江蘇省南京市江寧區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學第二學期期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若隨機變量的數(shù)學期望，則的值是()A． B． C． D．2．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．3．已知的邊上有一點滿足，則可表示為()A． B．C． D．4．定義：如果一個向量列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量，那么這個向量列做等差向量列，這個常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以為首項，公差的等差向量列.若向量與非零向量）垂直，則（）A． B． C． D．5．口袋中裝有5個形狀和大小完全相同的小球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任意取出3個小球，以表示取出球的最大號碼，則()A． B． C． D．6．在的展開式中，的系數(shù)等于A．280 B．300 C．210 D．1207．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．8．下列四個命題中，其中錯誤的個數(shù)是（）①經(jīng)過球面上任意兩點，可以作且只可以作一個大圓；②經(jīng)過球直徑的三等分點，作垂直于該直徑的兩個平面，則這兩個平面把球面分成三部分的面積相等；③球的面積是它大圓面積的四倍；④球面上兩點的球面距離，是這兩點所在截面圓上，以這兩點為端點的劣弧的長．A．0 B．1 C．2 D．39．若為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．-2 B．2 C．-3 D．310．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．11．從中不放回地依次取個數(shù)，事件表示“第次取到的是奇數(shù)”，事件表示“第次取到的是奇數(shù)”，則（）A．B．C．D．12．已知，則（）A．18 B．24 C．36 D．56二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一個容器，下部分是高為的圓柱體，上部分是與圓柱共底面且母線長為的圓錐，現(xiàn)不考慮該容器內(nèi)壁的厚度，則該容器的最大容積為___________．14．已知圓：的兩焦點為，，點滿足，則的取值范圍為______.15．若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則__________．16．若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的底面半徑為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系xOy中，已知傾斜角為α的直線l過點A（2，1）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點．（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程．（2）求｜AP｜?｜AQ｜的值．18．（12分）設橢圓經(jīng)過點，其離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于、兩點，且的面積為，求的值.19．（12分）已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件．20．（12分）已知函數(shù).（I）討論極值點的個數(shù).（II）若是的一個極值點，且，證明：.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，求證：.（為自然對數(shù)的底數(shù)）22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，點是的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：由題意結合二項分布數(shù)學期望的計算公式求解實數(shù)p的值即可.詳解：隨機變量則的數(shù)學期望，據(jù)此可知：，解得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查二項分布的數(shù)學期望公式及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、B【解析】

將橢圓方程化成標準式，根據(jù)橢圓的方程可求，進而可得長軸.【詳解】解：因為，所以，即，，所以，故長軸長為故選：本題主要考查了橢圓的定義的求解及基本概念的考查，屬于基礎題．3、D【解析】

由，結合題中條件即可得解.【詳解】由題意可知.故選D.本題主要考查了平面向量的基本定理，熟練掌握向量的加減法及數(shù)乘運算是解題的關鍵，屬于基礎題.4、D【解析】

先根據(jù)等差數(shù)列通項公式得向量，再根據(jù)向量垂直得遞推關系，最后根據(jù)累乘法求結果.【詳解】由題意得，因為向量與非零向量）垂直，所以因此故選：D本題考查等差數(shù)列通項公式、向量垂直坐標表示以及累乘法，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.5、A【解析】

首先計算各個情況概率,利用數(shù)學期望公式得到答案.【詳解】故.故本題正確答案為A.本題考查了概率的計算和數(shù)學期望的計算,意在考查學生的計算能力.6、D【解析】

根據(jù)二項式定理，把每一項里的系數(shù)單獨寫下來，然后相加，再根據(jù)組合數(shù)性質，化簡求值．【詳解】解：在的展開式中，項的系數(shù)為．故選D．本題主要考查二項式定理展開以及利用組合數(shù)性質進行化簡求值．7、C【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，再由兩直線垂直的條件，可得，b=2a，再由a，b，c的關系和離心率公式，即可得到所求．【詳解】雙曲線的漸近線方程為，直線的斜率為，由題意有，所以，，故離心率.故選：C．本題考查雙曲線的方程和性質，考查漸近線方程和離心率的求法，考查運算能力，屬于基礎題．8、C【解析】

結合球的有關概念:如球的大圓、球面積公式、球面距離等即可解決問題,對于球的大圓、球面積公式、球面距離等的含義的理解,是解決此題的關鍵.【詳解】對于①,若兩點是球的一條直徑的端點,則可以作無數(shù)個球的大圓,故①錯;

對于②三部分的面積都是，故②正確對于③,球面積=,是它大圓面積的四倍,故③正確;

對于④,球面上兩點的球面距離,是這兩點所在大圓上以這兩點為端點的劣弧的長,故④錯.

所以①④錯誤.

所以C選項是正確的.本題考查球的性質,特別是求兩點的球面距離,這兩個點肯定在球面上,做一個圓使它經(jīng)過這兩個點,且這個圓的圓心在球心上,兩點的球面距離對應的是這個圓兩點之間的對應的較短的那個弧的距離.9、C【解析】

本題首先可以確定復數(shù)的實部和虛部，然后根據(jù)純虛數(shù)的相關性質即可列出方程組，通過計算即可得出結果．【詳解】因為為純虛數(shù)，所以，解得，故選C．本題考查復數(shù)的相關性質，主要考查純虛數(shù)的相關性質，純虛數(shù)的實部為0且虛部不為0，考查運算求解能力，考查方程思想，是簡單題．10、B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函數(shù)的最大值.詳解：由柯西不等式得，所以（當且僅當即x=時取最大值）故答案為B.點睛：（1）本題主要考查柯西不等式求最值，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等式的代數(shù)形式：設均為實數(shù)，則，其中等號當且僅當時成立.11、D【解析】試題分析：由題意，，∴，故選D．考點：條件概率與獨立事件．12、B【解析】，故，.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設圓柱底面圓的半徑為，分別表示出圓柱和圓錐的體積，利用導數(shù)求得極值點，并判斷在極值點左右兩側的單調性，即可求得函數(shù)的最大值，即為容器的最大容積.【詳解】設圓柱底面圓的半徑為，圓柱體的高為，則圓柱的體積為；圓錐的高為，則圓錐的體積，所以該容器的容積為則，令，即，化簡可得，解得，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，所以當時，取得最大值；代入可得，故答案為：.本題考查了導數(shù)在體積最值問題中的綜合應用，圓柱與圓錐的體積公式應用，屬于中檔題.14、【解析】

點滿足則點在橢圓內(nèi),且不包含原點.故根據(jù)橢圓定義再分析即可.【詳解】由題有點在橢圓內(nèi),且不包含原點.故,又當在線段上（不包含原點）時取得最小值2.故.故答案為：本題主要考查了橢圓的定義及其性質,屬于基礎題型.15、【解析】

設出冪函數(shù)，代入點計算函數(shù)表達式，將代入得到答案.【詳解】設：，圖像經(jīng)過點，即故答案為本題考查了冪函數(shù)的計算，屬于簡單題.16、1【解析】

先根據(jù)側面展開是面積為的半圓算出圓錐的母線，再根據(jù)側面展開半圓的弧長即底面圓的周長求解.【詳解】如圖所示：設圓錐的半徑為r，高為h，母線長為l，因為圓錐的側面展開圖是半徑為l，面積為的半圓面，所以，解得，因為側面展開半圓的弧長即底面圓的周長，所以，故圓錐的底面半徑.本題考查圓錐的表面積的相關計算.主要依據(jù)側面展開的扇形的弧長即底面圓的半徑，扇形的弧長和面積計算公式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；x2＋y2＝2y；（2）3【解析】

（1）由直線的傾斜角與所過定點寫出直線的參數(shù)方程，再利用極坐標與直角坐標的互化公式，求得曲線的直角坐標方程，即可得到答案．（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程，得到關于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關系，以及的幾何意義，即可求解的值．【詳解】(1)由題意知，傾斜角為α的直線l過點A（2，1，所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，因為ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，把y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，設P、Q的參數(shù)分別為t1、t2，由根與系數(shù)的關系得t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3，且由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，所以|AP|·|AQ|=|t1|·|t2|=3.本題主要考查了直線的參數(shù)方程的求解，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應用，其中解答中熟記互化公式，以及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．18、(1);(2).【解析】分析：（1）由經(jīng)過點P，得，由離心率為得=，再根據(jù)a2=b2+c2聯(lián)立解方程組即可；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y，得，易知判別式△＞1，設A（x1，y1），B（x2，y2），弦長公式及點到直線的距離公式可表示出△PAB的面積，令其為，即可解出m值，驗證是否滿足△＞1．詳解：（1）解：由已知解得，，∴橢圓的方程為.（2）解：由得：由得：設，，則，∴又到的距離為，∴即，解得：.符合，故.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．19、(1)；(2)【解析】

（1）根據(jù)兩個集合的交集為，可知，即充要條件就是.（2）由（1）可知，要找充分不必要條件，即是在找一個值，都是符合題意的值.【詳解】(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件是－3≤a≤5；(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一個值，如取a＝0，此時必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分不必要條件．本小題主要考查利用集合的交集來求解參數(shù)的取值范圍，考查找充分不必要條件的方法，屬于中檔題.20、（I）答案不唯一，具體見解析（II）見解析【解析】

（I）根據(jù)題目條件，求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調區(qū)間，從而求得函數(shù)的極值的個數(shù)。（II）根據(jù)是的一個極值點，得出，再根據(jù)，求出的范圍，再利用（１）中的結論，得出的單調性，觀察得出，對與的大小關系進行分類討論，結合函數(shù)單調性，即可證明?！驹斀狻浚↖）∵，，．∴或1、當，即時，若，則，單調遞增；若，則，單調遞減；若，則，單調遞增；此時，有兩個極值點：，．2、當，即時，，f（x）單調遞增，此時無極值點.3、當，即時，若，則，單調遞增；若，則，單調遞減；若，則，單調遞增；此時，有兩個極值點：，．故當時，無極值點：當時，有兩個極值點.（II）由（Ⅰ）知，，且，∴，由（1）中3知：在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增又（這一步是此題的關鍵點，觀察力）1、當即時，在上單調遞減，此時，成立.2、當即時，成立.3、當即時，在上單調遞增.此時，成立.綜上所述，，當時，“=”成立.本題主要考查了求含有參數(shù)的函數(shù)的極值點的個數(shù)問題，以及利用利用導數(shù)證明不等式問題，解題時用到了分類討論的思想。21、（1）當時，只有增區(qū)間為，當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】分析：⑴求出函數(shù)的導數(shù)