河南省鄭州市四校2025屆數學高二下期末學業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了得到的圖象，只需將函數的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位2．下列有關命題的說法正確的是A．“”是“”的充分不必要條件B．“x=2時，x2－3x+2=0”的否命題為真命題C．直線：，：，的充要條件是D．命題“若，則”的逆否命題為真命題3．已知，，的實部與虛部相等，則（）A．2 B． C．2 D．4．若離散型隨機變量的分布如下：則的方差（）010.6A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．15．已知函數是定義在上的偶函數，且，若對任意的，都有成立，則不等式的解集為（）A． B．C． D．6．盒子里共有個除了顏色外完全相同的球，其中有個紅球個白球，從盒子中任取個球，則恰好取到個紅球個白球的概率為（）．A． B． C． D．7．函數的圖象在點處的切線方程是，若，則（）A． B． C． D．8．我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積,求其直徑的一個近似公式,人們還用過一些類似的近似公式,根據判斷,下列近似公式中最精確的一個是（）A． B． C． D．9．若復數滿足，其中為虛數單位，則（）A． B． C． D．10．在鈍角中，角的對邊分別是，若，則的面積為A． B． C． D．11．是單調函數,對任意都有，則的值為（）A． B． C． D．12．已知復數(為虛數單位)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，則________．14．設復數滿足，則＝__________.15．觀察下列恒等式：，，，，請你把結論推廣到一般情形，則得到的第個等式為___________________________________.16．已知為虛數單位，則復數_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）若，求函數的單調區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求實數k的取值范圍.18．（12分）的內角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．19．（12分）已知集合，函數的定義域為，值域為.（1）若，求不同的函數的個數；（2）若，（?。┣蟛煌暮瘮档膫€數；（ⅱ）若滿足，求不同的函數的個數.20．（12分）已知函數在其定義域內有兩個不同的極值點.（1）求的取值范圍；（2）試比較與的大小，并說明理由；（3）設的兩個極值點為，證明.21．（12分）已知關于x的方程的兩個根是、.（1）若為虛數且，求實數p的值；（2）若，求實數p的值.22．（10分）已知數列的前項和，通項公式，數列的通項公式為.（1）若，求數列的前項和及的值；（2）若，數列的前項和為，求、、的值，根據計算結果猜測關于的表達式，并用數學歸納法加以證明；（3）對任意正整數，若恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先利用誘導公式統(tǒng)一這兩個三角函數的名稱，再利用函數的圖象變換規(guī)律，得出結論．【詳解】將函數的圖象向左平移個單位，可得的圖象，故選D．本題主要考查誘導公式的應用，函數的圖象變換規(guī)律，統(tǒng)一這兩個三角函數的名稱，是解題的關鍵，屬于基礎題．2、D【解析】A選項不正確，由于可得，故“”是“”的必要不充分條件；B選項不正確，“時，”的逆命題為“當時，”，是假命題，故其否命題也為假；C選項不正確，若兩直線平行，則，解得；D選項正確，角相等時函數值一定相等，原命題為真命題，故其逆否命題為真，故選：D．3、C【解析】

利用待定系數法設復數z，再運用復數的相等求得b.【詳解】設（），則即.故選C.本題考查用待定系數法，借助復數相等建立等量關系，是基礎題.4、C【解析】分析：由于已知分布列即可求出m的取值，進而使用期望公式先求出數學期望，再代入方差公式求出方差．詳解：由題意可得：m+0.6=1，所以m=0.4，所以E（x）=0×0.4+1×0.6=0.6，所以D（x）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.1．故選：C．點睛：本題主要考查離散型隨機變量的分布和數學期望、方差等基礎知識，熟記期望、方差的公式是解題的關鍵．5、D【解析】

構造函數，判斷函數的單調性和奇偶性，根據其性質解不等式得到答案.【詳解】對任意的，都有成立構造函數在上遞增.是偶函數為奇函數，在上單調遞增.當時：當時：故答案選D本題考查了函數的奇偶性，單調性，解不等式，構造函數是解題的關鍵.6、B【解析】由題意得所求概率為．選．7、D【解析】分析：先求出和，再求即得.詳解：由題得因為函數的圖象在點處的切線方程是，所以所以故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查求導和導數的幾何意義，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是8、B【解析】

利用球體的體積公式得，得出的表達式，再將的近似值代入可得出的最精確的表達式.【詳解】由球體的體積公式得，，，，，，與最為接近，故選C.本題考查球體的體積公式，解題的關鍵在于理解題中定義，考查分析問題和理解問題的能力，屬于中等題．9、A【解析】

由，得，則，故選A.10、A【解析】

根據已知求出b的值，再求三角形的面積.【詳解】在中，，由余弦定理得：，即，解得：或.∵是鈍角三角形，∴（此時為直角三角形舍去）.∴的面積為.故選A.本題主要考查余弦定理解三角形和三角形的面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.11、A【解析】

令，根據對任意都有，對其求導，結合是單調函數，即可求得的解析式，從而可得答案.【詳解】令，則，.∴∵是單調函數∴∴，即.∴故選A.本題考查的知識點是函數的值，函數解析式的求法，其中解答的關鍵是求出抽象函數解析式，要注意對已知條件及未知條件的湊配思想的應用．12、D【解析】分析：化簡復，利用復數模的公式求解即可.詳解：因為，所以=，故選D.點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據特殊角的三角函數值得到，，再由二倍角公式得到結果.【詳解】∵，，，∴，∴，即.∵，∴，由二倍角公式得到：，∴.故答案為.這個題目考查了特殊角的三角函數值的應用，以及二倍角公式的應用屬于基礎題.14、【解析】

分析：由可得，再利用兩個復數代數形式的除法法則化簡，結合共軛復數的定義可得結果.詳解：滿足，，所以，故答案為.點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.15、.【解析】

觀察等式右邊代數式的結構與的關系可得出結果.【詳解】由，，，由上述規(guī)律，歸納出第個等式為.故答案為：.本題考查歸納推理，解題的關鍵主要是找出式子的規(guī)律，考查推理能力，屬于中等題.16、【解析】

由復數乘法法則即可計算出結果【詳解】.本題考查了復數的乘法計算，只需按照計算法則即可得到結果，較為簡單三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是（2）【解析】

1利用導數求單調區(qū)間；2先分離參數，轉化為在恒成立利用導數求最值即可求解．【詳解】（1），，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．綜上，的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是．（2）．令，則在恒成立．，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．所以的最大值在時取得，．所以．本題主要考查了函數導數的應用，函數恒成立問題，分離參數，屬于基礎問題基礎方法．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

試題分析：（1）根據平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大??；（2）由余弦定理，結合基本不等式求出的最大值，即得的面積的最大值.試題解析：（1）因為向量與平行，所以，由正弦定理得，又，從而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因為c>0，所以c＝3.故△ABC的面積為bcsinA＝.考點：平面向量的共線應用；正弦定理與余弦定理.19、（1）36；（2）（?。?1；（ⅱ）19【解析】

（1）當定義域有4個元素，值域有3個元素，把4個元素分成2，1，1的三組，再對應值域里的3個元素，有；（2）（?。┓种涤蛴?個元素，2個元素，3個元素，討論函數個數；（ⅱ）滿足條件的有0，0，2，2或0，1，1，2或1，1，1，1三類，分三類求滿足條件的函數個數.【詳解】（1）函數的定義域是，值域是定義域里有2個數對著值域里面一個數，另外兩個數是1對1，不同的函數的個數是個.（2）（?。┲涤虿荒転榭占斒菃卧丶蠒r，，，，定義域是，此時定義域里4個元素對應的都是值域里的一個數，此時有3個函數；當是雙元素集合時，此時定義域里兩個元素對應值域里一個元素，有個函數；當定義域里有3個元素對應值域里一個元素，定義域里第4個元素對應值域里一個元素時有個函數；當集合是三個元素時，如（1）有36個函數，一共有3+18+24+36=81個函數；（ⅱ）滿足，的有0，0，2，2，函數個數是個，0，1，1，2時，函數個數是個，1，1，1，1時，函數個數是1個，共有個.本題考查排列組合的應用，意在考查轉化和推理，以及分類討論和計算求解能力，屬于中檔題型.20、(1)；（2）；理由見解析；（3）證明見解析【解析】

（1）根據函數在定義域內有兩個不同極值點可知方程有兩個不等正根，將問題轉化為與在上有兩個不同交點；利用過一點曲線的切線的求解方法可求出過原點與相切的直線的斜率，從而可得，解不等式求得結果；（2）令，求導后可知在上單調遞減，從而可得，化簡可得；（3）易知是方程的兩根，令，可整理得到，從而將所證不等式化為，采用換元的方式可知只需證，恒成立；構造函數，，利用導數可知在上單調遞增，可得，進而證得結論.【詳解】（1）由題意得：定義域為；在上有兩個不同極值點等價于方程有兩個不等正根即：與在有兩個不同的交點設過的的切線與相切于點則切線斜率，解得：過的的切線的斜率為：，解得：即的取值范圍為：（2）令，則時，；時，在上單調遞增；在上單調遞減，即：即：（3）由（1）知，是方程的兩根即：，設，則原不等式等價于：即：設，則，只需證：，設，在上單調遞增即在上恒成立所證不等式成立本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到根據極值點個數求解參數范圍、通過構造函數的方式比較大小、利用導數證明不等式的問題；利用導數證明不等式的關鍵是能夠將所證不等式轉化為與兩個極值點有關的函數的最值的求解問題，通過求解最值可確定不等關系.21、(1).(2)或.【解析】分析：（1）根據韋達定理得到=25，進而求得結果；（2）分兩種情況和，再結合韋達定理得到結果.詳解：（1），，，∴；（2），，若，即，則，∴；若，即，則，∴；綜上，或.點睛：這個題目考查的是韋達定理在二次方程中的應用，無論是有兩個實根,還是既有實根也有虛根的情況，韋達定理均試用.22、（1），；（2），，，；證明見解析（3）.【解析】

（1）根據等比數列的求和公式和極限的定義即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表