第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習《四邊形中最值問題》專項測試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．已知：如圖，在矩形中，．在上取一點E，，點F是邊上的一個動點，以為一邊作菱形，使點N落在邊上，點M落在矩形內(nèi)或其邊上．若的面積為S．

(1)當四邊形是正方形時，求x的值；(2)當四邊形是菱形時，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當_____________時，的面積S最大；當_____________時，的面積S最??；(4)在的面積S由最大變?yōu)樽钚〉倪^程中，請直接寫出點M運動的路線長：_____________．2．在平面直角坐標系中，為原點，平行四邊形的頂點，，，矩形的頂點．(1)如圖1，與，交于點，．①直接寫出直線的解析式和點的坐標；②求證：四邊形為菱形；(2)如圖2，將矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．點，，，的對應(yīng)點分別為，，，．設(shè)，矩形與平行四邊形重合部分圖形的周長為．①在平移過程中，當矩形與平行四邊形重合部分為四邊形時，直接用含有的式子表示，并直接寫出的取值范圍；②如圖3，若的中點為，矩形對角線的交點為，連接，．在平移過程中，當最小時，直接寫出此時的值．3．菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點B作BE⊥AB交AC于點E．已知點F是AB邊上一點，且BF＝BE，過點F作PF⊥AB交BD延長線于點P，交AD于點Q．(1)如圖（1），若F是AB的中點，且BE＝2，求PD的長；(2)如圖（2），求證：AQ＝BE+PQ；(3)如圖（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．點P是對角線上的動點，過點B作BM垂直直線AP于點M．點N是CD邊上的動點，請直接寫出+MN的最小值．4．在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2(1)如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．5．如圖①，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，M是正方形對角線BD（不含B、D兩個端點）上任意一點，將△BAM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BEN，連接EA、MN；P是AD的中點，連接PM．（1）AM+PM的最小值等于；（2）求證：△BNM是等邊三角形；（3）如圖②，以B為坐標原點建立平面直角坐標系，若點M使得AM+BM+CM的值最小，求M點的坐標．6．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB邊上任意一點，連接AD，以點D為旋轉(zhuǎn)中心，將線段DA順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A的對應(yīng)點是點E，連接AE，取AE的中點F，連接DF．（1）如圖1，若∠CAD=30°，DF=6，求線段CD的長．（2）如圖1，連接CF，求證：；（3）如圖2，若AC=6，BC＝8，點D在線段BC上運動，點G在線段DE上運動，連接AG，取線段AG的中點P，連接BP、BF、PF，當線段PB最大時，直接寫出△BPF的面積．7．如圖，在菱形中，，，為對角線上一點（不與點、重合），過點作，使得，連接、、．（1）當時，求的長度．（2）如圖，延長、交于點，求證：；（3）如圖，連接，則的最小值是．8．如圖，在平行四邊形中，，將平行四邊形沿過點的直線折疊，使點落到邊上的點處，折痕交邊于點．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若點是直線上的一個動點，請作出使為最小值的點，并計算．9．在矩形紙片中，，點、在矩形的邊上，連接，將紙片沿折疊，點的對應(yīng)點為點．（1）如圖①，若點在邊上，當點與點重合時，則______°，當點與點重合時，則______°．（2）如圖②，若點在邊上，且點、分別在、邊上，則線段的取值范圍是______；（3）如圖③，若點與點重合，點在上，線段、交于點，且，求線段的長度．

10．如圖所示，為平行四邊形，，，，且，點為直線上一動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）求平行四邊形的面積；（2）當點，，三點共線時，設(shè)與相交于點，求線段的長；（3）求線段的長度的最小值．11．如圖1，四邊形為邊長為8的正方形，中，且．如圖1所示放置，點與重合，在邊上，將沿邊方向平移，平移距離為個單位長度后，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中點始終在四邊形內(nèi)部（含點落在正方形邊上）．點為的中點且點到的距離為．，，，

(1)當時，旋轉(zhuǎn)度時，點到的距離最小，最小值為．(2)如圖2，當時，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，點落在邊上，請求出此時點到邊的距離（用含x的代數(shù)式表示）．(3)如圖3，當時，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，使點落在邊上，求平移和旋轉(zhuǎn)過程中邊掃過的面積，并直接寫出此過程中d的取值范圍．(4)如圖4，保持圖1中的形狀不變，改變它的大小，使，并將其沿邊翻折后向下平移，使點與點重合，若將在正方形內(nèi)部繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)（頂點可以落在正方形的邊上），請直接寫出的d的最大值．12．如圖1，在矩形中，，，點E在射線上運動，將沿翻折，使得點A與點G重合，連接交于點F．(1)【初步探究】當點G落在邊上時，求的長；(2)【深入探究】在點E的運動過程中，是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，點P為的中點，連接，點E在射線上運動過程中，求長的最大值．13．如圖，在菱形中，對角線，相交于點，，．動點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，動點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．以，為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點．設(shè)運動時間為，單位：s）．(1)當點M在上時，求t的值；(2)連接BE．設(shè)的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；(3)是否存在某一時刻t，使點B在的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(4)連接BM，直接寫出長的最小值．14．如圖①．已知是等腰直角三角形，，點D是的中點，作正方形，使點，分別在和上，連接，．

(1)試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論；(2)將正方形繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于，小于或等于），如圖②，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由；(3)若，在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，①當為最大值時，則___________．②當為最小值時，則___________．15．如圖，在等邊中，為線段上一動點（不與、重合），連接．(1)如圖1，若，，求線段的長；(2)如圖2，為線段上一動點，滿足，連接交于點，過點作平行且等于，連接，取中點，連接，求證：；(3)如圖3，若，當取最小值時，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至線段，連接，請直接寫出的最大值．（較容易）參考答案1．(1)(2)(3)①，②(4)【分析】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識；（1）只要證明即可解決問題；（2）如圖，連接，作于，想辦法證明，可得，由此即可解決問題；（3）①如圖3中，當點與重合時，的值最小，的面積最大，在中，．②如圖4中，當點在上時，的值最大，的面積最??；（4）如圖3中，在的面積由最大變?yōu)樽钚〉倪^程中，點的運動軌跡是平行的線段，點運動的路線長的長．【詳解】（1）四邊形是正方形，，，，，，∴，，．，，．故答案為：．（2）如圖，連接，作于，則，，

四邊形是菱形，，，，矩形中，，，，即，，，，，．與的函數(shù)關(guān)系式；（3）①如圖3中，當點與重合時，的值最小，的面積最大，

在中，，的最大值．②如圖4中，當點在上時，的值最大，的面積最小，此時易證，，，；故答案為：①，②．（4）如圖3中，在的面積由最大變?yōu)樽钚〉倪^程中，點的運動軌跡是平行的線段，即點運動的路線長的長，故答案為：．2．(1)①；②見解析(2)①當時，重疊部分是菱形，此時；當時，此時；②【分析】（1）①根據(jù)，，計算；結(jié)合平行四邊形，得到，結(jié)合，得到點C與點D的縱坐標相同即，設(shè)直線的解析式為，代入解答即可；根據(jù)，得到點，代入解析式解答即可．②過點H作于點Q，根據(jù)平行四邊形，得到，根據(jù)矩形得到，得證四邊形為平行四邊形．根據(jù)坐標，得到，據(jù)勾股定理，得，結(jié)合，得到，得證四邊形為菱形；（2）①設(shè)直線的解析式為，確定解析式，過點G作于點P，則，當時，重疊部分是菱形，此時；過點H作于點N，當時，重疊部分是四邊形，此時；②過點N作，交于點Q，則四邊形是平行四邊形，，當E，N，Q三點共線時，取得最小值，解答即可．【詳解】（1）解：①∵，，∴；∵平行四邊形，得到，，∴點C與點D的縱坐標相同即，設(shè)直線的解析式為，解得，故的解析式為．∵矩形的頂點，設(shè)點，代入解析式，得，解得，故點．②過點H作于點Q，∵平行四邊形，∴，∵矩形∴，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴，據(jù)勾股定理，得，∵，∴,∴四邊形為菱形．（2）①∵，，設(shè)直線的解析式為，解得，故的解析式為．∵矩形的頂點，設(shè)點，代入解析式，得，解得，故點．過點G作于點P，則，當時，重疊部分是菱形，此時；過點H作于點N，∵，，當時，重疊部分是四邊形，此時，，；此時；②根據(jù)題意，得的中點為，矩形對角線的交點為，則直線是矩形的對稱軸，∴，∵，∴；∴；∴，，過點N作，交于點Q，則四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，∴當E，N，Q三點共線時，取得最小值，設(shè)與的交點為R，根據(jù)題意，得，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，過點H作于點P，則四邊形是矩形，∴；，∵，，∴，∴，∴，此時的值為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形不等式的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，三角形中位線定理的判定和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法，三角形不等式的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）利用全等三角形的性質(zhì)證明，利用勾股定理求出，再利用面積法求出，可得結(jié)論；（2）如圖2中，連接，，過點作于點，作交于點，在上取一點，使得，連接．利用全等三角形的性質(zhì)證明，，證明四邊形是正方形，推出，再證明，可得結(jié)論；（3）如圖3中，取的中點，連接，延長到，使得，連接，過點作于點，過點作于，交于點，交于點．由，推出，由，推出的最小值，求出，即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1中，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，，，．（2）證明：如圖2中，連接，，過點作于點，作交于點，在上取一點，使得．由（1）可知，，，，，，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，四邊形是菱形，，關(guān)于對稱，，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖3中，取的中點，連接，延長到，使得，連接，，點在以為直徑的圓上運動，四邊形是菱形，，是等邊三角形，，，，，，是等腰直角三角形，過點作于點，過點作于，交于點，交于點．，，，，，的最小值，是等邊三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，的最小值為．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用垂線段最短，解決最短問題，屬于中考壓軸題．4．(1)見解析(2)4(3)7【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度；（3）要使四邊形PQNM的周長最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點P關(guān)于AD的對稱點F，作點Q關(guān)于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，由面積和差關(guān)系可求解．【詳解】（1）解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵點E是CD的中點，點Q是BC的中點，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如圖③，作點P關(guān)于AD的對稱點F，作點Q關(guān)于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，連接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四邊形PQNM的面積=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱求最短距離，直角三角形的性質(zhì)；通過構(gòu)造平行四邊形和軸對稱找到點P和點Q位置是解題的關(guān)鍵．5．（1）；（2）見解析；（3），【分析】（1）如圖①中，連接PC．利用勾股定理求出PC，再證明AM=MC，推出AM+PM=PM+CM≥PC，由此可得結(jié)論．（2）根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可．（3）首先說明E，N，M，C共線時，AM+BM+CM的值最小，此時點M在EC與BD的交點處，求出直線EC，BD的解析式，構(gòu)建方程組可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①中，連接．四邊形是正方形，，，，是的中點，，，，，，，，，，，的最小值為．故答案為：．（2）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，是等邊三角形．（3）解：如圖②中，過點作軸于，連接．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，是等邊三角形，，，，，，，共線時，的值最小，此時點在與的交點處，，，，，，，，，，設(shè)直線解析式為，則有，解得，，同法可得直線的解析式為，由，解得，，．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)的應(yīng)用，最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，構(gòu)建方程組確定交點坐標，屬于中考壓軸題．6．（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）由題知為等腰直角三角形，根據(jù)，算出，再利用特殊角三角函數(shù)求出即可；（2）過作交延長線于，根據(jù)證，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意知，當點向右移動，點向右上移動時變大，當點向左，點向左下移動時也變大，分別求出兩種情況的最大值，再比較得出的最大值，然后根據(jù)面積公式求出三角形面積即可．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)知，為等腰直角三角形，，，又，；（2）過點作交延長線于，，，，為等腰直角三角形，點為其斜邊上的中點，，，，，又，，，在和中，，，，，為等腰直角三角形，，即；（3）根據(jù)題意知，當點向右移動，點向右上移動時變大，當點向左，點向左下移動時也變大，取兩種情況下的最大值再比較大小，確定的最大值，①當與重合，與重合時，如圖3，此時，，②當，，三點重合時，如圖4，，，，，當，，三點重合時，即圖4情況下最大，此時，為的中位線，，，即當最大時，的面積是．【點睛】本題主要考查特殊角三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識點，用臨界值法找出PB的最大值是解題的關(guān)鍵．7．（1）1；（2）證明見解析；（3）3【分析】（1）過點作與點，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，側(cè)H是CD的中點，利用銳角三角函數(shù)求出DM的長；（2）證明，可以得到，再根據(jù)菱形和平行四邊形的性質(zhì)證明，，就可以得到；（3）連接，作過對稱點，連結(jié)，利用軸對稱的性質(zhì)得到，的最小值就是．【詳解】（1）如圖，過點作與點，四邊形是菱形，平分，，，，在中，，；（2），，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，；（3）如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴，，∵，∴，∴，連接CN并延長交AB的延長線于點P，∵，，∴四邊形CDMN是平行四邊形，∴當點M從點D向點B運動時，點N從點C向點P運動，，由（2）知，四邊形ABNM是平行四邊形，∴，∴，而最小，即最小，作點B關(guān)于CP的對稱點，當點A、N、在同一條直線上的時候，最小，即的最小值為，連接、，由對稱得，，∴是等邊三角形，過點作于點Q，∴，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，∴最小值是3．【點睛】本題考查平行四邊形和菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，以及線段和最小問題，解題的關(guān)鍵是掌握這些幾何的性質(zhì)定理，掌握用銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法，用軸對稱的性質(zhì)求線段和最小值的方法．8．（1）見解析；（2）作圖見解析，【分析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出，進而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形是平行四邊形，進而求出四邊形是平行四邊形，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，然后又菱形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由四邊形是平行四邊形，得到是菱形，推出與關(guān)于對稱，連接交于，則的長即為的最小值，過作于，解直角三角形得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：證明：（1）將沿過點的直線折疊，使點落到邊上的點處，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形；，，，，是菱形；（2）四邊形是菱形，與關(guān)于對稱，連接交于，則的長即為的最小值，過作于，，，，，，，，的最小值為．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，最短距離問題，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（1）90，45；（2）；（3）【分析】（1）當點與點重合時，是的中垂線，得出；當點與點重合時，此時；（2）由題意可知當點E與點A重合時，AP達到最長，可知四邊形EPFD為正方形，可算出AP的長度；當點F與點C重合時，AP長度達到最小，利用勾股定理可算出AP的長度；（3）連接，設(shè)．由折疊知：，，，證明，得出，則，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）當點P與點A重合時，如圖4，是AD的中垂線，．

當點E與點A重合時，如圖5，此時，

故答案為：；．（2）如圖6所示，連接，則是的中垂線，∴，在中，，即，當點與點重合時，；當與重合時，的值最小，連接，由折疊的性質(zhì)得：，在中，由勾股定理得，∴，∴線段的取值范圍是．故答案為：．

（3）如圖7所示，連接，設(shè)．由折疊知：，，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，，在中，，∴，解得．∴．

【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵，本題難度適中，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想．10．（1）300；（2）；（3）【分析】（1）如圖所示，過點作交的延長線于點，先根據(jù)現(xiàn)有條件求出AK，然后即可求出平行四邊形的面積；（2）如圖所示，延長到使得，先證明得出，，，再證明，得出即可求出BG；（3）如圖所示，作點關(guān)于直線的對稱點，連接、、，以為圓心，為半徑作圓，根據(jù)已知推出點在與直線夾角為且經(jīng)過點的直線上運動，設(shè)直線與交于點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，過點作于，當點與重合時，取得最小值，易得，然后證明為等腰三角形，求出，，，，，根據(jù)得出即可求出答案．【詳解】（1）如圖所示，過點作交的延長線于點，，，，，，，平行四邊形的面積為；（2）如圖所示，延長到使得，，，，，，又，，由，，，，，，，由（1）得，在中，，，，，，，，，；（3）如圖所示，作點關(guān)于直線的對稱點，連接、、，以為圓心，為半徑作圓，，點、在上，，，點在與直線夾角為且經(jīng)過點的直線上運動，設(shè)直線與交于點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，過點作于，當點與重合時，取得最小值，易得，，又，，為等腰三角形，，由（2）得，，，又，，在中，，由，，，，即的長度的最小值是．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，正確作出輔助線，熟練運用幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．(1)90；4(2)(3)(4)【分析】（1）利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論；（2）過點作的平行線，分別交，于點，，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得，則此時點到邊的距離為；（3）過點作的平行線，分別交，于點，，連接，利用矩形的判定與性質(zhì)和三角形的中位線定理求得，則的最大值可求；當時，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，使點落到邊上，平移和旋轉(zhuǎn)過程中邊掃過的面積為一個矩形和一個以點為圓心，為半徑的扇形的和，分別計算矩形與扇形面積即可；設(shè)交于點，由題意可知的最小值為，則的取值范圍可得；（4）設(shè)在正方形內(nèi)部繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點落在邊上的處，點旋轉(zhuǎn)至點處，過點作于點，則的最大值為，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：中，，，，．當時，旋轉(zhuǎn)到點落在上時，點到的距離最小，旋轉(zhuǎn)90度時，點到的距離最小，最小值為．故答案為：90；4；（2）如圖，當時，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，點落在邊上，過點作的平行線，分別交，于點，，

則四邊形為矩形，，，，，，，，，．由題意得：，，，，，，．點到邊的距離為；（3）過點作的平行線，分別交，于點，，連接，如圖，

則四邊形為矩形，，為的中點，，，的最大值為．，，，當時，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，使點落到邊上，平移和旋轉(zhuǎn)過程中邊掃過的面積為一個矩形和一個以點為圓心，為半徑的扇形的和，此時，，，設(shè)旋轉(zhuǎn)后點落在點處，則，

，，，，的旋轉(zhuǎn)角度為，．平移和旋轉(zhuǎn)過程中邊掃過的面積．設(shè)交于點，，則的最小值為．此過程中的取值范圍為：．（4），，，．設(shè)在正方形內(nèi)部繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點落在邊上的處，點旋轉(zhuǎn)至點處，如圖，

則點旋轉(zhuǎn)至處時，取得最大值，，，．過點作于點，則的最大值為．，點為的中點，，．在中，，，，，旋轉(zhuǎn)角為，，，，在中，，，的最大值為．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，圖形的平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，扇形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．(1)(2)在點的運動過程中，存在最小值，的最小值為(3)點在射線上運動過程中，長的最大值為【分析】（1）由翻折得：，根據(jù)勾股定理可得，再由，即可求得答案；（2）以為圓心，長為半徑作，可得點在上運動，當點在線段上時，最小，此時，，由勾股定理可得，即可求得的最小值為；（3）以為圓心，長為半徑作，延長至，使，連接，根據(jù)三角形中位線定理可得，則最大時，最大，由于點在上運動，當經(jīng)過點時，最大，即可求得答案．【詳解】（1）當點落在邊上時，如圖1，四邊形是矩形，，，，由翻折得：，在中，，；（2）如圖2，以為圓心，長為半徑作，由翻折得：，點在上運動，當點在線段上時，最小，此時，，在中，，，故在點的運動過程中，存在最小值，的最小值為；（3）如圖3，以為圓心，長為半徑作，延長至，使，連接，

，點是的中點，點為的中點，是的中位線，，則最大時，最大，

由翻折得：，點在上運動，當經(jīng)過點時，最大，如圖4，在中，，，，故點在射線上運動過程中，長的最大值為．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，圓的有關(guān)性質(zhì)，點到圓上各點距離的最大值和最小值的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是運用三角形中位線定理和圓中的最值．13．(1)；(2)，S的最大值為10；(3)存在，；(4)．【分析】（1）證明，則，即可求解；（2）由，即可求解；（3）當點在的平分線上時，則，在中，，即可求解；（4）當點Q與點D重合時，點P到達線段的中點，點M到達線段的中點，點M始終在射線上，過點B作，當點M與點重合時，線段最短，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）由題意得：，，，，如下圖，點在上時，，，，，，則，即，解得：；（2）如上圖，，，四邊形是菱形，則，，為等腰三角形，則，過點作于點，則，即，解得：，則，設(shè)中邊上的高為，則，，故有最大值，當時，的最大值為10；（3）存在，理由：如下圖，過點作于點，當點在的平分線上時，則，在中，，解得：．（4）如圖，由題意得，當點Q與點D重合時，點P到達線段的中