杭州外國語學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中常數(shù)項為（）A． B． C． D．2．設(shè)P，Q分別是圓和橢圓上的點，則P，Q兩點間的最大距離是()A． B．C． D．3．已知直線與直線垂直，則的關(guān)系為（）A． B． C． D．4．點的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．6．已知為正數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．8．下列命題錯誤的是A．若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與平行B．若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與異面C．若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與垂直D．若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與相交9．在上可導(dǎo)的函數(shù)的圖像如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B． C． D．10．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．設(shè)函數(shù)，其中，，存在使得成立，則實數(shù)的值為（）A．B．C．D．12．設(shè)，則（）A． B．10 C． D．100二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，平行軸的直線與圓交于兩點（點在點的上方），與交于點，則周長的取值范圍是____________14．某個游戲中，一個珠子按如圖所示的通道，由上至下的滑下，從最下面的六個出口出來，規(guī)定猜中者為勝，如果你在該游戲中，猜得珠子從出口3出來，那么你取勝的概率為_______．15．己知矩陣，若矩陣C滿足，則矩陣C的所有特征值之和為____.16．設(shè)，其中實數(shù)，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在矩形中，，，點是邊上一點，且，點是的中點，將沿著折起，使點運動到點處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求過點且與曲線相切的直線方程．19．（12分）選修4-5：不等式選講（1）已知，且，證明；（2）已知，且，證明.20．（12分）已知函數(shù)f(x)=axx2+1+a(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證:當(dāng)a>0時,對于任意x1,x21．（12分）極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，求弦長|AB|．22．（10分）已知復(fù)數(shù)（，為正實數(shù)，是虛數(shù)單位）是方程的一個根.（1）求此方程的另一個根及的值；（2）復(fù)數(shù)滿足，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

通過各項系數(shù)和為1，令可求出a值，于是可得答案.【詳解】根據(jù)題意，在中，令，則，而，故，所以展開式中常數(shù)項為，故答案為B.本題主要考查二項式定理，注意各項系數(shù)之和和二項式系數(shù)和之間的區(qū)別，意在考查學(xué)生的計算能力，難度不大.2、C【解析】

求出橢圓上的點與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點間的最大距離.【詳解】圓的圓心為M(0,6)，半徑為，設(shè)，則，即，∴當(dāng)時，，故的最大值為.故選C.本題考查了橢圓與圓的綜合，圓外任意一點到圓的最大距離是這個點到圓心的距離與圓的半徑之和，根據(jù)圓外點在橢圓上，即可列出橢圓上一點到圓心的距離的解析式，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得橢圓上一點到圓上一點的最大值.3、C【解析】

根據(jù)兩直線垂直，列出等量關(guān)系，化簡即可得出結(jié)果.【詳解】因為直線與直線垂直，所以，即選C根據(jù)兩直線垂直求出參數(shù)的問題，熟記直線垂直的充要條件即可，屬于?？碱}型.4、D【解析】

分別求得極徑和極角，即可將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo).【詳解】由點M的直角坐標(biāo)可得：，點M位于第二象限，且，故，則將點的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為.本題選擇D選項.本題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5、B【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運算法則化簡，由此可得到復(fù)數(shù)【詳解】由題可得；；故答案選B本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算法則，屬于基礎(chǔ)題。6、A【解析】

根據(jù)不等式的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】①當(dāng)時，滿足，但不成立，即必要性不成立，②若，則，即，即故，成立，即充分性成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件．故選：A．本題主要考查了判斷必要不充分條件，解題關(guān)鍵是掌握判斷充分條件和必要條件的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】分析：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求得z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案.詳解：，.故選：B.點睛：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.8、D【解析】分析：利用空間中線線、線面間的位置關(guān)系求解．詳解：A.若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與平行，正確；B.若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與異面，正確；C.若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與垂直，正確，可能異面垂直；D.若直線平行于平面，則平面內(nèi)存在直線與相交，錯誤，平行于平面，與平面沒有公共點.故選D.點睛：本題主要考查命題的真假判斷，涉及線面平行的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

分別討論三種情況，然后求并集得到答案.【詳解】當(dāng)時：函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)圖形知：或當(dāng)時：不成立當(dāng)時：函數(shù)單調(diào)遞減根據(jù)圖形知：綜上所述：故答案選B本題考查了根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的讀圖能力.10、B【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行整理化簡，從得到其在復(fù)平面所對應(yīng)的點，得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B.本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點所在象限，屬于簡單題.11、A【解析】試題分析：函數(shù)f（x）可以看作是動點M（x，lnx2）與動點N（A，2A）之間距離的平方，動點M在函數(shù)y=2lnx的圖象上，N在直線y=2x的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由y=2lnx得，y'==2，解得x=1，∴曲線上點M（1，0）到直線y=2x的距離最小，最小距離D=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（）≤，則f（）=，此時N恰好為垂足，由，解得考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用12、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡為的形式，然后求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得.【詳解】，，.故選B.本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查復(fù)數(shù)的平方和模的運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

過點作垂直與拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點，由拋物線的定義得，從而得出的周長為，考查直線與圓相切和過圓心，得出、、不共線時的范圍，進(jìn)而得出周長的取值范圍?！驹斀狻咳缦聢D所示：拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，過點作，垂足為點，由拋物線的定義得，圓的圓心為點，半徑長為，則的周長，當(dāng)直線與圓相切時，則點、重合，此時，；當(dāng)直線過點時，則點、、三點共線，則。由于、、不能共線，則，所以，，即，因此，的周長的取值范圍是，故答案為：。本題考查拋物線的定義，考查三角形周長的取值范圍，在處理直線與拋物線的綜合問題時，若問題中出現(xiàn)焦點，一般要將拋物線上的點到焦點的距離與該點到準(zhǔn)線的距離利用定義轉(zhuǎn)化，利用共線求最值，有時也要注意利用臨界位置得出取值范圍，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于難題。14、【解析】

從頂點到3總共有5個岔口，共有10種走法，每一岔口走法的概率都是，二項分布的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，從頂點到3的路線圖單獨畫出來，如圖所示，可得從頂點到3總共有種走法，其中每一岔口走法的概率都是，所以珠子從出口3出來的概率為.本題主要考查了二項分布的一個模型，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用二項分布的概率計算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

本題根據(jù)矩陣乘法運算解出矩陣C，再依據(jù)特征多項式求出特征值，即可得到所有特征值之和．【詳解】解：由題意，可設(shè)C＝，則有?＝．即，解得．∴C＝．∵f（λ）＝＝（λ﹣1）（λ﹣4）+2＝λ2﹣2λ+6＝（λ﹣2）（λ﹣1）＝0，∴特征值λ1＝2，λ2＝1．∴λ1+λ2＝2+1＝2．故答案為：2．本題主要考查矩陣乘法運算及依據(jù)特征多項式求出特征值，本題不難，但有一定綜合性．本題屬基礎(chǔ)題．16、【解析】分析：由題，利用二項展開式即可求得.詳解：根據(jù)題意，則即答案為.點睛：本題考查二項展開式及展開式的系數(shù)，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取的中點，連接，，由，進(jìn)而，由，得.進(jìn)而平面,進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過點作的平行線交于點，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中點，上的點，使，連接，得，，得二面角的平面角為，再求解即可【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，由已知得，所以，又點是的中點，所以.因為，點是線段的中點，所以.又因為，所以，從而平面，所以，又，不平行，所以平面.（2）（方法一）由（1）知，過點作的平行線交于點，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.同理，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得.所以二面角的余弦值為.（方法二）取的中點，上的點，使，連接，易知，.由（1）得，所以平面，所以，又，所以平面，所以二面角的平面角為.又計算得，，，所以.本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計算能力，是中檔題18、(1)；(2)或．【解析】

（１）根據(jù)題意，先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)即切線斜率，代入點斜式方程，再化為一般式方程即可。（２）設(shè)切點坐標(biāo)為，將代入得出，利用點斜式表達(dá)出直線方程，再將點代入直線方程，即可求解出，從而推得直線方程的解析式?！驹斀狻拷猓海?）由，，則曲線在點處的切線方程為．（2）設(shè)切點的坐標(biāo)為，則所求切線方程為代入點的坐標(biāo)得，解得或當(dāng)時，所求直線方程為由（1）知過點且與曲線相切的直線方程為或．故答案為或。本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程。若已知曲線過點，求曲線過點的切線方程，則需分點是切點和不是切點兩種情況求解。19、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）由展開利用基本不等式證明即可；（2）由，結(jié)合條件即可得解.【詳解】證明：（1）因為，當(dāng)時等號成立.（2）因為，又因為，所以，，，∴.當(dāng)時等號成立，即原不等式成立.本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，需要進(jìn)行配湊，具有一定的技巧性，屬于中檔題.20、（1）當(dāng)a>0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞)；當(dāng)a<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（I）首先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，對字母a進(jìn)行分類討論，根據(jù)f'(x)>0，可知f(x)函數(shù)單調(diào)遞增，f'(x)<0時f(x)函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．（Ⅱ）要證當(dāng)a＞0時，對于任意x1，x2∈（0，e]，總有g(shù)(x1)＜f(x試題解析解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)的定義域為R，f'當(dāng)a>0時，當(dāng)x變化時，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'-

0

+

0

-

f(x)

↘

↗

↘

當(dāng)a<0時，當(dāng)x變化時，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'+

0

-

0

+

f(x)

↗

↘

↗

綜上所述，當(dāng)a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)；當(dāng)a<0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).5分（2）由（1）可知，當(dāng)a>0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，f(x)>f(0)；f(x)在(1,e]上單調(diào)遞減，且f(e)=aee2+1+a>a.所以x∈(0,e]時，f(x)>a令g'(x)=0，得①當(dāng)0<a<e時，由g'(x)>0，得0<x<a；由g'所以函數(shù)g(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,e]上單調(diào)遞減.所以g(x)因a-(alna-a)=a(2-lna)>a(2-ln②當(dāng)a≥e時，g'(x)≥0在所以函數(shù)g(x)在(0,e]上單調(diào)遞增，g(x)所以對于任意x1,x綜上所