第四章交通流理論

交通流理論(TrafficFlowTheory)是研究交通流隨時(shí)間和空間變化規(guī)律的模型和方法

體系，被廣泛應(yīng)用于交通系統(tǒng)規(guī)劃與攔制的各個(gè)方面。批注［UI］：前吉.部分是否過于簡單,與其他章?不協(xié)調(diào)

第一節(jié)交通流理論的發(fā)展歷程

在本節(jié)中，我們一起回顧交通流理論的發(fā)展歷程。交通流理論的興起大致在20世紀(jì)30

年代,在2。世紀(jì)5。年代到60年代經(jīng)萬了繁榮和快速發(fā)展.7。年代以后,主要是對(duì)既有理

論的發(fā)展完善和應(yīng)用拓展。

一、交通流理論的萌芽期

萌芽期從20世紀(jì)30年代到第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束。由于發(fā)達(dá)國家汽車使用和道路建設(shè)的

發(fā)展，需要探索道路交通流的基本規(guī)律，產(chǎn)生了研究交通流理論的初步需求。Adams在1936

發(fā)表的論文中將概率論用于描述道路交通流，格林息爾治(Grccnshidds)在1935年開創(chuàng)性

提出了流量和速度關(guān)系式(也就是格林息爾治關(guān)系)，并調(diào)查了交叉I」的交通狀態(tài)。

二、交通流理論的繁榮期

繁榮期從第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束到20世紀(jì)50年代末。汽車使用顯著增長和道路交通系統(tǒng)

建設(shè)加快，應(yīng)用層面對(duì)交通特性和交通流理論的研究提出了急切需求。此階段是交通流理論

最為輝煌的時(shí)期，經(jīng)典交通流理論和模型幾乎全部出自這一時(shí)期。交通流理論中的經(jīng)典方法、

理論和模型相繼涌現(xiàn)，如車輛跟馳(Car-following)模型、不流波動(dòng)(KinematicWave)理

論和排隊(duì)論(QueuingTheory)(>

這一時(shí)期群星閃耕?，許多在自然科學(xué)其他領(lǐng)域中的大師級(jí)人物(如數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、

力學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家)都投入到交通流理論的研究中，其中不乏諾貝爾獎(jiǎng)金的獲得者，如1977

年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)獲得者伊利亞?普列高津(IlyaPrigoginc).著名人物有赫斐(Herman).

魯切爾(Reuschel).沃德盧普(Wardrop),派普斯(Pipes),萊特希爾(Lighthill),患

特漢(Whitham),紐維爾(Newell)、蓋熱斯(Gazis)、韋伯斯特(Webster)、伊迪(Edie)、

福特(Foote)和錢德勒(Chandler)。

距今六十多年過去了，前輩當(dāng)初是如何創(chuàng)建交通流理論已經(jīng)變得有些模糊，交通流理論

的先驅(qū)之一Newell為此特意報(bào)了一篇立文^'MemoirsonHighwayTrafficFlowTheoryinthe

1950s》，刊登在運(yùn)籌學(xué)的頂級(jí)刊物WpcralionsResearch^2002年第I期h(交通流理論的

許多早期成果都發(fā)表于這本刊物)，回顧大師們是如何投身到這一嶄新的領(lǐng)域中來，沿用至

今的方法和模型當(dāng)初是如何建立的。以下我們摘錄一部分。

1952年，Wardrop在其論文中提出了''用戶最優(yōu)"與'?系統(tǒng)最優(yōu)”，也就是我們在交通系統(tǒng)

規(guī)劃四階段法之交通分配中廣為應(yīng)用Wardrop第一平衡原理和第二平衡原理，1954年，美

國Brown大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的著名教授WilliamPrager,做了公路交通“流體理論”的講演，他所

描述的理論實(shí)質(zhì)上是后來LighthiH和Whitham(1955)發(fā)表的著名論文中的內(nèi)容。1954年，

Edie在《OpcralionsResearch》上發(fā)表了公路收費(fèi)站延誤的論文。1955年，Newell一篇關(guān)于

低密度交通的論文發(fā)表在＜OperationsResearchX。1955年，Lighthill(一位流體力學(xué)、空

氣動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域的世界權(quán)威)和Whitham將交通流比擬為流體，提出了流體力學(xué)模擬理論

(或稱車流波動(dòng)理論)，而在1956年Richards提出了類似的激波理論。1955年，Daniel

Gerlough發(fā)表了一篇用Poisson分布描述交通的論文，倡議公路研究委員會(huì)(Highway

ResearchBoard(HRB),即后來的TRB)成立交通流理論學(xué)會(huì)。1958年，Chandler,Herman

和Montroll共同發(fā)表(關(guān)于車輛跟馳模型的論文，Kometani和Sasaki同年在日木的運(yùn)籌學(xué)

雜志提出了類似理論。1958年，英國道路研究實(shí)驗(yàn)空(RRL)(即現(xiàn)在運(yùn)輸與道路研究實(shí)

險(xiǎn)室(TRRL))的Webster借助于數(shù)值模擬和曲線擬合得到了固定周期交通信號(hào)燈的延遲

時(shí)間公式。而經(jīng)濟(jì)學(xué)家Beckmann等人則研究交通經(jīng)濟(jì)，推廣了Wardrop的研究，并更注重

收費(fèi)政策，并在1955年由耶魯大學(xué)結(jié)果出版。

交通流理論的學(xué)術(shù)交流活動(dòng)也日益頻繁。許多交通流理論的早期論文都在?Operations

Research》發(fā)表,OperationsResearch1關(guān)于交通問題的特刊在1964年出版，而由美國運(yùn)

籌學(xué)會(huì)主辦、RobertHerman任主編的高水平交通研究雜志STransporialionScience》也在1966

年創(chuàng)刊。在RobertHerman的倡導(dǎo)和積極組織下，第一屆交通流理論國際會(huì)議(Firsi

InternationalSymposiumontheTheoryofTrafficFlow)]-1959年12月在通用汽車研究實(shí)驗(yàn)

室召開。以后發(fā)展為運(yùn)輸和交通理論國際會(huì)議(IniernalionalSymposiumonTransportalionand

TrafficTheory,簡稱ISE),這是代表交通流理論研究最高水平的學(xué)術(shù)會(huì)議，最近一次的

19屆ISTTT會(huì)議將「2011年7月在關(guān)國伯克利召開。其他交通領(lǐng)域的學(xué)術(shù)會(huì)議相繼召開，

例如每年一次的美國交通委員年會(huì)(TransponaiionResearchBoard(TRB)AnnualMeeting)

也是很有影響力的大型會(huì)議，最近一次的第89屆年會(huì)于2010年1月在美國首都華盛頓召開。

三、交通流理論的成熟期

成熟期從1959年開始至今，隨著汽車的普及，各國大中城市陸續(xù)出現(xiàn)愈來愈嚴(yán)重的交

通問題，需要交通流理論提供技術(shù)和方法上的指導(dǎo)，這個(gè)期間交通流理論發(fā)展成熟并應(yīng)用到

實(shí)際中，交通流理論已經(jīng)是設(shè)計(jì)、運(yùn)營和研發(fā)先進(jìn)交通系統(tǒng)所需理論、技術(shù)和流程的基礎(chǔ)。

經(jīng)曲交通流理論W萼包括概率統(tǒng)十模型、踉馳模型、排隊(duì)論模型和車沛波動(dòng)理論等,以

概率統(tǒng)計(jì)、微枳分模擬交通流，模型的假設(shè)條件比較嚴(yán)，物理意義明確，建模過程嚴(yán)謹(jǐn)。但

正如Newell在其同顧論文中所講的那樣，交通流理論發(fā)展在20世紀(jì)60年代達(dá)到高峰，而

在70年代以后則跌入了低谷。這是因?yàn)椋瑢?duì)交通流理論做出杰出貢獻(xiàn)的有數(shù)學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)

家、物理學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家等，他們在各自領(lǐng)域內(nèi)都已經(jīng)是世界知名的權(quán)威學(xué)者了，在發(fā)現(xiàn)交

通問題的復(fù)雜、新穎和挑戰(zhàn)后，試圖將自己嫻熟的那些專業(yè)方法應(yīng)用到交通問題上。那些方

法可以應(yīng)用到一些特殊的情形，但卻不像一般交通問題的解。在方法用完以后，那些人乂回

到了以前的研究領(lǐng)域，很少人繼續(xù)在交通流理論領(lǐng)域深入下去，也沒有試圖去開發(fā)解決交通

本身獨(dú)特問題所需的新方法。Newell襯隨機(jī)過程、常規(guī)排隊(duì)論、控制論、經(jīng)濟(jì)理論等常見

手段提出了彳j保留的看法，認(rèn)為交通流理論的大發(fā)展需要新的思想和技巧。

時(shí)至今日，借助于先進(jìn)的計(jì)算機(jī)技術(shù)，對(duì)交通流更雜性的解析愈來愈深入，例如近年應(yīng)

用較多的元胞自動(dòng)機(jī)(Cdlularautomala,簡稱CA)建模。元胞自動(dòng)機(jī)應(yīng)用于交通建模在20

世紀(jì)50年代就提出了，但直到近十多年才被大量運(yùn)用。元胞自動(dòng)機(jī)采用離散的時(shí)空和狀態(tài)

變量，設(shè)定車輛運(yùn)動(dòng)的演化規(guī)則，通過大量的樣本平均來揭示交通運(yùn)行規(guī)律，避免了離散一

連續(xù)一卷散的近似過程，抓住交通元素的離散特性。元胞自動(dòng)機(jī)模型一方面保留了交通這一

復(fù)雜系統(tǒng)的非線性行為和其他物理特征，同時(shí)也更易于計(jì)算機(jī)操作，并能靈活地修改其規(guī)則

以考慮各種真實(shí)交通條件。

四、杰出人物簡介

為交通流理論發(fā)展做出杰出貢獻(xiàn)的人物很多，我們下面僅介紹RobertHerman（羅伯特?

赫曼）和DenosC.Gazis（德諾斯?盜熱斯）

1.RobertHerman（羅伯特?赫曼）

RobertHerman（1914—1997）,美國紐約人。在紐約城市大學(xué)獲得物理學(xué)學(xué)上學(xué)位，

在普林斯頓大學(xué)獲得物理學(xué)碩士和博士學(xué)位。其后，他在約翰霍普金斯大學(xué)他應(yīng)用物理實(shí)險(xiǎn)

室工作，離開后到馬里蘭大學(xué)任物理訪問教授。1956年他加入通用汽車公司研究實(shí)險(xiǎn)室，

并先后擔(dān)任了科學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)研究組的副主席、理論物理部主管、交通科學(xué)部主管，直至1979

年。1979年他成為得克薩斯大學(xué)統(tǒng)計(jì)力學(xué)研究中心的物理教授和土木工程系的L.P.Gilvin

教授。

交通學(xué)科界普遍認(rèn)為RobertHerman是交通科學(xué)的鼻祖。他對(duì)交通科學(xué)生貢獻(xiàn)貫穿于這

門新興學(xué)科發(fā)展的頭40年。利用自身的物理學(xué)背景，他首次描述了微觀交通行為。在20

世紀(jì)50年代木和60年代初，他與ElliottMontroll及其他學(xué)者合作提出了交通流跟她理論。

隨后他又與IlyaPrigogine合作提出了多車道交通流的車流波動(dòng)理論。20世紀(jì)70到80年代，

他主要潛心于與IlyaPrigogine合作建立的城市交通流二維流體力學(xué)模型。進(jìn)入90年代后，

他主要把精力放在城市基礎(chǔ)設(shè)施和豆雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)演進(jìn)這兩個(gè)問題。

RobertHerman由于和RalphAlpher和GeorgeGamow共同提出了宇宙的演化模型即

??手擊人爆炸”理愴而聞名世界。這一理論預(yù)測了小市微波背景輻射的存在，多年以后得到證

實(shí)。RobertHennan發(fā)表了大量有影響力的學(xué)術(shù)成果，是車流波動(dòng)理論的合作者，擔(dān)任

^TransportationScience^的創(chuàng)始主編。1959年他發(fā)起的ISTTT會(huì)議，如今已是交通領(lǐng)域最

高級(jí)別的學(xué)術(shù)會(huì)議。1978年由于他對(duì)汽車交通科學(xué)的杰出貢獻(xiàn)被選為美國工程院院士，1979

年他被推選為美國藝術(shù)和科學(xué)學(xué)院的賈學(xué)和物理科學(xué)院士，一生獲得許多大獎(jiǎng)。

2.DenosC.Gazis（德諾斯蓋熱斯）

DenosC.Gazis（1930-2004）是交通學(xué)科發(fā)展的主要先期之一，1957年從美國哥倫比亞

大學(xué)獲得工程科學(xué)博士學(xué)位，在通用汽車的研究實(shí)驗(yàn)室工作至1961年，然后加入到IBM的

研究實(shí)驗(yàn)室。

DenosC.Gazis提出了交通科學(xué)的實(shí)驗(yàn)性本質(zhì)，主要用意在于避免科研工作者在研究交

通問題時(shí)“先有答案、再找問題”，而是應(yīng)該通過實(shí)驗(yàn)找出規(guī)律，再用最適合指述該規(guī)律的模

型去描述它，從而避免用想象中的模型去套用實(shí)驗(yàn)結(jié)果。早期DenosC.Gazis在通用汽車由

RobertHerman領(lǐng)導(dǎo)的團(tuán)隊(duì)中從事交通流模型的研究，期間他與Roihcry及其他同事一道為

交通流模型的實(shí)驗(yàn)和理論作出了巨大的貢獻(xiàn)。他的主要貢獻(xiàn)在:建立了單個(gè)車輛的微觀模型

和宏觀交通流模型之間的聯(lián)系，并且刻畫了不同跟車模型的稔定性。1959年由于這一貢獻(xiàn),

他獲得了運(yùn)籌學(xué)Unchester大獎(jiǎng)。

DenosC.Gazis普遍被認(rèn)為是“智筐交通之父”，他首先提出在交通系統(tǒng)中使用計(jì)算機(jī)、

傳感器以及各種先進(jìn)的通信技術(shù)。早在20世紀(jì)60年代，他就預(yù)見到計(jì)算機(jī)、傳感器和通信

技術(shù)在交通系統(tǒng)運(yùn)營中的角色，離開通用汽車后，他加入到【BM的研究實(shí)驗(yàn)室，從事將訶

算機(jī)輔助的實(shí)時(shí)技術(shù)應(yīng)用到交通科學(xué)飄域。

DenosC.Gazis是（TransportationScience^的創(chuàng)始人之一,在1983年至1986年間,出

色地?fù)?dān)任了該雜志的主編。他一?生中撰寫并出版了大量學(xué)術(shù)著作，其中最為著名的就是

仃rafficTheory》一書，包含交通流理論、孤立交叉口延遲問題、交通控制以及交通分配這

四部分內(nèi)容。

第二節(jié)概率統(tǒng)計(jì)模型

概率統(tǒng)計(jì)模型是交通流理論中經(jīng)常應(yīng)用的模型，為描述和解決交通中的隨機(jī)性問題提供

了有效手段。例如.用離散型分布描述車輛到達(dá)的分布，用連續(xù)分布描述車頭時(shí)距的分布。

本節(jié)將介紹常用的離散型分布和連續(xù)型分布。

一、離散型分布

rr些隨機(jī)變成，它的全部可能取到的值是有?限個(gè)或可列的無限多個(gè)，如某路段?月內(nèi)發(fā)

生的交通并件數(shù)，某機(jī)場入口?小時(shí)內(nèi)到達(dá)的乘客數(shù)，某交叉口引道直行車輛在信號(hào)周期內(nèi)

的到達(dá)數(shù)等，這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。要掌握離散型隨機(jī)變量x的統(tǒng)汁規(guī)律，

就必須且只需知道x的所有可能取值以及相應(yīng)的概率。設(shè)離散型隨機(jī)變量x所有可能取值

為以a=1,2,…），x取各個(gè)可能值的概率，即事件（x=_u）的概率，為

P(X=xk)=pk,A:=1,2,...(4-1)

按概率的定義，如滿足下面的條件

>0,k=\,2,...且￡p*=l(4-2)

k=\

稱式(4-2)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，簡稱離散型分布。

若級(jí)數(shù)凡絕對(duì)收斂，則稱其為離散型隨機(jī)變抗X的數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱為期

hl

望，又叫做均值，記為

￡(X)=^A；pt(4-3)

若E([X-E(X)/)存在，稱其為X的方差，隨機(jī)變量方差表示X的取值與其數(shù)學(xué)期望

的偏離程度，記為％4X),即

%r(X)=E([X-E(X)/)(4-4)

計(jì)算方差時(shí)常用下面的式子

Var(X)=EiX2)-[E(X)]2(4-5)

對(duì)于離散型隨機(jī)變量

V4/r(X)=XlX-E(X)]2^(4-6)

*=|

離散型分布常用于描述一定時(shí)間向隔內(nèi)事件的發(fā)生數(shù)。交通系統(tǒng)規(guī)劃與控制中常用的離

散型分布主要有泊松分布、二項(xiàng)分布和負(fù)二項(xiàng)分布三種。

(-)泊松分布

泊松(Poisson)分布是最常用的離散型分布，其分布函數(shù)如下

P(X=x)="""(x=0.1,2,...)

(4-7)

x!

式中：P(X=x)——在計(jì)數(shù)時(shí)間間隔7內(nèi)，事件X發(fā)生x次概率:

Z——單位時(shí)間內(nèi)事件的平均發(fā)生次數(shù)；

T一計(jì)數(shù)時(shí)間間隔。

令"=表示計(jì)數(shù)時(shí)間間隔7內(nèi)事件的平均發(fā)生次數(shù)，則(4-51)式為

me

P(X=x)=----------(.r=0.1,2,...)(4-8)

.d

并有遞推式成立

p(X=O)=e~m,x=0(4-9)

P(X=x)=—P(X=x-l).x>l(4-10)

x

假定事件為了內(nèi)到達(dá)的車輛數(shù)。時(shí)間7內(nèi)到達(dá)車輛數(shù)小于工的概率

=(4-11)

仁，！

時(shí)間7?內(nèi)到達(dá)車輛數(shù)小于或等于1的概率

P(XV.r)=次%】(4-12)

根據(jù)式(4-56),時(shí)間7?內(nèi)到達(dá)車柄數(shù)大于x的概率

P(X>^)=1-P(X<x)=I(4-13)

時(shí)間7?內(nèi)到達(dá)車輛數(shù)大廣或等丁r的概率

■t-lfa~m

P(X>x)=l-P(X<x)=l-y-iin^—(4-14)

時(shí)間7內(nèi)到達(dá)車輛數(shù)大于等于r且小于等于)，的概率

如64),)*笞^(4-15)

泊松分布具有非常好的性質(zhì)，它的數(shù)學(xué)期望和方差都等于，“°用泊松分布擬合觀測數(shù)據(jù)

時(shí)，均值￡(X)和方差S0O分別由樣本均值而和樣本方差(估計(jì)。

方=丹一=上七一(4-16)

匚N

人七>，-獷=志況L”(4-17)

式中：n一觀測數(shù)據(jù)分組數(shù)；

fi—時(shí)間r內(nèi)，事件X發(fā)生X,次的頻率;

N一觀測數(shù)據(jù)的總數(shù)。

由于樣本均值而和樣本方差(是無偏估計(jì)，所以當(dāng)二顯著不等于1,貝!說明不適合用

m

泊松分布擬合。在道路交通中，泊松分布適合擬合車流密度不大、其他外界干擾因素基本不

存在的情形。

【例44】

已知某公路的一個(gè)方向的車流量為1080輛小.車輛到達(dá)符合泊松分布。求在I秒、2

秒、3秒時(shí)間內(nèi)有車的概,率。

【解】

Inon*1

在1秒平均到達(dá)的車柄數(shù)m==0.3柄

3600

P(X>0)=1-P(X=0)=l-e-°3=1-0.74=0.26

IAQAxo

在2秒平均到達(dá)的車輛數(shù)/?=-------=0.6輛

3600

P(X>0)=1-P(X=0)=\-e-0A=1-0.55=0.45

在3秒平均到達(dá)的車輛數(shù)1080x3=0.9輛

3600

P(X>0)=1-P(X=0)=1一<r09=|-o.41=0.59

(二)二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布的分布函數(shù)為

P(X=A)=C：p，("p)E(x=0,1,2,…)(4-18)

式中：p,n—二項(xiàng)分布的參數(shù)，”為正整數(shù)：

C：=---，

兄(〃-刈

有遞推式成立

P(X=O)=C>°(l-pr=(l-p)n,A-=0(4-19)

nx+1

P(x=A)=~Pp(x=A--1),,r>l(4-20)

x1-p

根據(jù)二項(xiàng)分布，到達(dá)車輛數(shù)小于/的概率

P(X<x)=￡c：”(l-p產(chǎn)(4-21)

/=0

到達(dá)車輛數(shù)大于K的概率

P(X>])=1一￡C：p'(l-P尸(4-22)

r-0

當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí)，其均值和方差分別為

E(X)=np(4-23)

Vai-(X)=np[\-p)(4-24)

由樣本均值而和樣本方差.一估計(jì)參數(shù)如下

方=欠;立(4-25)

m

——2

.===「，(取整數(shù))(4-26)

P(切一5一)

2

由于樣本均值而和樣本方差是無偏估計(jì)，所以應(yīng)有二VI,據(jù)此可初步判斷能否應(yīng)

m

用二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布比較適合擬合擁擠的交通流。

【例4-2】

某十字交叉口，觀測一個(gè)周期內(nèi)其南進(jìn)口的右轉(zhuǎn)彎車輛到達(dá)坡，發(fā)現(xiàn)來車限從二項(xiàng)分布，

每個(gè)信號(hào)周期內(nèi)南進(jìn)口到達(dá)30輛車，其中左轉(zhuǎn)、立行和右轉(zhuǎn)的比例為20%、60%、20%。

試計(jì)算到達(dá)10輛車中有I輛和2輛右轉(zhuǎn)車的概率。

【解】

由于右.傳彎車輛到達(dá)服從二項(xiàng)分布

P(X=x)=C*0.2x(l-0.2),o_x=。溫)2。8吁，

到達(dá)10輛車中有I輛右轉(zhuǎn)車的概率為

P(X=1)=C。2。8'>=10x0.2x().8'=0.2684

到達(dá)10輛車中有2輛右轉(zhuǎn)車的框率為

p(X=2)=CS>0.220.83=祟x0.22x0.8s=x0.22x0.8*=0.302

(三)負(fù)二項(xiàng)分布

負(fù)二項(xiàng)分布的分布函數(shù)為

X=x)=C］；；.)pl(\-pY(x=0,1,2,…)(4-27)

式中：/)」一負(fù)二項(xiàng)分布的參數(shù)，0<〃<l，/為正整數(shù).

有遞推式成立

P(X=0)=p1,x=0(4-28)

p(X=p)P(X=x-l),，它1(4-29)

X

到達(dá)車輛數(shù)小于X的概率

P(X<X)=￡C,D(1—〃)’(4-30)

r=l

到達(dá)車輛數(shù)大于X的概率

P(X>X)=1工c；；；,,//(l-p)r(4.31)

J-I

當(dāng)X股從負(fù)二項(xiàng)分布時(shí)，其均值和方差分別為

E(X)='Q_P)(4-32)

P

Var(X)=---5-(4-33)

P

由樣本均值而和樣本方差$'估計(jì)參數(shù)如下

.m

p=7(4-34)

，m2

l=—P—(取整數(shù))(4-35)

(s--而)

因?yàn)椤?"x)=_L〉］,所以應(yīng)有二>1,據(jù)此可初步判斷能否應(yīng)用負(fù)二項(xiàng)分布。負(fù)二

E(X)pm

項(xiàng)分布適合擬合交通數(shù)據(jù)方并較大，觀測過程包括交通高峰期和交通非高峰期的情形。

二、連續(xù)型分布

如果時(shí)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)尸(x),存在非負(fù)函數(shù)/(x),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x

有

F(x)=\j(t)dt

(4-36)

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f(x)禰為X的概率密度內(nèi)數(shù)。例如車頭時(shí)期觀測值

就是連續(xù)型隨機(jī)變;亂交通系統(tǒng)規(guī)劃與控制中常用的連續(xù)型分布有負(fù)指數(shù)分布、移位負(fù)指數(shù)

分布、威布爾分布、愛爾朗分布、正態(tài)分布、均勻分布等.

(-)負(fù)指數(shù)分布

負(fù)指數(shù)分布概率密度函數(shù)為

/(/)=屹"(4-37)

分布函數(shù)為

廣⑷=1一(4-38)

式中：義為參數(shù)。

用負(fù)指數(shù)分布描述車頭時(shí)距時(shí)，車頭時(shí)距人的概率為

P(/?<r)=l-e(4-39)

P(h>t)=e~^(4-40)

式中：2為車輛的平均到達(dá)率(輛/秒)，如果已知流量。(輛/秒)，那么義=磊。

當(dāng)車輛到達(dá)(屬離散型分仰)服從帕愴分布時(shí)，車頭時(shí)距(屬連續(xù)型分你)服從負(fù)指數(shù)

分布，反之亦然。下面說明如何從車輛到達(dá)服從泊松分布導(dǎo)出車頭時(shí)距服從依指數(shù)分布。

設(shè)對(duì)任意的時(shí)間間隔人年輛到達(dá)服從泊松分布，由式(4-9)沒有車輛到達(dá)的概率為

尸(0)=《一”

這就是說，在時(shí)間間隔/內(nèi)，前一輛車到達(dá)和后i輛車到達(dá)之間的車輛頭時(shí)距大于h

換而言之，P(0)也就是尸(萬>r),于是

P(h>t)=P(0)=

(二)移位負(fù)指數(shù)分布

負(fù)指數(shù)分布會(huì)造成數(shù)據(jù)出現(xiàn)在O-LOs的概率較大，在一些場合與實(shí)際不符。如擬合軍.

頭時(shí)距分布時(shí)，其概率密度函數(shù)隨車頭時(shí)距單調(diào)下降的，表明車頭時(shí)距越短，其出現(xiàn)概率越

大,但這與實(shí)際不符，因?yàn)檐囶^間距地少為一個(gè)車身長，車頭時(shí)距將大于一個(gè)最小的正數(shù)r。

為了克服這一缺陷，引入一個(gè)移位值r，稱為移位負(fù)指數(shù)分布，這時(shí)分布函數(shù)為

?⑺=13"-"(/>F)(4-41)

移位負(fù)指數(shù)分布概率密度函數(shù)為

"之r)(4-42)

當(dāng)移位負(fù)指數(shù)分布川于描述車頭時(shí)距時(shí)，就可以確保車頭時(shí)距不小于一個(gè)給定值r,而

不至于造成出現(xiàn)在Q-I.Os的概率較大。車頭時(shí)距h的概率為

P(h<t)=\-e-Ai,-Tyt>r(4-43)

P(h>l)=t>r(4-44)

移位魚指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

E(X)=-+r(4-45)

A

(4-46)

用樣本均值冊和樣本方差.I計(jì)算得到兩個(gè)參數(shù)的值為

(4-47)

T=m-s(4-48)

(三)威布爾分布

威布爾(Weibull)分布概率密度函數(shù)為

々)=，(俗)’

(4-49)

P-YVP-Y)

式中：a.0,y——分別為形狀參數(shù)、尺度參數(shù)和起點(diǎn)參數(shù)，均取正數(shù)，且萬＞了。

當(dāng)a=l時(shí)，威布爾分布就是移位負(fù)指數(shù)分布，當(dāng)a=2或3時(shí)，威布爾分布與正態(tài)分

布很接近。

分布函數(shù)

<oo(4-50)

用其擬合車頭時(shí)距時(shí)，概率

3

/</<00(4-51)

y4v8(4-52)

威布爾分布的適用范圍較廣，交道流中的車頭時(shí)距分布、速度分布等都可以用它描述，

其擬合步驟不豆雜，分布函數(shù)也較簡小，經(jīng)常用于解決負(fù)指數(shù)分布或移位負(fù)撲數(shù)分布不能解

決的擬合。

(四)愛爾朗分布

愛爾朗(Erlang)分布概率密度函數(shù)為

/(0=/=1,2,3,…(4-53)

(/一1)!

分布函數(shù)為

=(4-54)

仁八

式中:為參數(shù)。

當(dāng)/=1時(shí)，愛爾朗分布就是負(fù)指數(shù)分布；當(dāng)/=8時(shí)，愛爾朗分布是均名分布。在擬合

車頭時(shí)距時(shí)，參數(shù)/反映了暢行車流至擁擠車流的各種車流情形，/意大，車流密度愈大，

駕駛的自由度愈小。

參數(shù)，可以由樣本均值而和樣本方差$2計(jì)算:

(4-55)

三、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

對(duì)于觀測的交通數(shù)據(jù)，如何判斷其是否服從某種理論分布，分布參數(shù)是多少，這就是擬

合優(yōu)度檢驗(yàn)。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是非參數(shù)檢胎的?種，其中常用的是N?檢驗(yàn)。原假設(shè)為為車

輛到達(dá)服從某種分布,構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

⑷56）

式中：/表示樣本在i組的觀測頻數(shù)，Q表示在i組的理論頻數(shù)。比較計(jì)算值和臨界

值如果力；則認(rèn)為車輛到達(dá)服從該分布，否則拒絕原假設(shè)。

/檢驗(yàn)需滿足卜.列要求：

①對(duì)觀測數(shù)據(jù)人工分組，分組應(yīng)連續(xù)且分組數(shù)不小于5：

②各組的理論頻數(shù)Q不小于5,否則應(yīng)合并相鄰組：

③人工確定分布的參數(shù)，并計(jì)算理論頻數(shù)：

④樣本量應(yīng)足夠大。

但對(duì)「大量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)而言，/2檢臆需要預(yù)先計(jì)算出理論分布期望值，上述工作將很

繁瑣。

第三節(jié)排隊(duì)論

車輛經(jīng)過站場、交叉口等節(jié)點(diǎn)，列車在車站等待進(jìn)站或出站，在繁忙忖段飛機(jī)等待起飛

和降落，船舶等待碼頭泊位停拳，行人在地鐵車站檢票閘機(jī)處等待進(jìn)出，我M都可以觀察到

交通運(yùn)輸系統(tǒng)中的排隊(duì)現(xiàn)象。不僅在交通系統(tǒng)中如此，排隊(duì)在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中廣泛存

在，如在銀行、餐廳、商場中的排隊(duì)，呼叫中心對(duì)來電的排隊(duì)等。概括地講，排隊(duì)是因?yàn)槭?/p>

到節(jié)點(diǎn)通行能力（處理能力）的限制，交通實(shí)體不能以暢行速度通過，從而在節(jié)點(diǎn)上游形成

隊(duì)列，等待通過（處理）。科學(xué)地分析和處理排隊(duì)，能夠增大系統(tǒng)的通行能力，降低交通擁

堵，提高交通效率。

排隊(duì)論（QueuingTheory），也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是數(shù)學(xué)運(yùn)籌學(xué)的分支學(xué)科，是研

究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的學(xué)科。通過對(duì)服務(wù)對(duì)象到來及服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出

某些數(shù)量指標(biāo)（等待時(shí)間、排隊(duì)長度、忙期長短等）的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)

服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對(duì)象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對(duì)象的需要，又能使費(fèi)

用最節(jié)省或某些指標(biāo)最優(yōu)。排隊(duì)論廣泛應(yīng)用于“?算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、生產(chǎn)、運(yùn)輸、庫存等各項(xiàng)資源共

享的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。排隊(duì)論研究的內(nèi)容有三個(gè)方面：統(tǒng)計(jì)推斷，即根據(jù)資料建立模型：系統(tǒng)

的性態(tài)，即和排隊(duì)有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性：系統(tǒng)的優(yōu)化問題。其目的是正確設(shè)計(jì)和有

效運(yùn)行各個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益。

排隊(duì)論源起于20世紀(jì)初的電話通話服務(wù)理論的研究。1909—1920年丹麥數(shù)學(xué)家、電氣

工程師愛爾朗（Erlang）用概率論方法研究電話通話問題，從而開創(chuàng)了這門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，

并為這門學(xué)科建立許多基本原則。他在熱力學(xué)統(tǒng)H平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)

計(jì)平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的埃爾朗電話損失率公式。在笫

二次世界大戰(zhàn)期間和第二次世界大戰(zhàn)以后，排隊(duì)論在運(yùn)籌學(xué)這個(gè)新領(lǐng)域中變成了重要的內(nèi)

容。20世紀(jì)50年代初,大衛(wèi)?坎達(dá)（DavidG.Kendall）對(duì)排隊(duì)論作了系統(tǒng)的研究，他用嵌入

馬爾柯夫（A.A.Markov）鏈方法研究排隊(duì)論，使排隊(duì)論得到了進(jìn)一步的發(fā)展。1953年他首

先提出3個(gè)字母組成的符號(hào)A/8/C表示排隊(duì)系統(tǒng)。其中人表示顧客到達(dá)時(shí)間分布，B表示服

務(wù)時(shí)間的分布，C表示服務(wù)機(jī)構(gòu)中的殿務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)。

一、基本概念

1.“排隊(duì)”與“排隊(duì)系統(tǒng)”

“排隊(duì)”指等待服務(wù)的客戶（如車輛、行人），不包括正在被服務(wù)的客戶。

“排隊(duì)系統(tǒng)''既包括等待服務(wù)的客戶，又包括正在被服務(wù)的客戶。

2.排隊(duì)系統(tǒng)構(gòu)成

排隊(duì)系統(tǒng)由三部分組成：輸入過程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)方式。

（1）輸入過程

輸入過程是指服務(wù)客戶的到達(dá)規(guī)律，常用有：

定長輸入一客戶等時(shí)距到達(dá)，服從均勻分布；

泊松輸入一客戶到達(dá)服從泊松分布或到達(dá)時(shí)距服從負(fù)指數(shù)分布，這種輸入應(yīng)用最廣泛；

愛爾朗輸入一客戶到達(dá)時(shí)距服從愛爾朗分布。

(2)排隊(duì)規(guī)則

排隊(duì)規(guī)則指到達(dá)客戶接受服務(wù)的規(guī)則，常用有：

損失制一客戶到達(dá)時(shí)，若所有的服務(wù)臺(tái)均被占用，客戶就隨即離開，不再返回：

等待制一客戶到達(dá)時(shí)，若所有的服務(wù)臺(tái)均被占用，就排隊(duì)等候服務(wù)，服務(wù)規(guī)則有先到先

服務(wù)(即按到達(dá)先后次序服務(wù))和優(yōu)先服務(wù)(如急救車、消防車》等：

混合制一客戶到達(dá)時(shí)，若隊(duì)長小于心就排隊(duì)等候：若隊(duì)長大于心客戶就隨即離開，

不再返回。

(3)服務(wù)方式

指同一時(shí)刻有多少服務(wù)臺(tái)接待客戶，為每一客戶服務(wù)多長時(shí)間。服務(wù)時(shí)間的分布主要有:

定長分布服務(wù)一每一客戶的服務(wù)時(shí)間相等：

負(fù)指數(shù)分布服務(wù)一各客戶的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同的負(fù)指數(shù)分布：

愛爾朗分布服務(wù)一各客戶的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同的愛爾朗分布。

為表述方便，引入記號(hào)：M表示沱松輸入或負(fù)指數(shù)分布服務(wù)，。表示定長輸入或定長分

布服務(wù)，以為愛爾朗輸入或愛爾朗分布服務(wù)。泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、N個(gè)服務(wù)臺(tái)的系

統(tǒng)就可記為M/M/N.如不特加說明，排隊(duì)規(guī)則都指先到先服務(wù)和單個(gè)客戶服務(wù)的等待制系

統(tǒng)。

3.排隊(duì)系統(tǒng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)

(1)排隊(duì)長度：可分為系統(tǒng)內(nèi)的客戶數(shù)和排隊(duì)等待服務(wù)客戶數(shù)：

(2)等待時(shí)間：從客戶到達(dá)直至開始接受服務(wù)的時(shí)間：

(3)忙期：服務(wù)臺(tái)連續(xù)繁忙的時(shí)間。

二、M/M/1系統(tǒng)

M/M/1系統(tǒng)是指泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、1個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)，由于服務(wù)的通道

僅有一條，也稱為“單通道服務(wù)系統(tǒng)“(圖4-9)。

排隊(duì)服務(wù)

*OOOOOO

圖49單通道服務(wù)系統(tǒng)

設(shè)客戶的平均到達(dá)率為九兩次到達(dá)之間的平均時(shí)間間隔就是1/九設(shè)服務(wù)率為"，平均

服務(wù)時(shí)間就是I勿.〃稱為交通強(qiáng)度或利用系數(shù)。若0之1，表示到咫率大于或等于

服務(wù)率，排隊(duì)會(huì)愈來愈長，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)：若夕＜1，表示到達(dá)率小于服務(wù)率，系統(tǒng)

才處于穩(wěn)定狀態(tài)。因此，單通道排隊(duì)系統(tǒng)保持穩(wěn)定即排隊(duì)能夠消散的條件就是夕＜1

(%＜〃)。M/M/1系統(tǒng)的計(jì)算公式如下：

系統(tǒng)中沒有客戶的概率

P(())=l-P(4-57)

系統(tǒng)中有〃個(gè)客戶的概率

(4-58)

系統(tǒng)中的平均客戶數(shù)

萬=q

(4-59)

1一夕

平均排隊(duì)長度

P'__

q=———=p?n=n-p(4-60)

1一夕

排隊(duì)系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間

-71n

d=-------=-(4-61)

〃一2A

排隊(duì)中的平均等待時(shí)間

_A二1

w=------------=a------(4-62)

〃(〃一?〃

【例4-3】

某居住小區(qū)只有1個(gè)出口，采用人工收費(fèi)，假定車輛到達(dá)服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間可用

負(fù)指數(shù)分布表示。到達(dá)率為180輛/小時(shí)，妝費(fèi)平均需時(shí)12秒。試計(jì)算系統(tǒng)中沒有車柄的概

率、系統(tǒng)中有〃輛車的概率、系統(tǒng)中於平均車輛數(shù)、平均排隊(duì)長度、平均消耗時(shí)間、排隊(duì)中

的平均等待時(shí)間。

【解】

3600

由題意可知，這是M/M/I系統(tǒng)，到達(dá)率2=180輛/小時(shí)，服務(wù)率〃=300輛

12

/小時(shí)。

“出=。.60

JU300

所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

系統(tǒng)中沒有車輛的概率

P(0)=l-/?=l-0.6=0.4

系統(tǒng)中有〃輛車的蛻率

P5)=p"(l—0)=0.40.6"

系統(tǒng)中的平均車輛教

絲="=1.5輛

n

\-p0.4

平均排隊(duì)長度

q=pn=ii-p=\.5-0.6=0.9桶

l-p

系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間

2=—!—，=g小時(shí)=30秒

〃一兒A180

排隊(duì)中的平均等待時(shí)間

11=30-幽

=18秒

M〃一㈤3(X)

三、M/M/N系統(tǒng)

M/M/N系統(tǒng)是指泊松輸入、負(fù)指數(shù)分布服務(wù)、N個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)，由于服務(wù)的通

道有N條.乂稱為“多通道服務(wù)系統(tǒng)*M/M/N系統(tǒng)分為小路排隊(duì)多通道眼務(wù)系統(tǒng)和多路排

隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)兩類。

1.單路排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)

指排成一隊(duì)等待多條通道服務(wù)，隊(duì)列中排在首位的客戶可視哪個(gè)通道有空就到那里去接

受服務(wù),如圖4/0所示。穩(wěn)定性條件為夕/N<L

附務(wù)

圖4-10單路排隊(duì)多通道服務(wù)

2.多路排隊(duì)多通道服務(wù)系統(tǒng)

每個(gè)通道各排一隊(duì)，每個(gè)通道只為排在其中的這隊(duì)客戶服務(wù)，客戶不能調(diào)換隊(duì)列(圖

4-11),這其實(shí)相當(dāng)于N個(gè)M/M/I組成，穩(wěn)定性條件是每個(gè)通道的/<1,計(jì)算公式也由上

面M/M/1系統(tǒng)給出。

排隊(duì)服務(wù)

1

OOOOOOO—

-12

>OOOOOOO—

...................................................——N

OOOOOOo—

圖4-“多路排隊(duì)多通道服務(wù)

單路排隊(duì)多通道服務(wù)的M/M/N系統(tǒng)，計(jì)算公式如卜.：

系統(tǒng)中沒有客戶的概率

P(0)=(4-63)

系統(tǒng)中有-K個(gè)客戶的概率

戶(K)=(尸(0)

()<K<N(4-64)

P(K)=-^-—P(O)K>N(4-65)

N!Nj

排隊(duì)系統(tǒng)中的平均客戶數(shù)

P(0)，“

1(4-66)

NIN.(l-p/W)2.

平均排隊(duì)長度

P(0)/“1

(4-67)

N!N(1-p/N)2

系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間

(4-68)

排隊(duì)中的平均等待時(shí)間

(4-69)

【例4-4】

某地鐵站的進(jìn)站口擁有4臺(tái)自動(dòng)檢票機(jī)，假定乘客到達(dá)服從泊松分布，丹達(dá)率為40人/

分鐘，每人通過自動(dòng)檢票機(jī)的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均耗時(shí)3秒。試計(jì)算該迸站檢票

系統(tǒng)的服務(wù)指標(biāo)。

【解】

由題意可知，該排隊(duì)系統(tǒng)可近似楂擬為單路排隊(duì)多通道服務(wù)M/M/N系統(tǒng)，且N=4,到

達(dá)率2=40人/分鐘，服務(wù)率〃=與=20人/分鐘，/=4=2。

由于以=0.5<1,因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

N

系統(tǒng)中沒有乘客的概率

/,(0)==0.13

32A24

§￥+4!(1-2/4)

平均乘客數(shù)

2?0.13x2$1

+45x4(1-2.4尸人

平均排隊(duì)長度

,0.13x2葉1

q=---------------------------=0.2人

4!x4[(1-04)2

系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間

1=22=0.055分鐘=3.3秒

40

排隊(duì)中的平均等待時(shí)間

巾="=0.005分鐘=0.3秒

40

由上述分析可見，該地鐵站的進(jìn)辦自動(dòng)檢票機(jī)