云南省曲靖市麒麟?yún)^(qū)二中2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-3,3)，則點(diǎn)A．(23,C．(-23,2．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為()A．－15 B．16 C．15 D．－163．宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等.如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．94．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．5．設(shè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足不等式組則的最小值是（）A． B． C． D．6．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,,則不等式的解集為()A． B． C． D．7．若（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為（）A． B． C． D．8．若,則()A． B． C． D．9．若對(duì)任意的實(shí)數(shù)k,直線y-2＝k(x＋1)恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M,則M的坐標(biāo)是A．(1,2) B．(1,) C．(,2) D．()10．已知，則（）A． B． C． D．11．下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是A．“”是“”的充分不必要條件B．“x=2時(shí)，x2－3x+2=0”的否命題為真命題C．直線：，：，的充要條件是D．命題“若，則”的逆否命題為真命題12．已知，則（）A．16 B．17 C．32 D．33二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的離心率為，一條漸近線為，拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為直線與拋物線異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，則_________.14．若函數(shù)，若，則=______．15．已知，函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是____．16．在的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè).(1)若,且是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一根,求和的值；(2)若是純虛數(shù),已知時(shí),取得最大值,求；(3)肖同學(xué)和謝同學(xué)同時(shí)獨(dú)立地解答第（2）小題,己知兩人能正確解答該題的概率分別是0.8和0.9,求該題能被正確解答的概率.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）設(shè)，，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最大值和最小值：（2）若，恒成立，求a的取值范圍．21．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.22．（10分）某校高二理科1班共有50名學(xué)生參加學(xué)業(yè)水平模擬考試，成績(jī)（單位：分，滿(mǎn)分100分）大于或等于90分的為優(yōu)秀，其中語(yǔ)文成績(jī)近似服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖.（1）這50名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的大約各有多少人？（2）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科成績(jī)都優(yōu)秀的共有4人，從語(yǔ)文優(yōu)秀或數(shù)學(xué)優(yōu)秀的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)（1）（2）的數(shù)據(jù)，是否有99%以上的把握認(rèn)為語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)成績(jī)也優(yōu)秀？語(yǔ)文優(yōu)秀語(yǔ)文不優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)不優(yōu)秀合計(jì)附：①若，則，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先判斷點(diǎn)P的位置，然后根據(jù)公式：ρ2ρ，根據(jù)點(diǎn)P的位置，求出θ.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-3,3)，所以點(diǎn)Pρ=(-3)2+所以θ=2kπ+56本題考查了點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，關(guān)鍵是要知道點(diǎn)的具體位置.2、B【解析】

把按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)，可得的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】∵（）?（1），故它的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是1+15=16故選：B本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，項(xiàng)的系數(shù)的性質(zhì)，熟記公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件；當(dāng)時(shí)，，，不滿(mǎn)足進(jìn)行循環(huán)的條件；故選：B本題主要考查程序框圖，解題的關(guān)鍵是讀懂流程圖各個(gè)變量的變化情況，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】分析：首先將圖畫(huà)出來(lái)，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.5、B【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線在軸上截距的變化，找到該直線在軸上的截距取得最小值時(shí)的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)可得出答案．【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)該直線在軸上的截距最小，取得最小值，即，故選B．本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，一般利用平移直線的思想，利用其在坐標(biāo)軸上截距最值的思想找出最優(yōu)來(lái)處理，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題．6、B【解析】

由已知條件構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)+lnx，求導(dǎo)，根據(jù)已知求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可的解集．【詳解】令g(x)=f(x)+lnx(x>0)，則g'(x)=，又函數(shù)滿(mǎn)足，∴g'(x)=，g(x)在單調(diào)遞增.∵，∴，∴當(dāng)，，當(dāng)，，∴當(dāng)，則不等式成立.故選：B.本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)綜合，一般采用構(gòu)造函數(shù)法，求導(dǎo)后利用條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)特殊值解出不等式所對(duì)應(yīng)的區(qū)間即可，屬于中等題.7、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的求模公式計(jì)算出復(fù)數(shù)的模.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選D.本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法法則以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，對(duì)于復(fù)數(shù)相關(guān)問(wèn)題，常利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由于兩個(gè)對(duì)數(shù)值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對(duì)數(shù)換底公式，將不等式等價(jià)變形為以10為底的對(duì)數(shù)不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m、n的大小即可【詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及其換底公式的應(yīng)用，利用圖象和性質(zhì)比較大小的方法9、C【解析】∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)∴令參數(shù)的系數(shù)等于零，得∴點(diǎn)的坐標(biāo)為故選C點(diǎn)睛：含參直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法：（1）分離參數(shù)法，把含有的參數(shù)的直線方程改寫(xiě)成，解方程組，便可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）特殊值法，把參數(shù)賦兩個(gè)特殊的值，聯(lián)立方程組，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo).10、D【解析】

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值得解．【詳解】∵cosθ?tanθ＝sinθ，∴sin（）＝cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2．故選D．本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】A選項(xiàng)不正確，由于可得，故“”是“”的必要不充分條件；B選項(xiàng)不正確，“時(shí)，”的逆命題為“當(dāng)時(shí)，”，是假命題，故其否命題也為假；C選項(xiàng)不正確，若兩直線平行，則，解得；D選項(xiàng)正確，角相等時(shí)函數(shù)值一定相等，原命題為真命題，故其逆否命題為真，故選：D．12、B【解析】

令，求出系數(shù)和，再令，可求得奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和，令，求出即可求解.【詳解】令，得，令，得，所以，令，得，所以，故選：B本題主要考查了賦值法求多項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)和，考查了學(xué)生的靈活解題的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

由雙曲線的離心率求出漸近線的方程，然后求出直線與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，可得．【詳解】雙曲線中，，即，，不妨設(shè)方程為，由得或，即，拋物線中，∴．故答案為：4.本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線相交問(wèn)題，考查拋物線的焦半徑公式．屬于中檔題．14、【解析】

本題首先可以對(duì)分段函數(shù)進(jìn)行研究，確定每一個(gè)分段函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式以及取值范圍，然后先計(jì)算出的值，再對(duì)與之間的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，最后得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)所以，若即則解得（舍去），若，即，則解得，綜上所述，答案為本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．考查分段函數(shù)的時(shí)候一定要能夠?qū)γ恳粋€(gè)取值范圍所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式有一個(gè)確定的認(rèn)識(shí)．15、【解析】

根據(jù)已知可得，恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖像，列不等式組解決問(wèn)題.【詳解】,在區(qū)間上單調(diào)遞減，，解得.故填：.本題考查了已知函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)是單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖像列不等式組，得到參數(shù)的取值范圍，一般恒成立的問(wèn)題也可轉(zhuǎn)化為參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.16、45【解析】分析：根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出展開(kāi)式中的系數(shù)，即可得出的展開(kāi)式中的系數(shù)是多少.詳解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，得的系數(shù)為，且無(wú)項(xiàng)，的展開(kāi)式中的系數(shù)為45.故答案為：45.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)；(3).【解析】

(1)利用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn),再根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的性質(zhì)和根與系數(shù)關(guān)系可以求出和的值；(2)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,利用復(fù)數(shù)的除法法則和是純虛數(shù),可得出復(fù)數(shù)的實(shí)問(wèn)部和虛部之間的關(guān)系,再由時(shí),取得最大值,這樣可以求出；(3)求出該題不能被正確解答的概率,然后運(yùn)用對(duì)立事件概率公式求出該題能被正確解答的概率.【詳解】(1).因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的一根,所以也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一根,因此由根與系數(shù)關(guān)系可知：,所以和的值分別為；(2)設(shè).是純虛數(shù),所以有,它表示以為圓心，2為半徑的圓,的幾何意義是圓上的點(diǎn)到點(diǎn)是距離.在同一條直線上且同向時(shí),取得最大值,因?yàn)?所以所以,因此所以(3)該題不能被正確解答的概率為,因此能被正確解答的概率為：.本題考查了實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的性質(zhì)和根與系數(shù)關(guān)系,考查了根據(jù)復(fù)數(shù)的類(lèi)別求軌跡問(wèn)題,考查了對(duì)立事件的計(jì)算公式.18、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【解析】

（1）求出，當(dāng)時(shí)，求出，寫(xiě)出切線的點(diǎn)斜式方程，整理即可；（2）求出的定義域，（或）是否恒成立對(duì)分類(lèi)討論，若恒成立，得到單調(diào)區(qū)間，若不恒成立，求解，即可得到結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，在恒成立，的遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，綜上，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論思想，以及計(jì)算求解能力，屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】

(1)由絕對(duì)值不等式的解法可得解集；(2)由題意可得的最小值,運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得的最小值,再由一元二次不等式的解法可得所求范圍.【詳解】(1),可得或,解得或,即解集為.(2)，使得成立,即的最小值,由,當(dāng)且僅當(dāng)上式取得等號(hào),可得,解得.本題考查含有絕對(duì)值的不等式的解法,考查利用絕對(duì)值不等式解決能成立問(wèn)題中的最值,難度一般.20、（1）最大值是，最小值為1．（2）【解析】

（1）記的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，分析可得，結(jié)合，可得在R上是增函數(shù)，再，可得在上是增函數(shù)，即得解；（2）分，，三種情況分析的單調(diào)性，繼而分析的最小值，即得解.【詳解】（1）為表述簡(jiǎn)單起見(jiàn)，記的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．當(dāng)時(shí)，，則．，所以在R上是增函數(shù)．又，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)．故在上的最大值是，最小值為．（2），．①若，即時(shí)，，所以在R上是增函數(shù)．又，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，．可見(jiàn)，當(dāng)，．又是偶函數(shù)，所以恒成立．所以符合題意．②若，即時(shí)，，所以在R上是減函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，．這與恒成立矛盾，所以不符合題意．③當(dāng)時(shí)，．由，得．由的圖象，知存在唯一的，使得．當(dāng)時(shí)，．所以在上是減函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，．這與恒成立矛盾，所以不符合題意．綜上，a的取值范圍是．本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了二次求導(dǎo)，含參函數(shù)的最值，不等式恒成立問(wèn)題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，分類(lèi)討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.【解析】

（Ⅰ）由題意，得，可求出；（Ⅱ）由，得與同號(hào)，可得，再由可得，問(wèn)題得證；（Ⅲ）令，得，當(dāng)時(shí)，由可得，再由可使問(wèn)題得證.【詳解】（Ⅰ）解：由題意，，解得或（舍去）.（Ⅱ）證明：因?yàn)椋?/p>