北京市第四十四中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則()A． B． C． D．以上都不正確2．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則()A．3 B．4 C．5 D．63．定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上是()A．增函數(shù)且 B．增函數(shù)且C．減函數(shù)且 D．減函數(shù)且4．己知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______.A． B． C． D．5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，為該雙曲線上一點(diǎn)，為其左、右焦點(diǎn)，且，，則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．6．學(xué)校組織同學(xué)參加社會(huì)調(diào)查，某小組共有5名男同學(xué)，4名女同學(xué)?，F(xiàn)從該小組中選出3位同學(xué)分別到A，B，C三地進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，若選出的同學(xué)中男女均有，則不同安排方法有（）A．70種 B．140種 C．420種 D．840種7．已知函數(shù)的圖象如圖，則與的關(guān)系是：（）A． B．C． D．不能確定8．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．9．已知函數(shù)，表示的曲線過原點(diǎn)，且在處的切線斜率均為，有以下命題：①的解析式為；②的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)；③的最大值與最小值之和等于零.其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)10．設(shè)，則“”是“”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件11．水以恒速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面的容器中，則此容器里水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象是（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足：對(duì)，都有，且時(shí)，，則__________．14．已知為第二象限角，，則____________.15．已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．16．已知等腰直角的斜邊，沿斜邊的高線將折起，使二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP是由中宣部主管，以新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端+手機(jī)客戶端”兩大終端二合一模式的學(xué)習(xí)平臺(tái)，2019年1月1日上線后便成為了黨員干部群眾學(xué)習(xí)的“新助手”.為了調(diào)研某地黨員在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP的學(xué)習(xí)情況，研究人員隨機(jī)抽取了名該地黨員進(jìn)行調(diào)查，將他們某兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP上所得的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如表所示：分?jǐn)?shù)頻數(shù)601002020頻率0.30.50.10.1（1）由頻率分布表可以認(rèn)為，這名黨員這兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”上的得分近似服從正態(tài)分布，其中近似為這名黨員得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），近似這名黨員得分的方差，求；（2）以頻率估計(jì)概率，若從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，記抽得這兩天在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”上的得分不低于分的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：，若，則，，18．（12分）年春節(jié)期間，某服裝超市舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過元（含元），均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球個(gè)，黑球個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出個(gè)紅球則打折，若摸出個(gè)紅球，則打折；若沒摸出紅球，則不打折.方案二：從裝有個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球個(gè)，黑球個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取球，連摸次，每摸到次紅球，立減元.（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？19．（12分）如圖,平面平面為等邊三角形,,過作平面交分別于點(diǎn),設(shè).（1）求證：平面；（2）求的值,使得平面與平面所成的銳二面角的大小為.20．（12分）已知函數(shù)，．（）當(dāng)時(shí)，證明：為偶函數(shù)；（）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍，使在上恒成立．21．（12分）已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值.22．（10分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意可得：據(jù)此有：.本題選擇B選項(xiàng).2、C【解析】

由又，可得公差，從而可得結(jié)果.【詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于中檔題.3、B【解析】

先利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)在上的解析式，然后利用周期性求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合解析式對(duì)其單調(diào)性以及函數(shù)值符號(hào)下結(jié)論．【詳解】設(shè)，則，，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則.所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，故選B.本題考查函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值符號(hào)的判斷，解決函數(shù)問題關(guān)鍵在于求出函數(shù)的解析式，本題的核心在于利用奇偶性與周期性求出函數(shù)的解析式，屬于中等題．4、B【解析】

首先解出集合,若滿足，則當(dāng)時(shí)，和恒成立，求的取值范圍.【詳解】，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)時(shí)恒成立，即，而是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，，解得：綜上：.故選：B本題考查根據(jù)給定區(qū)間不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算求解能力，恒成立問題可以參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，如果函數(shù)是二次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為根的分布問題，列不等式組求解.5、D【解析】

設(shè)，根據(jù)已知可得，由，得到，結(jié)合雙曲線的定義，得出，再由已知求出，即可求解.【詳解】設(shè)，則由漸近線方程為，，又，所以兩式相減，得，而，所以，所以，所以，，故雙曲線的方程為.故選：D本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的幾何性質(zhì)，注意焦點(diǎn)三角形問題處理方法，一是曲線的定義應(yīng)用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面積，屬于中檔題.6、C【解析】

將情況分為2男1女和2女1男兩種情況，相加得到答案.【詳解】2男1女時(shí)：C52女1男時(shí)：C共有420種不同的安排方法故答案選C本題考查了排列組合的應(yīng)用，將情況分為2男1女和2女1男兩種情況是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】

通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖像即得答案.【詳解】由于導(dǎo)數(shù)表示的幾何意義是切線斜率，而由圖可知，在A處的切線傾斜角小于在B處切線傾斜角，且都在第二象限，故，答案為B.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，比較基礎(chǔ).8、B【解析】分析：求出A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，設(shè)P（1+，），點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離：d=，∈，由此能求出△ABP面積的取值范圍．詳解：∵直線x+y+3=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，∵點(diǎn)P在圓（x﹣1）2+y2=2上，∴設(shè)P（1+，），∴點(diǎn)P到直線x+y+3=0的距離：d=，∵sin∈[﹣1，1]，∴d=，∴△ABP面積的最小值為△ABP面積的最大值為故答案為：B．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系和三角形的面積，考查圓的參數(shù)方程和三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)P（1+，），利用圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)大大地提高了解題效率.9、C【解析】

首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)過原點(diǎn)，列方程組求出的解析式，則命題①得到判斷；然后令，求出的極值點(diǎn)，進(jìn)而求得的最值，則命題②③得出判斷．【詳解】∵函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，∴．又，且在處的切線斜率均為，∴，解得，∴．所以①正確．又由得，所以②不正確．可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極大值為，極小值為，又，∴，∴的最大值與最小值之和等于零．所以③正確．綜上可得①③正確．故選C．本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及函數(shù)的極值、最值的求法，考查運(yùn)算能力和應(yīng)用能力，屬于綜合問題，解答時(shí)需注意各類問題的解法，根據(jù)相應(yīng)問題的解法求解即可．10、B【解析】

分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.【詳解】化簡(jiǎn)不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡(jiǎn)不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件．11、C【解析】分析：根據(jù)容器的特征，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)和題意知，容器的底面積越大水的高度變化慢、反之變化的快，再由圖象越平緩就是變化越慢、圖象陡就是變化快來判斷．結(jié)合函數(shù)圖像分析判別可得結(jié)論.詳解：A、B選項(xiàng)中：函數(shù)圖象是單調(diào)遞增的，與與題干不符，故排除；C、當(dāng)注水開始時(shí)，函數(shù)圖象往下凸，可得出下方圓臺(tái)容器下粗上細(xì)，符合題意．；D、當(dāng)注水時(shí)間從0到t時(shí)，函數(shù)圖象往上凸，可得出下方圓臺(tái)容器下細(xì)上粗，與題干不符，故排除．故選C.點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于此題沒有必要求容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的函數(shù)解析式，因此可結(jié)合幾何體和圖象作定性分析，即充分利用數(shù)形結(jié)合思想．12、B【解析】

首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的定義域，再很據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)性，問題得以解決．【詳解】因?yàn)閤﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函數(shù)f（x）=ln（x﹣）的定義域?yàn)椋海ī?，0）∪（1，+∞）．所以選項(xiàng)A、D不正確．當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，g（x）=x﹣是增函數(shù)，因?yàn)閥=lnx是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=ln（x-）是增函數(shù)．故選B．函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據(jù)是奇函數(shù)，有，再結(jié)合，推出，得到的最小正周期為8，再求解.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)榈氖瞧婧瘮?shù)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以的最小正周期?，又因?yàn)闀r(shí)，，所以.故答案為：2本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系和的范圍可求得，根據(jù)同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】為第二象限角，，，由得：，.故答案為：.本題考查根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解三角函數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】依題意可得，橢圓焦點(diǎn)在軸上且．因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，所以，則，所以，解得，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為16、【解析】等腰直角翻折后是二面角的平面角，即，因此外接圓半徑為，四面體的外接球半徑等于，外接球的表面積為點(diǎn)睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表求得和；又，根據(jù)正態(tài)分布曲線可求得結(jié)果；（2）計(jì)算出從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，抽得的人得分不低于分的概率，可知服從于二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布概率公式求解出每個(gè)可能的取值對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；再利用二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求得期望.【詳解】（1）由題意得：（2）從該地區(qū)所有黨員中隨機(jī)抽取人，抽得的人得分不低于分的概率為：由題意得，的可能取值為，且；；；；的分布列為：本題考查正態(tài)分布中的概率求解問題、二項(xiàng)分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，關(guān)鍵是能夠確定服從于二項(xiàng)分布，屬于常規(guī)題型.18、（1）；（2）選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算.【解析】

（1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計(jì)算出兩位顧客均享受到免單的概率；（2）選擇方案一，計(jì)算所付款金額的分布列和數(shù)學(xué)期望值，選擇方案二，計(jì)算所付款金額的數(shù)學(xué)期望值，比較得出結(jié)論.【詳解】（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為、、、.，，，.故的分布列為，所以（元）.若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）.因?yàn)?，所以該顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算.本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)學(xué)期望，同時(shí)也考查了二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，解題時(shí)要明確隨機(jī)變量所滿足的分布列類型，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）詳見解析（2）【解析】試題分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需結(jié)合平幾條件，如三角形相似，本題可根據(jù)得,而，因此（2）利用空間向量研究二面角，首先利用垂直關(guān)系建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解兩個(gè)平面的法向量，利用向量數(shù)量積求夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角之間關(guān)系得等量關(guān)系，求的值試題解析：（1）證明：如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,由,得,則.易知是平面的一個(gè)法向量,且,故,又因?yàn)槠矫?平面.（2）,設(shè)平面法向量為,則,故可取,又是平面的一個(gè)法向量,由為平面與平面所成銳二面角的度數(shù)),以及得,.解得或(舍去),故.考點(diǎn)：線面平行判定定理，利用空間向量研究二面角【思路點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20、（）證明見解析；（）；（）.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而，說明為偶函數(shù)；（2）在上任取、，且，則恒成立，等價(jià)于恒成立，可求得的取值范圍；（3）先證明不等式恒成立，等價(jià)于，即恒成立，利用配方法求得的最大值，即可得結(jié)果.試題解析：（）當(dāng)時(shí)，