北京市第四十四中學2025屆數(shù)學高二第二學期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則()A． B． C． D．以上都不正確2．設等差數(shù)列的前n項和為，若，則()A．3 B．4 C．5 D．63．定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，，則在區(qū)間上是()A．增函數(shù)且 B．增函數(shù)且C．減函數(shù)且 D．減函數(shù)且4．己知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍_______.A． B． C． D．5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，為該雙曲線上一點，為其左、右焦點，且，，則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．6．學校組織同學參加社會調(diào)查，某小組共有5名男同學，4名女同學。現(xiàn)從該小組中選出3位同學分別到A，B，C三地進行社會調(diào)查，若選出的同學中男女均有，則不同安排方法有（）A．70種 B．140種 C．420種 D．840種7．已知函數(shù)的圖象如圖，則與的關系是：（）A． B．C． D．不能確定8．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．9．已知函數(shù)，表示的曲線過原點，且在處的切線斜率均為，有以下命題：①的解析式為；②的極值點有且僅有一個；③的最大值與最小值之和等于零.其中正確的命題個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個10．設，則“”是“”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件11．水以恒速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面的容器中，則此容器里水的高度與時間的函數(shù)關系圖象是（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義域為的奇函數(shù)滿足：對，都有，且時，，則__________．14．已知為第二象限角，，則____________.15．已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是________．16．已知等腰直角的斜邊，沿斜邊的高線將折起，使二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）“學習強國”APP是由中宣部主管，以新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端+手機客戶端”兩大終端二合一模式的學習平臺，2019年1月1日上線后便成為了黨員干部群眾學習的“新助手”.為了調(diào)研某地黨員在“學習強國”APP的學習情況，研究人員隨機抽取了名該地黨員進行調(diào)查，將他們某兩天在“學習強國”APP上所得的分數(shù)統(tǒng)計如表所示：分數(shù)頻數(shù)601002020頻率0.30.50.10.1（1）由頻率分布表可以認為，這名黨員這兩天在“學習強國”上的得分近似服從正態(tài)分布，其中近似為這名黨員得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），近似這名黨員得分的方差，求；（2）以頻率估計概率，若從該地區(qū)所有黨員中隨機抽取人，記抽得這兩天在“學習強國”上的得分不低于分的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：，若，則，，18．（12分）年春節(jié)期間，某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過元（含元），均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球個，黑球個）的抽獎盒中，一次性摸出個球，其中獎規(guī)則為：若摸到個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出個紅球則打折，若摸出個紅球，則打折；若沒摸出紅球，則不打折.方案二：從裝有個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球個，黑球個）的抽獎盒中，有放回每次摸取球，連摸次，每摸到次紅球，立減元.（1）若兩個顧客均分別消費了元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費恰好滿元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？19．（12分）如圖,平面平面為等邊三角形,,過作平面交分別于點,設.（1）求證：平面；（2）求的值,使得平面與平面所成的銳二面角的大小為.20．（12分）已知函數(shù)，．（）當時，證明：為偶函數(shù)；（）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（）若，求實數(shù)的取值范圍，使在上恒成立．21．（12分）已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（Ⅰ）求實數(shù)，的值；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值.22．（10分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（Ⅱ）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題意可得：據(jù)此有：.本題選擇B選項.2、C【解析】

由又，可得公差，從而可得結果.【詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應用，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.3、B【解析】

先利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)在上的解析式，然后利用周期性求出函數(shù)在上的解析式，結合解析式對其單調(diào)性以及函數(shù)值符號下結論．【詳解】設，則，，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，當時，，則.所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，且當時，，，故選B.本題考查函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值符號的判斷，解決函數(shù)問題關鍵在于求出函數(shù)的解析式，本題的核心在于利用奇偶性與周期性求出函數(shù)的解析式，屬于中等題．4、B【解析】

首先解出集合,若滿足，則當時，和恒成立，求的取值范圍.【詳解】，，即當時，恒成立，即，當時恒成立，即，而是增函數(shù)，當時，函數(shù)取得最小值，且當時，恒成立，，解得：綜上：.故選：B本題考查根據(jù)給定區(qū)間不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題，意在考查轉化與化歸和計算求解能力，恒成立問題可以參變分離轉化為求函數(shù)的最值問題，如果函數(shù)是二次函數(shù)可以轉化為根的分布問題，列不等式組求解.5、D【解析】

設，根據(jù)已知可得，由，得到，結合雙曲線的定義，得出，再由已知求出，即可求解.【詳解】設，則由漸近線方程為，，又，所以兩式相減，得，而，所以，所以，所以，，故雙曲線的方程為.故選：D本題考查雙曲線的標準方程、雙曲線的幾何性質，注意焦點三角形問題處理方法，一是曲線的定義應用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面積，屬于中檔題.6、C【解析】

將情況分為2男1女和2女1男兩種情況，相加得到答案.【詳解】2男1女時：C52女1男時：C共有420種不同的安排方法故答案選C本題考查了排列組合的應用，將情況分為2男1女和2女1男兩種情況是解題的關鍵.7、B【解析】

通過導數(shù)的幾何意義結合圖像即得答案.【詳解】由于導數(shù)表示的幾何意義是切線斜率，而由圖可知，在A處的切線傾斜角小于在B處切線傾斜角，且都在第二象限，故，答案為B.本題主要考查導數(shù)的幾何意義，比較基礎.8、B【解析】分析：求出A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，設P（1+，），點P到直線x+y+2=0的距離：d=，∈，由此能求出△ABP面積的取值范圍．詳解：∵直線x+y+3=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，∵點P在圓（x﹣1）2+y2=2上，∴設P（1+，），∴點P到直線x+y+3=0的距離：d=，∵sin∈[﹣1，1]，∴d=，∴△ABP面積的最小值為△ABP面積的最大值為故答案為：B．點睛：（1）本題主要考查直線與圓的位置關系和三角形的面積，考查圓的參數(shù)方程和三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是設點P（1+，），利用圓的參數(shù)方程設點大大地提高了解題效率.9、C【解析】

首先利用導數(shù)的幾何意義及函數(shù)過原點，列方程組求出的解析式，則命題①得到判斷；然后令，求出的極值點，進而求得的最值，則命題②③得出判斷．【詳解】∵函數(shù)的圖象過原點，∴．又，且在處的切線斜率均為，∴，解得，∴．所以①正確．又由得，所以②不正確．可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極大值為，極小值為，又，∴，∴的最大值與最小值之和等于零．所以③正確．綜上可得①③正確．故選C．本題考查導數(shù)的幾何意義的應用以及函數(shù)的極值、最值的求法，考查運算能力和應用能力，屬于綜合問題，解答時需注意各類問題的解法，根據(jù)相應問題的解法求解即可．10、B【解析】

分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關系確定.【詳解】化簡不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．本題考查充分必要條件，解題關鍵是化簡不等式，由集合的關系來判斷條件．11、C【解析】分析：根據(jù)容器的特征，結合幾何體的結構和題意知，容器的底面積越大水的高度變化慢、反之變化的快，再由圖象越平緩就是變化越慢、圖象陡就是變化快來判斷．結合函數(shù)圖像分析判別可得結論.詳解：A、B選項中：函數(shù)圖象是單調(diào)遞增的，與與題干不符，故排除；C、當注水開始時，函數(shù)圖象往下凸，可得出下方圓臺容器下粗上細，符合題意．；D、當注水時間從0到t時，函數(shù)圖象往上凸，可得出下方圓臺容器下細上粗，與題干不符，故排除．故選C.點睛：本題考查了數(shù)形結合思想，對于此題沒有必要求容器中水面的高度h和時間t之間的函數(shù)解析式，因此可結合幾何體和圖象作定性分析，即充分利用數(shù)形結合思想．12、B【解析】

首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質，求出函數(shù)的定義域，再很據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)性，問題得以解決．【詳解】因為x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函數(shù)f（x）=ln（x﹣）的定義域為：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以選項A、D不正確．當x∈（﹣1，0）時，g（x）=x﹣是增函數(shù)，因為y=lnx是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=ln（x-）是增函數(shù)．故選B．函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據(jù)是奇函數(shù)，有，再結合，推出，得到的最小正周期為8，再求解.【詳解】因為定義域為的是奇函數(shù)，所以，又因為，所以，所以，即，所以的最小正周期為8，又因為時，，所以.故答案為：2本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)平方關系和的范圍可求得，根據(jù)同角三角函數(shù)商數(shù)關系可求得結果.【詳解】為第二象限角，，，由得：，.故答案為：.本題考查根據(jù)同角三角函數(shù)平方關系和商數(shù)關系求解三角函數(shù)值的問題，屬于基礎題.15、【解析】依題意可得，橢圓焦點在軸上且．因為長軸長是短軸長的2倍，所以，則，所以，解得，故，所以橢圓的標準方程為16、【解析】等腰直角翻折后是二面角的平面角，即，因此外接圓半徑為，四面體的外接球半徑等于，外接球的表面積為點睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用分數(shù)統(tǒng)計表求得和；又，根據(jù)正態(tài)分布曲線可求得結果；（2）計算出從該地區(qū)所有黨員中隨機抽取人，抽得的人得分不低于分的概率，可知服從于二項分布，利用二項分布概率公式求解出每個可能的取值對應的概率，從而得到分布列；再利用二項分布數(shù)學期望計算公式求得期望.【詳解】（1）由題意得：（2）從該地區(qū)所有黨員中隨機抽取人，抽得的人得分不低于分的概率為：由題意得，的可能取值為，且；；；；的分布列為：本題考查正態(tài)分布中的概率求解問題、二項分布的分布列和數(shù)學期望的求解，關鍵是能夠確定服從于二項分布，屬于常規(guī)題型.18、（1）；（2）選擇第一種抽獎方案更合算.【解析】

（1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計算出兩位顧客均享受到免單的概率；（2）選擇方案一，計算所付款金額的分布列和數(shù)學期望值，選擇方案二，計算所付款金額的數(shù)學期望值，比較得出結論.【詳解】（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個紅球，設顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為；（2）若選擇方案一，設付款金額為元，則可能的取值為、、、.，，，.故的分布列為，所以（元）.若選擇方案二，設摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）.因為，所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算.本題考查獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量分布列與數(shù)學期望，同時也考查了二項分布的數(shù)學期望與數(shù)學期望的性質，解題時要明確隨機變量所滿足的分布列類型，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）詳見解析（2）【解析】試題分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需結合平幾條件，如三角形相似，本題可根據(jù)得,而，因此（2）利用空間向量研究二面角，首先利用垂直關系建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解兩個平面的法向量，利用向量數(shù)量積求夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角之間關系得等量關系，求的值試題解析：（1）證明：如圖,以點為原點建立空間直角坐標系,不妨設,則,由,得,則.易知是平面的一個法向量,且,故,又因為平面,平面.（2）,設平面法向量為,則,故可取,又是平面的一個法向量,由為平面與平面所成銳二面角的度數(shù)),以及得,.解得或(舍去),故.考點：線面平行判定定理，利用空間向量研究二面角【思路點睛】利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.20、（）證明見解析；（）；（）.【解析】試題分析：（1）當時，的定義域關于原點對稱，而，說明為偶函數(shù)；（2）在上任取、，且，則恒成立，等價于恒成立，可求得的取值范圍；（3）先證明不等式恒成立，等價于，即恒成立，利用配方法求得的最大值，即可得結果.試題解析：（）當時，