式：設(shè)，則線(xiàn)性回歸直線(xiàn)中，．

（1）填寫(xiě)表格中的三個(gè)數(shù)據(jù)，并預(yù)測(cè)該燒烤店一天賣(mài)出100份的利潤(rùn)是多少元．（利潤(rùn)售價(jià)－成本，結(jié)果精確到1元）

（2）據(jù)統(tǒng)計(jì)，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增．4月份的連續(xù)16天中某品牌飲料每天為該地配送的箱數(shù)的頻率分布直方圖如圖，用這16天的情況來(lái)估計(jì)相應(yīng)的概率.供貨商擬購(gòu)置輛小貨車(chē)專(zhuān)門(mén)運(yùn)輸該品牌飲料，一輛貨車(chē)每天只能運(yùn)營(yíng)一趟，每輛車(chē)每趟最多只能裝載40箱該飲料，滿(mǎn)載發(fā)車(chē)，否則不發(fā)車(chē).若發(fā)車(chē)，則每輛車(chē)每趟可獲利500元；若未發(fā)車(chē)，則每輛車(chē)每天平均虧損200元.若或4，請(qǐng)從每天的利潤(rùn)期望角度給出你的建議.【答案】（1）（2）建議購(gòu)買(mǎi)3輛車(chē).【解析】（1）由表格及公式通過(guò)計(jì)算器可計(jì)算得，補(bǔ)全填空如下：

根據(jù)題意，，所以，所以，又，所以，

所以時(shí)，（千元），

即賣(mài)出100份的成本為11764元，故利潤(rùn)（元）.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，可知送貨箱數(shù)的概率分布表為：

設(shè)該運(yùn)輸戶(hù)購(gòu)3輛車(chē)和購(gòu)4輛車(chē)時(shí)每天的利潤(rùn)分別為元，

則的可能取值為，其分布列為：

故，的可能取值為，其分布列為：故，即購(gòu)置3輛小貨車(chē)的利潤(rùn)更高，建議購(gòu)買(mǎi)3輛車(chē).

20．（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分．

已知橢圓的上焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)．

（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；

（2）設(shè)．直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，求的最小值；

（3）設(shè)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與橢圓相交于軸右側(cè)的點(diǎn)；若同時(shí)也是橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)，求的所有可能值．

【答案】（1）（2）（3）的所有可能值為2．【解析】（1）由題意，，故的方程為．

（2）當(dāng)時(shí)，．故橢圓的方程為．

求導(dǎo)得函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即直線(xiàn)的方程為．

聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程得．

從而線(xiàn)段的中點(diǎn)（若存在）橫坐標(biāo)為．

由題意，．故．

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，方程（＊）有兩個(gè)相異實(shí)根．故為所求最小值．

（3）此時(shí)的縱坐標(biāo)為．同（2）得直線(xiàn)的方程為．故．代入橢圓的方程，得．

又因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相切，聯(lián)立二者方程并令判別式為0，解得．代入，得．故，解得或0．因，故不合要求．從而，相應(yīng)地，．

綜上，的所有可能值為2．

21．（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分．

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)滿(mǎn)足以下①②兩個(gè)性質(zhì)中的任意一個(gè)時(shí)，則稱(chēng)區(qū)間是的一個(gè)＂美好區(qū)間＂．

性質(zhì)①：對(duì)于任意，都有；性質(zhì)②：對(duì)于任意，都有．

（1）已知．分別判斷區(qū)間和區(qū)間是否為函數(shù)的＂美好區(qū)間＂，并說(shuō)明理由；

（2）已知且，若區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)＂美好區(qū)間＂，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且對(duì)于任意，都有．求證：函數(shù)存在＂美好區(qū)間＂，且存在，使得不屬于函數(shù)的任意一個(gè)＂美好區(qū)間＂．

【答案】（1）是，不是（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）區(qū)間是，區(qū)間不是函數(shù)＂美好區(qū)間＂，理由如下：

由，