第三章

函數(shù)的概念與性質(zhì)§3.1函數(shù)的概念及其表示§3.2函數(shù)的基本性質(zhì)§3.3冪函數(shù)§3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）問題1

某“復(fù)興號(hào)”高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí)。這段時(shí)間內(nèi)，如何表示列車行進(jìn)的路程s（單位：km）與運(yùn)行時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系？3.1.1函數(shù)的概念s=350t

這里，t和s是兩個(gè)變量，而且對(duì)于t的每一個(gè)確定的值，s都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以s是t的函數(shù)。

在該問題的情境中，該函數(shù)表達(dá)式中的自變量和因變量應(yīng)該存在范圍限制。{t|0≤

t

≤0.5}，{s|0≤

s

≤175}問題2

某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天。如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認(rèn)為該怎樣確定一個(gè)工人每周的工資？一個(gè)工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？w=350d其中，在該問題中，d的變化范圍是集合{1，2，3，4，5，6}，w的變化范圍是集合{350，700，1050，1400，1750，2100}思考：問題1和問題2中的函數(shù)有相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，你認(rèn)為它們是同一個(gè)函數(shù)嗎？為什么？不是，該兩個(gè)函數(shù)的自變量和因變量的取值范圍不同。問題3

下圖是某市某日的空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡稱AQI）變化圖。如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時(shí)刻t（單位：h）的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的值I？你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？從圖中的曲線可知，t的變化范圍是集合{t|0≤

t

≤24}，AQI的值I的變化范圍是集合{I|0<I

<150}。在t的變化范圍中的的任一時(shí)刻，按照?qǐng)D中曲線所給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，都有唯一確定的AQI的值I與之對(duì)應(yīng)。因此，這里的I是t的函數(shù)。問題4

國際上常用恩格爾系數(shù)

反映一個(gè)地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。下表是我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況：你認(rèn)為按表中給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？如果是，你會(huì)用怎樣的語言來刻畫這個(gè)函數(shù)？這里，y的取值范圍是集合{2012，2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019，2020，2021}；根據(jù)恩格爾系數(shù)的定義可知，r的取值范圍是集合{r

|0<r<1}。對(duì)于任意一個(gè)年份y，根據(jù)表中所給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，都有唯一確定的恩格爾系數(shù)r與之對(duì)應(yīng)。所以，r是y的函數(shù)。上述問題1~問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？你有什么發(fā)現(xiàn)？上述問題的共同特征有：（1）都包含兩個(gè)非空數(shù)集，用A，B來表示；（2）都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）盡管對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)。

一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：

y=f(x)，x∈A其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做數(shù)值，數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。

函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射。y=f(x)輸入→x→自變量→取值范圍為定義域運(yùn)行程序→f→對(duì)應(yīng)關(guān)系

輸出→y→因變量

→取值范圍為值域

函數(shù)的三要素定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域共同構(gòu)成函數(shù)的三要素兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同常見函數(shù)的定義域和值域：定義域：R，值域：R（1）函數(shù)

：（2）函數(shù)

：（3）函數(shù)

：（4）函數(shù)

：

定義域：R，值域：

定義域：{x|

x

≠0}，值域：{y|

y

≠0}定義域：{x|

x

≥0}，值域：{y|

y

≥0}【例1】下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x

是同一個(gè)函數(shù)？

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；解：函數(shù)y=x的定義域?yàn)镽。（1）函數(shù)

與函數(shù)y=x的對(duì)應(yīng)法則相同，定義域卻不同，因此兩函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)。（2）函數(shù)

與函數(shù)y=x的對(duì)應(yīng)法則相同，定義域相同，因此兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)。（3）函數(shù)

與函數(shù)y=x的對(duì)應(yīng)法則不同，定義域相同，因此兩函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)。（4）函數(shù)

與函數(shù)y=x的對(duì)應(yīng)法則相同，定義域不同，因此兩函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)。區(qū)間的表示方法設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：（1）滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]；用數(shù)軸表示：ab??

（2）滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為（a，b）；用數(shù)軸表示：ab（3）滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，表示為[a，b）或（a，b]。abab用數(shù)軸表示：實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為（-∞，+∞），“∞”讀作“無窮大”,“-∞”讀作“負(fù)無窮大”，“+∞”讀作“正無窮大”。（4）x≥a可寫作x∈[a，+∞）；a（5）x>a可寫作x∈（a，+∞）；a（6）x≤b可寫作x∈（-∞，b]；b（7）x<b可寫作x∈（-∞，b）；b【例2】已知函數(shù)

，

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）求

的值；

（3）當(dāng)

時(shí)，求

的值。解：（1）函數(shù)

的定義域?yàn)閇-3，+∞），函數(shù)

的定義域?yàn)閤≠-2，所以，函數(shù)

的定義域?yàn)椋?）

；（3）當(dāng)

時(shí)，滿足函數(shù)的定義域，

抽象函數(shù)的定義域求法：

已知f(x)的定義域求解f[g(x)]的定義域，或已知f[g(x)]的定義域求f(x)的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同?！纠?】已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1，2]，求函數(shù)f(x-2)的定義域。解：在函數(shù)f(x)中，x∈[-1，2]，則在函數(shù)f(x-2)中，x-2∈[-1，2]，即x∈[1，3]，可知，f(x-2)的定義域?yàn)閇1，3]【例4】已知函數(shù)f(x-2)的定義域是[-1，2]，求函數(shù)f(x+3)的定義域。解：在函數(shù)f(x-2)中，x∈[-1，2]，則x-2∈[-3，0]，所以在函數(shù)f(x+3)中，x+3∈[-3，0]，即x∈[-6，-3]，可知，f(x+3)的定義域?yàn)閇-6，-3]1．求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子（運(yùn)算）有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.2．求抽象函數(shù)定義域的方法

（1）若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.

（2）若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.總結(jié)：求函數(shù)的定義域3.1.2函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法。（1）解析法，就是用解析式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）列表法，就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）圖象法，就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。探究1：某種筆記本的單價(jià)是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）個(gè)筆記本需要y元。試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)

y=f(x)。

（1）解析法：（2）列表法：（3）圖像法：探究2：分析函數(shù)

的圖像

分析：通過絕對(duì)值的概念，我們可以將函數(shù)寫成

yx我們就可以在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)像這樣，在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。D解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(2x－1)的定義域是[－2，3]，則－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇－5，5].【例7】已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；解(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－