第二十八章銳角三角函數(shù)

28.2解直角三角形及其應(yīng)用

28.2.1解直角三角形一、情景導(dǎo)入回到章前引言：解決比薩斜塔傾斜程度的問(wèn)題．1972年的情形，設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線(xiàn)與垂直中心線(xiàn)的夾角為A，過(guò)B點(diǎn)向垂直中心線(xiàn)引垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)C，如圖，在

Rt△ABC中，∠C＝90o，BC＝5.2m，AB＝54.5m，因此所以∠A≈5°28′．

ABCABC一、情景導(dǎo)入類(lèi)似地，你能求出2001年糾偏后塔身中心線(xiàn)與垂直中心線(xiàn)的夾角嗎？請(qǐng)和同桌說(shuō)說(shuō)你的求解過(guò)程．

如果將上述實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是已知直角三角形的斜邊和一條直角邊，求它的銳角度數(shù)．一般地，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．

二、探究新知(1)在直角三角形中，除直角外還有哪幾個(gè)元素？(2)結(jié)合右圖說(shuō)一說(shuō)這幾個(gè)元素之間有哪些關(guān)系？(3)知道這幾個(gè)元素中的幾個(gè)，就可以求其余元素？解：(1)在Rt△ABC中除直角外還有五個(gè)元素，三邊：AB，AC，BC或a，b，c

兩銳角：∠A

，∠B．

ABCabc二、探究新知(2)如圖Rt△ABC

中，∠C＝90o．三邊關(guān)系：a2＋b2＝c2(勾股定理)；兩銳角關(guān)系：∠A＋∠B＝90o．邊與角關(guān)系：

二、探究新知(3)提示：分情況討論：解直角三角形的條件可分為兩大類(lèi)：①已知一銳角、一邊(直角邊或斜邊)；②已知兩邊(一直角邊一斜邊或者兩直角邊)；知道直角三角形中除直角外的兩個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)，就可以求其余元素．二、探究新知已知兩邊解直角三角形例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝

，BC＝

，解這個(gè)直角三角形．解：

ABC二、探究新知在Rt△ABC中，∠C＝90o，a＝30，b＝20．解這個(gè)直角三角形．解：根據(jù)勾股定理，得注意：沒(méi)有圖形的要先根據(jù)題意畫(huà)出圖形．二、探究新知已知一邊及一銳角解直角三角形例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，∠B＝35o，b＝20，解這個(gè)直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)．解：ABCb20ca35°二、探究新知注意：選取函數(shù)關(guān)系求值時(shí)盡可能用原始數(shù)據(jù)，減少因?yàn)榻飘a(chǎn)生的累積誤差．二、探究新知在Rt△ABC中，∠C＝90o，∠B＝72o，c＝14，解這個(gè)直角三角形．解：ABCba14三、課堂小結(jié)解直角三角形依據(jù)條件：只要知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊）勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數(shù)概念四、課堂訓(xùn)練1．在下列直角三角形中，不能求解的是()．A．已知一直角邊一銳角 B．已知一斜邊一銳角C．已知兩邊D．已知兩角2．在Rt△ABC中，∠C＝90o，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，則下列各式正確的是()．A．

b＝a·tanAB．

b＝c·sinAC．b＝c·cosAD．

a＝c·cosAD

C四、課堂訓(xùn)練3．如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，EC＝4，sinB＝，則菱形的周長(zhǎng)是()．A．10B．20C．40D．28CABCDE30o105oABCD四、課堂訓(xùn)練4．如圖，已知AC＝4，求AB和BC

的長(zhǎng)．解：如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∵∠A＝30o，∴∠ACD＝90o－∠A＝60o．四、課堂訓(xùn)練∵在Rt△CDB中，∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝45o，∴BD＝CD＝2．

方法總結(jié)：沒(méi)有直角三角形時(shí)常常作高線(xiàn)構(gòu)造直角三角形．四、課堂訓(xùn)練5．在△ABC中，AB＝，AC＝13，cos∠B＝

求BC長(zhǎng)．解：∵cosB＝

∴∠B＝45o．當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖①，∴由勾股定理得CD＝5．∴BC＝BD－CD＝12－5＝7．圖①ADCB四、課堂訓(xùn)練當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖②，BC＝BD