PAGE1-第13課時等比數(shù)列的概念及通項公式學問點一等比數(shù)列的定義1．數(shù)列m，m，m，…肯定()A．是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列，但不肯定是等比數(shù)列D．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列答案C解析當m＝0時，數(shù)列是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列；當m≠0時，數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．故選C．2．若正數(shù)a，b，c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當x＞1時，logax，logbx，logcx()A．依次成等差數(shù)列B．依次成等比數(shù)列C．各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列D．各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列答案C解析eq\f(1,logax)＋eq\f(1,logcx)＝logxa＋logxc＝logx(ac)＝logxb2＝2logxb＝eq\f(2,logbx)，∴eq\f(1,logax)，eq\f(1,logbx)，eq\f(1,logcx)成等差數(shù)列．學問點二等比數(shù)列的通項公式3．一批設備價值a萬元，由于運用磨損，每年比上一年價值降低b%，則n年后這批設備的價值為()A．na(1－b%)B．a(1－nb%)C．a(1－b%)nD．a[1－(b%)n]答案C解析依題意可知第一年后的價值為a(1－b%)，其次年后的價值為a(1－b%)2，依此類推形成首項為a(1－b%)，公比為1－b%的等比數(shù)列，則可知n年后這批設備的價值為a(1－b%)n．故選C．4．在等比數(shù)列{an}中，an＞0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，則a4＋a5的值為()A．16B．27C．36D．81答案B解析由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝1，,a3＋a4＝9.))∴q2(a1＋a2)＝9，∴q2＝9．∵an＞0，∴q＝3．∴a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27．學問點三等比數(shù)列的證明5．已知數(shù)列{an}的首項a1＝t>0，an＋1＝eq\f(3an,2an＋1)，n∈N*，若t＝eq\f(3,5)，求證eq\f(1,an)－1是等比數(shù)列并求出{an}的通項公式．解由題意知an>0，eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2an＋1,3an)，eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,3an)＋eq\f(2,3)，eq\f(1,an＋1)－1＝eq\f(1,3)eq\f(1,an)－1，eq\f(1,a1)－1＝eq\f(2,3)，所以數(shù)列eq\f(1,an)－1是首項為eq\f(2,3)，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列．eq\f(1,an)－1＝eq\f(2,3)eq\f(1,3)n－1＝eq\f(2,3n)，an＝eq\f(3n,3n＋2)．學問點四等比中項及應用6．已知一等比數(shù)列的前三項依次為x，2x＋2，3x＋3，那么－13eq\f(1,2)是此數(shù)列的第________項()A．2B．4C．6D．8答案B解析由x，2x＋2，3x＋3成等比數(shù)列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又當x＝－1時，2x＋2＝0，這與等比數(shù)列的定義相沖突．∴x＝－4．∴該數(shù)列是首項為－4，公比為eq\f(3,2)的等比數(shù)列，其通項an＝－4×eq\f(3,2)n－1，由－4×eq\f(3,2)n－1＝－13eq\f(1,2)，得n＝4．7．若互不相等的實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，a是b，c的等比中項，且a＋3b＋c＝10，則a的值是()A．1B．－1C．－3D．－4答案D解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a2＝bc，,a＋3b＋c＝10，))解得a＝－4，b＝2，c＝8．8．在等比數(shù)列{an}中，若a4a5a6＝27，則a3與a7的等比中項是________．答案±3解析由等比中項的定義知aeq\o\al(2,5)＝a4a6，∴aeq\o\al(3,5)＝27．∴a5＝3，∴a1q4＝3，∴a3a7＝aeq\o\al(2,1)q8＝32，因此a3與a7的等比中項是±3．易錯點一忽視對等比中項符號的探討9．若1，x，y，z，16這五個數(shù)成等比數(shù)列，則y的值為()A．4B．－4C．±4D．2易錯分析對于本題的求解，若僅留意到y(tǒng)是1與16的等比中項，會很快得出y2＝16，進一步得出y＝±4，從而導致錯解．答案A解析由于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝1·y，,y2＝1×16))?y＝4，故選A．易錯點二忽視等比數(shù)列中公比可正可負10．已知一個等比數(shù)列的前4項之積為eq\f(1,16)，第2項與第3項的和為eq\r(2)，則這個等比數(shù)列的公比為________．易錯分析本題易錯設四個數(shù)分別為eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3公比為q2相當于規(guī)定了這個等比數(shù)列各項要么同正，要么同負而錯算出公比為3±2eq\r(2)．答案3±2eq\r(2)或－5±2eq\r(6)解析設這4個數(shù)為a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·aq·aq2·aq3＝\f(1,16)，,aq＋aq2＝\r(2)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2q3＝±\f(1,4)，,a2q＋q22＝2.))所以eq\f(a2q3,a2q＋q22)＝±eq\f(1,8)，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，解得q＝3±2eq\r(2)或q＝－5±2eq\r(6)．一、選擇題1．若等比數(shù)列{an}滿意anan＋1＝16n，則公比為()A．2B．4C．8D．16答案B解析由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4．∵a1a2＝aeq\o\al(2,1)q＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4．2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，點(an，an＋1)在直線y＝2x上，則a4的值為()A．7B．8C．9D．16答案B解析∵點(an，an＋1)在直線y＝2x上，∴an＋1＝2an．∵a1＝1≠0，∴an≠0．∴{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴a4＝1×23＝8．3．已知等比數(shù)列a1，a2，…a8各項為正，且公比q≠1，則()A．a1＋a8＝a4＋a5B．a1＋a8＜a4＋a5C．a1＋a8＞a4＋a5D．a1＋a8與a4＋a5大小關系不能確定答案C解析由題意可知，a1＞0，q＞0，a1＋a8－a4－a5＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[1－q3－q4(1－q3)]＝a1[(1－q3)(1－q4)]＞0．∴a1＋a8＞a4＋a5．故選C．4．一個數(shù)分別加上20，50，100后得到的三個數(shù)成等比數(shù)列，其公比為()A．eq\f(5,3)B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(1,2)答案A解析設這個數(shù)為x，則(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25．∴這三個數(shù)分別為45，75，125，公比q為eq\f(75,45)＝eq\f(5,3)．5．在如下表格中，每格填上一個數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則a＋b＋c的值為()A．1B．2C．3D．eq\f(9,8)答案D解析按題意要求，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列填表如圖，故a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,8)，c＝eq\f(1,4)，則a＋b＋c＝eq\f(9,8)．故選D．二、填空題6．一個直角三角形的三邊成等比數(shù)列，則較小銳角的正弦值是________．答案eq\f(\r(5)－1,2)解析設該直角三角形的三邊分別為a，aq，aq2(q＞1)，則(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝eq\f(\r(5)＋1,2)．較小銳角記為θ，則sinθ＝eq\f(1,q2)＝eq\f(\r(5)－1,2)．7．我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有人持金出五關，前關二稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一，并五關所稅，適重一斤．問本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關，第1關收稅金eq\f(1,2)，第2關收稅金eq\f(1,3)，第3關收稅金eq\f(1,4)，第4關收稅金eq\f(1,5)，第5關收稅金eq\f(1,6)，5關所收稅金之和，恰好1斤重，設這個人原本持金為x，按此規(guī)律通過第8關”，則第8關需收稅金為________．答案eq\f(1,72)x解析第1關收稅金：eq\f(1,2)x；第2關收稅金：eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))x＝eq\f(1,2×3)x；第3關收稅金：eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,6)))x＝eq\f(1,3×4)x；…，可得第8關收稅金：eq\f(1,8×9)x，即eq\f(1,72)x．8．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝1．當a3取最小值時，數(shù)列{an}的通項公式an＝________．答案2n－1解析設等比數(shù)列的公比為q(q＞0)，由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝eq\f(1,q－1)．a3＝a1q2＝eq\f(q2,q－1)＝eq\f(1,－\f(1,q2)＋\f(1,q))(q＞0)，而－eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，①當q＝2時①式有最大值eq\f(1,4)，所以當q＝2時a3有最小值4．此時a1＝eq\f(1,q－1)＝eq\f(1,2－1)＝1．所以數(shù)列{an}的通項公式an＝2n－1．故答案為2n－1．三、解答題9．等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項，試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn．解(1)設{an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n．(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32，設{bn}的公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12.))從而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，∴數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n．10．數(shù)列{an}滿意a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)．(1)求a2，a3，并證明數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；(2)求an．解(1)a2＝3a1－2×2