專(zhuān)題9.2分式的運(yùn)算【十大題型】

【滬科版】

2/曲

【題型1含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】...........................................................1

【題型2分式的加減混合運(yùn)算】..................................................................3

【題型3整式與分式的相加減運(yùn)算】..............................................................7

【題型4分式加減的實(shí)際應(yīng)用】..................................................................9

【題型5比較分式的大小】.....................................................................12

【題型6分式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值】..........................................................14

【題型7分式中的新定義問(wèn)題】.................................................................17

【題型8分式運(yùn)算的規(guī)律探究】.................................................................21

【題型9整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算】...................................................................25

【題型10科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小數(shù)】.................................................................27

?片蘆*三

【知識(shí)點(diǎn)1分式的乘除法法則】

分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類(lèi)似：

1）分式的乘法：分子的積為積的分子，分母的積為積的分母，能約分的約分。即：：x：二^

2）分式的除法：除式的分子、分母顛倒位置后，與被除數(shù)相乘。即：+：=

bdbcbe

3）分式的乘方：分子、分母分別乘方。（：）”=白

4）運(yùn)算順序：先乘方，后乘除，最后加減。同級(jí)從左至右依次計(jì)算。有括號(hào)的，先算括號(hào)

中的，在算括號(hào)外的。

注：上述所有計(jì)算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式

【知識(shí)點(diǎn)2分式的加減法則】

1）同分母分式：分母不變，分子相加減,士9=里

CCC

2）異分母分式：先通分，變?yōu)橥帜阜质剑偌訙p=三士能=胃

注：①計(jì)算結(jié)果中，分子、分母若能約分，要約分;②運(yùn)算順序中，加減運(yùn)算等級(jí)較低。若

混合運(yùn)算種有乘除或乘方運(yùn)算，先算乘除、乘方運(yùn)算，最后算加減運(yùn)算。

【題型1含乘方的分式乘除混合運(yùn)算】

【例1】（2022?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（合了+（合yx合的結(jié)果是（）

A.rB.空C.伴"D.1

a+ba-b\a-b/

【答案】B

【分析】先計(jì)算分式的乘方，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法，約分后即可得解.

【詳解】解：（合）J（公）2X合

（Q+8）2（Q-b）2a+b

（Q-b）2（a+b）2a-b

a+b

a—b

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵.

【變式皿】（2。22?全國(guó)?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）⑴.需=---------；

⑵（》?（》.（?=——；

（3）（-3ad3c2）2^（-^）3=；

⑷（-與?（-就r-粉、-----:

⑸弓）2+喘）飛針=--------?

【答案］一網(wǎng)_±_退一皿三

5na338xa2

【分析】（1）根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算即可：

（2）先算乘方，再算乘法即可;

（3）先算乘方，再算除法即可；

（4）先算乘方，再算乘除法即可;

（5）先算乘方，再算除法即可1

/a、n24m22m

【詳解】解:(1)-------=----

2m5n35n

(2)弓盧?（力6%），=甘,忌=-2；

（3）原式=9次心,4+（-竽）=9a266c4.（一募尸-壽;

（4）原式心.（一等尸|=9.（一票）.富=_誓;

⑸（忌2+（圣）2.今=忌+忌+'=導(dǎo).譽(yù)/=W

2m1a5c3yazc2

故答案為:

藐，k-可'-X/

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘、除、乘方的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵

【變式1-2］（2022?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）［一懸y］?火/+［注竺］3

［公案］8（0+匕）3：2（0―卜）

3a

【分析】先計(jì)算乘方，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后約分得結(jié)果.

[詳解M—就卜爐E中13，

a7b2(a+b)4(a-b/8

3(a+b)a2a*(b-a)3*

8(a+b)3b2(a-b)

"3a'

【點(diǎn)睛】本題考杳了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解決本題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2022?湖南長(zhǎng)沙?七年級(jí)階段練習(xí))已知a,b,c,d,x,y,z,w是互不相等

22b2c222

的非零實(shí)數(shù)，且?abcdabed，則5+與+2+等的值為

a2y2+b2x2b2z2+c2y2c2w2+d2z2xyzwxLy/z。

【答案】2

a2b2b2cC2d2翳/即有：滁+b2XeV

【分析】設(shè)，即十嬴

a2y2+b2x2b2z2+c2y2c2w2+d2z2a2b27

黑+黑=髭=3化簡(jiǎn)偌+捺4+5=/+彩器=匕則有與4與=哈

卜,z2y2w2a2c21b2d2iz2,w2.

xyzw_H=m，Q=="即Hl1彳=0=藍(lán)'齊=薪=/加+九=/+京=匕

abed

"篇=3,則問(wèn)題即可得解?

【詳解】結(jié)合a,b,c,a,x,y,z,w是互不相等的非零實(shí)數(shù)進(jìn)行下述運(yùn)算,

a2b2b2c2C2d2abed1

設(shè)?

a2y2+b2x2b2z2+c2y2c2w2+d2z2xyzwk

222222222222

則有:ay+bx_bz+cy_cw+dz_xyzw_,

a2b2b2c2c2d2abed'

a2y2ft2%2_b2z2c2y2_c2w2d2z2_xyzw_,

即有:

淳十涯=即+即=而■+市=abed=R'

化簡(jiǎn):圻小

則有：3=3xyzw__,

設(shè)好"m,

二k"

d21,z2w2.

=-=-■>?n+n=—+—=k,

w2nc2d2

2222

xz2yw

則有：Hi?二H萬(wàn)，71二京.至'

xyzw

即有：k==mn,

abed

m[[右a2b2c2d2222(m+?i)2k

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型2分式的加減混合運(yùn)算】

【例2】(2。22?浙江杭州,九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))對(duì)于任意的'值都有養(yǎng)=總+￡,則M,

N值為()

A.M=l,N=3B.M=-1,N=3C.M=2,N=4D.M=l,N=4

______-8y+4______

y4-2y3-7y2+8y+12

【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減計(jì)算，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2】(2022?全國(guó)?中考模擬)計(jì)算下列各式：

(1)J-+++上.

a-ba+ba^+b2a4+b^'

⑵爐+yz|y2zx?z2+xy.

x2+(y-z)x-yzy2+(z-x)y+zxz2-(x-y)z-xy，

(q)-T爐+12(7+1)

)X3+2X2+2X+1十X3-2X2+2X-1X2-l

(4)(<r)(zr)+(z-y)(x-y)+(x_z)(y_z)

(x-2y+z)(x+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z-2x)(x-2y+z)'

【答案】(1)aB-b8⑵0(3)0(4)1

【詳解】試題分析：(1)先根據(jù)異分母的分式的加減法，先把前兩個(gè)分式通分，再求和，

依次計(jì)算下去即可；

(2)先把分子添項(xiàng)，構(gòu)成能分組分解因式的式子，把分母利用整式的乘法展開(kāi)，然后把分

母分子分解因式，利用同分母的分式相加減的逆運(yùn)算約分化簡(jiǎn)即可：

(3)根據(jù)立方差和立方和公式進(jìn)行分子分母的因式分解，然后再約分化簡(jiǎn)即可；

(4)設(shè)x-y=a,y?z=b,z-x=c,利用換元法進(jìn)行約分化簡(jiǎn)即可.

2244

試題解析：(1)&山a+ba+ba+b

2a2a4a3

222244

=a-b+a+b+a+b

4a34a3

=a4-b4+a4+b4

8a7

=a8-b,8.

x2+yz%y2-zx1z2+xy

(2)x2+(y-z)x-yzy2+(z+x)y+zxz2-(x-y)z-xy

x(”z)+z(x+y)y(x+y)-x(y4~z)z(yfz)-y(zr)

=(x+y)(x-z)+(x+y)(y+z)+(z-x)(y+z)

xzyxzy

=x+y+x-z+y+z-x+y-x-z-y+z

=0；

[x?+l2(x、+l)

(3)X3+2X2+2X+1X3-2X2+2X-1X2-1

(x-1)(x2+x+l)(x+1)(J-x+l)2(x2+l)

=(x+1)(x2+x+l)+(x-1)(x2-x+l)-(x+1)(x-1)

xTx+12(x2+l)

=x+1+x-1-(x+1)(x-1)

=0；

(4)設(shè)x-y=a,y-z=b,z-x=c,則

(y-x)(z-x)(z-y)(x-y)(x-z)(y-z)

(x-2y+z)(x+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z-2x)(x-2y+z)

acabcb

=-(a-b)(b-c)-(b-c)(c-a)-(c-a)(a-b)

ac(c-a)+ab(a-b)+bc(b-c)

="(a-b)(b-c)(c-a)

(a-b)(b-c)(c-a)

=(a-b)(b-c)(c-a)

【變式2-3］（2022?河南省淮濱縣第一中學(xué)八年級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)B），，z滿(mǎn)足

x+yy+zz+x

且--+與+旦=11，則X+）葉z的值為（）

6x+yy+zz+x/

A.12B.14c-7D.9

【答案】A

【分析】把上+n+上=11兩邊加上3,變形可得也上+工+工=14,兩邊除

x+yy+zZ+Tx+yy+zz+x

以（％+y+z）得到土+—+^=康，則就/從而得到無(wú)+y+z的值.

y+z

【詳解】解：???二一+j2=ii,

x+yy+zz+x

：?1H—■—F1H-----F1H——=14,

x+yy+zz+x

x+y+z+x+y+z

即也上十=14,

x+yy+zz+x

14

x+yy+zz+xx+y+z

而」一十二一十二一=(,

x+yy+zz+x6

147

x+y^z6

x+y+z=12.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握同分母的分式相加減，分母不變，把

分子相加減.經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減，同時(shí)解決問(wèn)題的關(guān)

鍵也是從后面的式子變形出％+y+z.

【題型3整式與分式的相加減運(yùn)算】

【例3】（2022?貴州銅仁八年級(jí)期末）計(jì)算：計(jì)一1-%的結(jié)果是

【答案】>

【分析】先把分式化成同分母，再根據(jù)同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，即可得

出答案.

【詳解】解：一一一1一%

1-X

11-xx（l-x）

=—

1-x1-x1-X

l-1+x-x+x2

=-rr-

X2

1-X

故答案為三.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減.熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2022?山東偉沂?中考模擬）化簡(jiǎn)：（a+2+三）

【答案】2a-6

【分析】先計(jì)算括號(hào)，進(jìn)行通分，后按同分母加減計(jì)算，再計(jì)算乘除，約分即可.

【詳解】原式=（貯三一二）?"

\。-2Q-NQ+3

2

二a-9--2-（-a---2）

a-2Q+3

_（a+3）（a_3）29-2）

a-2a+3

=2（a-3）

=2a-6.

故答案為2a-6.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是記住分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，

然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.

【變式?】（?福建福州?八年級(jí)期末）已知：P=x+1,

322022g=—x+1.

⑴當(dāng)”>0時(shí)，判斷P-Q與0的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑵設(shè)y=若X是整數(shù)，求），的整數(shù)值.

【答案】⑴P-Q20,理由見(jiàn)解析；

（2）），的整數(shù)值為：-7,-3,-1,3.

【分析】（1）先求差，再比較差與0的大小關(guān)系;

（2）先表示卜再求），的整數(shù)值.

⑴

解：P-Q20,理由如下:

4X

X+1x+l

%24-2x4-1-4x

―x+1

_(x-i)2

―x+l，

ax->o,

l?Lv+l>0.(jr-1)2>0.

0P-C>O；

⑵

腮__3__2x__3-2x_-2(x+l)+5

廨：'-x+lx+l~x+l~x+l

,5

=-2o+——，

X+l

取，y是整數(shù)，

取+1是5的因數(shù).

ar+l=±l,±5.對(duì)應(yīng)的y值為：

13y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+l=-l或產(chǎn)-2+（-1）=-3.

也的整數(shù)值為：-7,-3,-1,3.

【點(diǎn)睛】本題考查分式運(yùn)算和比較大小，正確進(jìn)行分式的加減運(yùn)算是求解本題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2022?河北?中考真題）由（奈-f值的正負(fù)可以比較力=崇與3勺大小，下列

正確的是（）

A.當(dāng)c=-2時(shí)，/I=1B.當(dāng)c=。時(shí),力行

C.當(dāng)c<-2時(shí)，A>\D.當(dāng)c<。時(shí)，<1

【答案】C

【分析】先計(jì)算（景-鄉(xiāng)的值，再根。的正負(fù)判斷（崇-J的正負(fù)，再判斷4與京勺大小即可.

【詳解】解：辭一；點(diǎn)，

當(dāng)c=-2時(shí)，2+c=0,4無(wú)意義，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

當(dāng)c=0時(shí)，75=0,A=^故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

4+2rC2

當(dāng)CV-2時(shí)，-￡->0,Z>|,故。選項(xiàng)正確，符合題意；

4+2C2

當(dāng)—2VcV0時(shí)，—^―<0,A<-\當(dāng)cV—2時(shí)，一￡—>0,A>-,故。選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符

4+2C24+2C2

合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算和比較大小，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算,

根據(jù)結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確判斷.

【題型4分式加減的實(shí)際應(yīng)用】

【例4】（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）某飛行器在相距為機(jī)的甲、乙兩站間往返飛行.在

沒(méi)有風(fēng)時(shí)，飛行器的速度為也往返所需時(shí)間為口；如果風(fēng)速度為p（0<p<切，則飛行器

順風(fēng)飛行速度為8+p），逆風(fēng)飛行速度為（u-p），往返所需時(shí)間為今.貝狂1、J的大小關(guān)系

為（）

A.口<t2B.ti<t2C.“>t2D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】直接根據(jù)題意表示出0，以的值，進(jìn)而利用分式的性質(zhì)的計(jì)算求出答案.

■、注山〃.2mm,m2mv

【詳解】解：址ra。二^+而=虧7,

?,2m2mvImp2

酰1-一虧7=一而不，

00<p<v,

配1一七2V0，

叫<t2-

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，熟練的掌握正確的分式加減運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）課本中有一探究活動(dòng)如下："商店通常用以下方

法來(lái)確定兩種糖混合而成的什錦糖的價(jià)格：設(shè)4種糖的單價(jià)為Q元/千克，B種糖的單價(jià)為6元

/千克,則m千克/種糖和就千克8種糖混合而成的什錦糖的單價(jià)為%型（平均價(jià)）.現(xiàn)有甲

m+n

乙兩種什錦糖，均由48兩種糖混合而成.其中甲種什錦糖由10千克4種糖和10千克8種

糖混合而成；乙種什錦糖由100元A種糖和100元8種糖混合而成.你認(rèn)為哪一種什錦糖的

單價(jià)較高？為什么？”請(qǐng)你完成下面小明同學(xué)的探究：

⑴小明同學(xué)根據(jù)題意，求出甲、乙兩種什錦糖的單價(jià)分別記為和5,（用a、b的代數(shù)式表

示）；

⑵為了比較甲、乙兩種什錦糖的單價(jià)，小明想到了將沏片元乙進(jìn)行作差比較，即計(jì)算土伊-土乙

的差與0比較來(lái)確定大??；

⑶經(jīng)過(guò)此探究活動(dòng)，小明終于悟出了建議父親選擇哪種方式加油比較合算的道理（若石油

價(jià)格經(jīng)常波動(dòng).方式一：每次都加滿(mǎn)；方式二：每次加200元）.選擇哪種方式？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)

明理由.

【答案】⑴]伊=4。+力），元N=簽

⑵甲糖的單價(jià)較高，理由見(jiàn)解析

⑶方式二更合算

【分析】（1）根據(jù)單價(jià)=總價(jià)+數(shù)量分別求出甲糖單價(jià)和乙糖單價(jià);

（2）根據(jù)作差法比較大小即可求解;

（3）由探究的結(jié)果進(jìn)行分析即可.

（1）

解：甲糖單價(jià)為：5斯（10a+106）+20="Q+8）（元），

乙糖單價(jià)為：元乙=（100+100）+（詈+詈）=瞿（元）；

（2）

12ab

5（。+力）一

a+b

（a4-b）2—4ab

=2（a+b）

二（Q--）2

-2（a+b）

回甲、乙兩種什錦糖，均由A,8兩種單價(jià)不同的糖混合而成,

0,

團(tuán)甲糖的單價(jià)較高.

(3)

由探究可知方式一相當(dāng)于甲種什錦糖，方式二相當(dāng)于乙種什錦糖，

故選擇方式二更合算.

【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式（分式），分式的加減法.注意代數(shù)式的正確書(shū)寫(xiě)：出現(xiàn)除號(hào)

的時(shí)候，用分?jǐn)?shù)線(xiàn)代替.

【變式4-2]（2022?浙江杭州?七年級(jí)期末）甲、乙兩人同時(shí)從人地出發(fā)到8地，距離為100

千米.

（1）若甲從A地出發(fā)，先以20千米/小時(shí)的速度到達(dá)中點(diǎn)，再以25千米/小時(shí)的速度到達(dá)

6地，求走完全程所用的E寸間.

（2）若甲從A地出發(fā)，先以千米/小時(shí)的速度到達(dá)中點(diǎn)，再以2V千米/小時(shí)的速度到達(dá)B

地.乙從A地出發(fā)到B地的速度始終保持V千米/小時(shí)不變，請(qǐng)問(wèn)甲、乙誰(shuí)先到達(dá)B地？

（3）若甲以a千米/時(shí)的速度行走x小時(shí)，乙以0千米/時(shí)的速度行走x小時(shí)，此時(shí)甲距離終

點(diǎn)為（100-。%）千米，乙距離終點(diǎn)為（100-匕%）千米.分式既琮對(duì)一切有意義的x值都有

相同的值，請(qǐng)?zhí)剿鳌?，〃?yīng)滿(mǎn)足的條件?.

【答案】（1）4.5小時(shí)；（2）乙先到；（3）a,b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是。二從

【分析】（1）根據(jù)“時(shí)間=路程+速度”分別求出兩段路程的時(shí)間，再求和即可得；

（2）根據(jù)“時(shí)間=路程+速度〃分別求出甲、乙走完全程所用的時(shí)間，再比較大小即可■得：

（3）設(shè)翳陛=鼠從而可得100—100k+（地一。）無(wú)=0,再根據(jù)無(wú)關(guān)型問(wèn)題求解即可得.

【詳解】（1）由題意得：t+20++25,

=2.5+2,

=4.5(小時(shí))，

答：走完全程所用的時(shí)間為4.5小時(shí)；

100100

(2)甲走完全程所用的時(shí)間為無(wú)+衰=等+1二*

乙走完全程所用的時(shí)間為臂，

m因u為▼100<_▽125，

所以乙先到；

(3)設(shè)^^=匕則100-ox=k(100-bx),

整理得：100-100k+(Ab-a)x=0,

因分式黑會(huì)對(duì).切有意義的工值都有相同的值，

ioo-bx

0k的值與X的取值無(wú)關(guān)，

歐匕-Q=0,即a=kb,

0100-100/c=0,

解得k=1,

Ba=

故a,b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是。=匕.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式加減的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，正確列Hd各運(yùn)算式子是解題關(guān)鍵.

【變式4-3](2022?重慶?模擬預(yù)測(cè))一個(gè)自然數(shù)能分解成4XB,其中A,B均為兩位數(shù),A

的十位數(shù)字比8的十位數(shù)字大1,且A,B的個(gè)位數(shù)字之和為10,則稱(chēng)這個(gè)自然數(shù)為“分解

數(shù)".

例如：04819=79X61,7比6大1,1+9=10,回4819是"分解數(shù)”；

乂如：01496=44X34,4比3大1,4+4*10,(31496不是“分解數(shù)”.

⑴判斷325,851是否是"分解數(shù)”,并說(shuō)明理由;

⑵自然數(shù)M=AX8為“分解數(shù)〃，若A的十位數(shù)字與4的個(gè)位數(shù)字的和為P(M),A的個(gè)位數(shù)

字與8的十位數(shù)字的和"M),令G(M)=能，當(dāng)G(M)為整數(shù)時(shí)，則稱(chēng)M為“整分解數(shù)、若

8的十位數(shù)字能被2整除，求所有滿(mǎn)足條件的“整分解數(shù)，M.

【答案】⑴325不是“分解數(shù)〃，851是〃分解數(shù)〃，理由見(jiàn)解析

(2)899,891,8099

【分析】(1)325=25x13,851=37x23,根據(jù)定義進(jìn)行求解判斷即可；

(2)令B=10x+y,A=10(x4-1)+10-y,(1<x<8,1<y<9,且x,y為整數(shù))，

可得P(M)=x+y+l,f(7n)=x-y+10,G(M)=言黑，由;為整數(shù)，可知％=2,4,

6,8,然后分情況，求出符合題意的x,y的值，計(jì)算M即可.

(1)

解：(3325=25x13,2比1大1,5+3010,伺325不是"分解數(shù)";

團(tuán)851=37x23,3比2大1,7+3=10,0851是“分解數(shù)

⑵

解：令8=10x+y,/l=10(x+l)+10-y,(1<x<8,1<y<9,且x,y為整數(shù))

團(tuán)P(M)=x+y+1,F(M)=x—y+10

0G(M)=x+y+1

x-y+10

苗為整數(shù)

0x=2?4,6,8

當(dāng)％=2時(shí)，6(")=岑7=-1+-7為整數(shù)

-y+12-y+12

(3-y+12的值為3或5

團(tuán)解得y=9或7

團(tuán)Mi=31X29=899

M2=33x27=891

團(tuán)x=4或％=6時(shí)，不存在G(M)為整數(shù)

團(tuán)舍去

當(dāng)x=8時(shí)，6(")=上三二一1+二^為整數(shù)

-y+13-y+18

0-y+18=9

閏解得y=9

0M3=91x89=8099

綜上所述，M的值為899,891,8099.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的是實(shí)數(shù)運(yùn)算.解題的關(guān)鍵與難點(diǎn)在于理解題意并根據(jù)要求進(jìn)

行求解.

【題型5比較分式的大小】

【例5】(2022?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試)設(shè)時(shí)=空，N=*,當(dāng)％>y>0時(shí)，M和N的大小

x+1XJ

關(guān)系是()

A.M>NB.M=NC.M<ND.不能確定

【答案】A

【分析】用差值法比較大小，M-N=W-二進(jìn)行通分，由％：>y>0可判斷M、N的大

X+lXJ

小.

【詳解】M—N二空一］

X+1X

_xCy+i)-y(*+i)

x(x+l)

xy+x—xy—y

=~x(x+1)-

■x-y

x(x+l)'

0x>y>O

0x(x+l)>O,x-y>0

0M-N>O

故M>N.選A.

【點(diǎn)睛】本題考查分式加減的實(shí)際應(yīng)用.異分母分式相減，先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)減法

法則進(jìn)行計(jì)算.還需注意本題最終計(jì)算結(jié)果是分式，可分別判斷分子和分母的符號(hào)，根據(jù)兩

數(shù)相除，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)判斷結(jié)果的符號(hào).

【變式5-1](2022?河北秦皇島?八年級(jí)期末)已知n>l,M=―,N=—,P=—,則

n-1nn+1

M、N、P的大小關(guān)系為.

【答案】M>P>N

【分析】根據(jù)九>1可得M>1,O</V<1,O<P<1,從而得到M最大，然后用作差法比較

0,N的大小即可.

【詳解】解：0n>1,

0n—1>0,n>n—1,

0M>1,0</V<1,0<P<1,

團(tuán)M最大；

團(tuán)P>N,

團(tuán)M>P>N,

故答案為：M>P>N.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)和利用作差法比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，作差法比較大小的

方法是：如果a-/)>0,那么Q>b；如果Q-力=0,那么Q=b；如果a—力V0,那么a<b；

另外本題還用到了不等式的傳遞性，即如果a>b,b>c,那么a>b>c.

【變式5-2](2022?全國(guó)?幾年級(jí)競(jìng)賽)已知”,y,z是三個(gè)互不相同的非零實(shí)數(shù)，設(shè)a=/十

y2+z2,b=xy+yz+zx,c=-^+-^+-^,d=—+—+則a與b的大小關(guān)系是：

Jx2y2z2xyyzzx

c與d的大小關(guān)系是.

【答案】a>bc>d

【分析】根據(jù)題意利用作差法進(jìn)行整式與分式的加減運(yùn)算，并將結(jié)果與0比較大小即可確定

兩數(shù)間的大小關(guān)系.

【詳解】解：0x,y,z是三個(gè)互不相同的非零實(shí)數(shù)，

0a-b=x2+y24-z2—(xy+yz+zx)=1[(x—y)2+(y—z)24-(z—x)2]>0.

I3a>b.

又C—d=^+^+9c+2+3一七=)2+(二_邛+0_邛]>。，

x&y￡z"\xyyzzx)2[\xyJ\yz/\zxJ

0C>d.

故答案為：。>8和0比

【點(diǎn)睛】本題考查式子的大小比較，用作差法得到代數(shù)式，運(yùn)用完全平方公式配成完全平方

的形式，根據(jù)x,y,z是互不相等的非零實(shí)數(shù)，證明代數(shù)式大于0,得到a與b,c與d的大

小關(guān)系.

【變式5-3](2022?內(nèi)蒙與呼和浩特市國(guó)￡中學(xué)八年級(jí)期末)若。>0,心安.

a+2a+3

(1)當(dāng)a=3時(shí)，計(jì)算M與N的值；

(2)猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】(1)〃=￡N=*；(2)MVN；證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)直接將代入原式求出歷，N的值即可;

(2)直接利用分式的加減以及乘除運(yùn)算法則，進(jìn)而合并求出即可.

【詳解】(1)當(dāng)0=3時(shí)，M=坐=1N=曾=]

(2)方法一：猜想：M<N.理由如下：

,.a+la+2(a+l)(a+3)-(a+2)-1

a+2a+3(a+2)(a+3)(a+2)(a+3)

M>0,團(tuán)a+2AO,a+3AO,13-----------<U,RIM-/V<0,團(tuán)M<N；

(a+2)(a+3)

方法二：猜想：M<N.理由如下：

Ma+la+3a2+4a+3

-----------------.

Na+2a+2a2+4a+4

團(tuán)。>0,團(tuán)W>0,N>0,〃+4a+3>0,成丁4a+3〈匕孵團(tuán)MVN.

a2+4a+4N

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減以及乘除運(yùn)算，正確通分得出是解題的關(guān)鍵.

【題型6分式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值】

【例6】(2022?大津東阿八年級(jí)期末)計(jì)算

⑴豪言+G)2

(2)—4-^-—

a-la"-la-l

【答案】⑴*(2)臺(tái)

【分析】(1)先將除法寫(xiě)成乘法，再計(jì)算乘法，分子、分母約分化為最簡(jiǎn)分式；

(2)先將除法寫(xiě)成乘法，計(jì)算乘法得到最簡(jiǎn)分式，再與后一項(xiàng)相減即可得到答案.

【詳解】⑴原式=條券

⑵原式

a(a-l)a-1a-1a-1a-1"

【點(diǎn)睛】此題考查分式的混合運(yùn)算，先將除法化為乘法，再約分結(jié)果，再計(jì)算加減法.

【變式6/】（2022?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值一一號(hào)勺等’其中尸

-2,y

2

【答案】yi

x-2y6

【分析】原式利用除法法則變形，約分后兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算得到最

簡(jiǎn)結(jié)果，之后將x、y代入計(jì)算即可求得答案.

【詳解】解：原式=1-9.用第=i—w=-/,

x+y（,x-2y）2x-2yx-2y

當(dāng)X=-2,時(shí)，原式=；.

26

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練的掌握分式的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵，在解題

的時(shí)候,要注意式子的整理和約分.

【變式6-2]（2022?江蘇?南京玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）已知分式A=9+1-2）+

、a-Y

a2-4a+4

a-1

（1）化簡(jiǎn)這個(gè)分式；

（2）當(dāng)a>2時(shí)，把分式A化簡(jiǎn)結(jié)果的分子與分母同時(shí)加上4后得到分式B,問(wèn)：分式

B的值較原來(lái)分式A的值是變大了還是變小了？試說(shuō)明理由;

（3）若A的值是整數(shù)，且a也為整數(shù)，求出符合條件的所有a值的和.

【答案】（1）竺|：（2）原分式值變小了，見(jiàn)解析；（3）11

a-2

【分析】（1）根據(jù)分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得；

（2）根據(jù)題意列出算式4一8二竺|一二，化簡(jiǎn)可得4-8=,二:「、,結(jié)合a的范圍判

a-2a+2（a-2）（a+2）

斷結(jié)果與。的大小即可得;

(3)由A="^=1+可知，a—2=±l^±2、±4,結(jié)合a的取值范圍可得.

a-2a-2

【詳解】解：⑴A=(Q+1—3)+巴竽

'a-lza-1

：。2-1-3乂a-1

a-1(a-2)2

(q4-2)(a-2)xa-1

a-1(a-2)2

a+2

(2)變小了，理由如下：

ri,a+2

0/1=------

a-2

E4a+2a+616

囿4—8D=------------------=-------------------；

a-2a+2(a-2)(a+2)

0a>2,

0a-2>0,a+2>4,

團(tuán)4-/?>0,

回分式的值變小了；

（3）團(tuán)A是整數(shù)，a矩整數(shù)，

則力=吟=1+，;，

a-2a-2

回。一2=±1、±2、±4,

團(tuán)a工1,

（3a的值可能為:3、0、4、6、2

034-0+44-6+（-2）=11：

團(tuán)符合條件的所有a值的和為11.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算

法則.

【變式6-3］（2022?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）已知x.y為整數(shù)，且滿(mǎn)足G+；）&+/）=

號(hào)（或一3，求*+y的值?

【答案】x+y的值為?；蚴?.

【分析】根據(jù)平方差公式和約分法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)取整法則解答即可.

【詳解］解：團(tuán)（：+》（或+/）=一家;撲

%忌+?=—1&+揖（9_曰，

呢+夕=號(hào)&_/

毗+；）|1+式*）］=0，

■+工=0或1+，工-9=0,

xy3\xy/

0x+y=0或；——p

由乙二二一5，得％=7^~二二，

xy22-3y~~3

由于x,y為整數(shù)，

當(dāng)y=l時(shí),x為整數(shù)-2,則A+3,=-1：

當(dāng)廣-1時(shí)，工為:不是整數(shù)，不符合題意，舍去；

當(dāng)尸2時(shí)，x為整數(shù)-1,則戈+），=1；

當(dāng)尸-2時(shí)?，x為假，不是整數(shù)，不符合題意，舍去；

綜上，x+y的值為0或士1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

【題型7分式中的新定義問(wèn)題】

【例7】（2022?北京昌平八年級(jí)期中）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為

常數(shù)的分式的和的形式，則稱(chēng)這個(gè)分式為"和諧分式如:==二=W+三=1+三,

x-1x-1x-1X-lX-1

則曾是，，和諧分式，，.

⑴下列分式中，屬于“和諧分式〃的是:填序號(hào)）；

①等②？③出④詈

⑵請(qǐng)將“和諧分式〃藝產(chǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫(xiě)出化簡(jiǎn)

過(guò)程；

⑶應(yīng)用：先化簡(jiǎn)卜-喜）+沿?焉并求X取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù).

【答案】⑴②③

（2）%+3—告^,過(guò)程見(jiàn)解析

⑶當(dāng)％=-5,-7「9,該式的值是整數(shù)，

【分析】（1）由“和諧分式〃的定義對(duì)①②③④變形即可得;

（2）根據(jù)“和諧分式〃的定義進(jìn)行變形即可求解；

（3）將原式變形為根據(jù)題意求得“的值’根據(jù)分式有意義的條件取舍即可求解.

【詳解】⑴解:①等=1+京不是“和諧分式％

②濘=1一：，是“和諧分式〃，

③震=,=1一也是"和諧分式〃，

④詈=5+2,不是"和諧分式"，

故答案為：②③；

（2）解：三產(chǎn)

(x+3)2-6

x+3

=無(wú)+3——；

X+3

(3)解:”上)+餐會(huì)

\x+17X2-9X2+6X

_X(X+1)-X(%+3)(無(wú)-3)x+1

-~x+1-x(x-3)x(x+6)

_x2(x+l)(x+3)(x-3)

x2(x+l)(x—3)(%+6)

x+3

x+6

x+6-3

x4-6

-13

-1一右’

凱-三為整數(shù)，

r+A

0%+6=±1,±3,

團(tuán)當(dāng)％=-3,-5,—7,—9時(shí)，1一名是整數(shù)，

又團(tuán)XH0,—1,3,—3,-6.

耽=-5,-7,-9時(shí),原式的值是整數(shù).

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熱練掌握分式的混合

運(yùn)算法則及對(duì)和諧分式的定義的理解.

【變式7-1](2022?江蘇?八年級(jí))定義：若兩個(gè)分式的和為n5為止整數(shù))，則稱(chēng)這兩個(gè)

分式互為，階分式"，例如分式會(huì)與告互為"3階分式

(1)分式盤(pán)與互為"5階分式"；

(2)設(shè)正數(shù)x,y互為倒數(shù)，求證：分式品與券互為“2階分式”；

(3)若分式士與瑞;互為“1階分式〃(其中a,8為正數(shù))，求ab的值.

【答案】(i)m-；ci詳見(jiàn)解析；門(mén))；

【分析】(1)根據(jù)分式的加法，設(shè)所求分式為A,然后進(jìn)行通分求解即可；

(2)根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關(guān)系，將x,)，進(jìn)行消元，然后通過(guò)分式的加法化簡(jiǎn)即可得解；

(3)根據(jù)1階分式的要求對(duì)兩者相加進(jìn)行分式加法化簡(jiǎn)，通過(guò)通分化簡(jiǎn)即可得解.

【詳解】(1)依題意，所求分式為A,即：野+力=5,

?5I

.L10x15+lOxlOx15

0ra/4=5-----=------------=----;

3+2x3+2x3+2x3+2x

(2)團(tuán)正數(shù)匕y互為倒數(shù)

0xy=1,即x=:

二+且=總+3=二+空=￡^=2

x+y2y+x2"+y2y+~i1+y3y3+l1+y3

團(tuán)分式島與島互為"2階分式〃；

(3)由題意得品+品=L等式兩邊同乘(a+4b2)(a2+2b)

化簡(jiǎn)得：a(a2+2b)+2b(a+4b2)=(a2+2b)(a4-4b2)

即：2ab+8b3=4a2b2+助3

04a2/）2—2ab=0,即2ab（2ab-1）=0

Mb=：或0

為正數(shù)

^ab=

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，熟練掌握分式的通分約分運(yùn)算知識(shí)是解決此類(lèi)問(wèn)題的

關(guān)鍵.

【變式7-2］（2022?江蘇?灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）定義：若分式M與分式N

的差等于它們的積，即M-N=MN,則稱(chēng)分式N是分式M的"關(guān)聯(lián)分式".如」7與2，因?yàn)?/p>

=西看，*、木=品百所以全是W的“關(guān)聯(lián)分式〃?

⑴已知分式上，則等______告的“關(guān)聯(lián)分式”（填”是〃或“不是〃）；

a2-la2+l-------a2-l

⑵小明在求分式士的“關(guān)聯(lián)分式”時(shí)，用了以下方法：

+y

設(shè)會(huì)的“關(guān)聯(lián)分式',為M則/一N=/XN,

團(tuán)（品+1）”小

團(tuán)”小.

請(qǐng)你仿照小明的方法求分式三的“關(guān)聯(lián)分式〃.

2Q+3b

⑶①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫(xiě)出分式號(hào)的“關(guān)聯(lián)分式J:

②用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題：

若磊是黑的“關(guān)聯(lián)分斗求實(shí)數(shù)小力的值?

【答案】⑴是

⑵''3a目+2b

⑶①言②仁？

【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)分式的定義進(jìn)行判斷;

（2）仿照題目中給到的方法進(jìn)行求解；

（3）①根據(jù)（1）（2）找規(guī)律求解；

②由①推出的結(jié)論，類(lèi)比形式求解即可.

（1）

解.已22二42共24

?a2-la2+l(a2-l)(a2+l)*a2-lXa2+l(a2-l)(a2+l)

舄是占的“關(guān)聯(lián)分式”

故答案為：是

（2）

解：設(shè)反■的“關(guān)聯(lián)分式”為N，則/—N=XXN,

2Q+3。2a+3b2a+3b

(懸+1)”舄

回”懸

(3)

解：①設(shè)（的“關(guān)聯(lián)分式"為N,則（—N=?xN,

團(tuán)化+I)N=3

團(tuán)N=M

故答案沏言

②由題意，可得k+管:怎4=窘+2

整理得I二二二：2

m=--

解得4

n=l,

4

【點(diǎn)睛】本題是創(chuàng)新探究類(lèi)題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運(yùn)算是解決

本題的關(guān)鍵.

【變式7-3]（2022?江西南昌?八年級(jí)期末）定義：若兩個(gè)分式的和為〃（〃為正整數(shù)），則

稱(chēng)這兩個(gè)分式互為，和分式〃.例如；-三+蕓=5,我們稱(chēng)兩個(gè)分式三與三互為”和分

x+lx+1x+lX+1

式〃.解答下列問(wèn)題：

（1）分式三與分式互為“4和分式〃；

（2）分式與與分式互為"和分式”；