第14講

二次函數(shù)的實際應(yīng)用

目錄CONTENTS12課標要求

作業(yè)目標重點精講·變式探究課標要求作業(yè)目標

01第三單元

第14講課標要求作業(yè)目標二次函數(shù)的實際應(yīng)用通過對實際問題的分析，建立二次函數(shù)的模型，能利用二次函數(shù)解決簡單的實際問題.能夠從實際問題中抽象出二次函數(shù)關(guān)系,并運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題,體會數(shù)學建模思想,體會函數(shù)模型在反映現(xiàn)實世界的運動變化中的作用要求與目標重難精講變式探究

03第三單元

第14講例1

原創(chuàng)教材變式某超市新進某種水果進行銷售，其進價為20元/kg，設(shè)第x天的銷售價格為y元/kg，銷售量為mkg.根據(jù)前50天的數(shù)據(jù)得出以下的銷售規(guī)律：①y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，且當x＝30時，y＝40；當x＝40時，y＝30.②m與x的關(guān)系為m＝5x＋50.(1)求y與x的關(guān)系式及x的取值范圍；解：(1)設(shè)y＝kx＋b，

∴y與x的關(guān)系式為y＝－x＋70，x的取值范圍是0＜x≤50.待定系數(shù)法求一次函數(shù)注意0＜x≤50(2)該水果每千克銷售利潤為

元，每天的銷售利潤

W(元)為

；(用含

x

的式子表示)(－x＋50)

－5x2＋200x＋2500

例1

原創(chuàng)教材變式某超市新進某種水果進行銷售，其進價為20元/kg，設(shè)第x天的銷售價格為y元/kg，銷售量為mkg.根據(jù)前50天的數(shù)據(jù)得出以下的銷售規(guī)律：①y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，②m與x的關(guān)系為m＝5x＋50.y＝－x＋70，0＜x≤50.單利潤＝單售價－單進價單利潤＝y(tǒng)－20＝－x＋70－20＝－x＋50總利潤＝單利潤×數(shù)量W＝(－x＋50)m＝(－x＋50)(5x＋50)W＝－5x2＋200x＋2500(3)當x為

時，銷售利潤W為4000元；(4)當x為

時，銷售利潤

W(元)最大，

最大利潤為

元；30或10

20

4500

例1

原創(chuàng)教材變式某超市新進某種水果進行銷售，其進價為20元/kg，設(shè)第x天的銷售價格為y元/kg，銷售量為mkg.根據(jù)前50天的數(shù)據(jù)得出以下的銷售規(guī)律：①y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，y＝－x＋70，0＜x≤50.②m與x的關(guān)系為m＝5x＋50.每天的銷售利潤

W＝－5x2＋200x＋2500

W＝－5(x－20)2＋4500－5x2＋200x＋2500＝4000x1＝30，x2＝10(5)當40≤x≤45時，x＝

時銷售利潤W(元)最大，最大利

潤為

元；【易錯】(6)要想銷售利潤不少于4375元，則x的取值范圍為

.【方法】40

2500

15≤x≤25

例1

原創(chuàng)教材變式某超市新進某種水果進行銷售，其進價為20元/kg，設(shè)第x天的銷售價格為y元/kg，銷售量為mkg.根據(jù)前50天的數(shù)據(jù)得出以下的銷售規(guī)律：①y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，y＝－x＋70，0＜x≤50.②m與x的關(guān)系為m＝5x＋50.每天的銷售利潤

W＝－5x2＋200x＋2500

W＝－5(x－20)2＋4500在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小Oxy4375

W≥4375－5(x－20)2＋4500＝4375x1＝15，x2＝25解題策略易錯：求利潤最值時，應(yīng)注意對稱軸與x的取值范圍之間的關(guān)

系，當頂點不在區(qū)間內(nèi)時，應(yīng)注意最值不取頂點的縱坐標，要

根據(jù)函數(shù)的增減性來確定最值.方法：確定不等關(guān)系時，可先構(gòu)建方程求解，再結(jié)合圖象確定

范圍.例2原創(chuàng)教材變式如下圖①，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻

(墻長21m)的空地上用柵欄圍成一個矩形綠化帶ABCD，綠化

帶的一邊靠墻，另三邊用總長為48m的柵欄圍住.設(shè)

AB的長為

xm，矩形綠化帶的面積為ym2.(1)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

，自變量x

的

取值范圍為

?.y＝－2x2＋48x

13.5≤x＜24

48－2xxy＝x(48－2x)＝－2x2＋48x0＜AD≤21

0＜48－2x≤2113.5≤x＜24(1)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

y＝－2x2＋48x，

自變量

x

的取值范圍為

13.5≤x＜24.(2)當AB的長為多少時，矩形綠化帶ABCD的面積最大？請求

出其最大面積.

∴當13.5≤x＜24時，y隨x的增大而減小.∴當x＝13.5時，y的值最大，為－2×13.52＋48×13.5＝283.5.

∴當AB長為13.5m時，綠化帶的面積最大，為283.5m2.48－2xx求

y

的最大值(3)若要在圍成的矩形綠化帶中間加一道柵欄(如下圖②)，求出此時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.當x為何值時，綠化帶的面積最大？例2原創(chuàng)教材變式如下圖①，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長21m)的空地上用柵欄圍成一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶的一邊靠墻，另三邊用總長為48m的柵欄圍住.設(shè)AB的長為xm，矩形綠化帶的面積為ym2.解：∵柵欄總長為48m，AB的長為xm，∴BC＝(48－3x)m.∴y＝x(48－3x)＝－3x2＋48x.由題意可得0＜48－3x≤21，解得9≤x＜16.∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－3x2＋48x(9≤x＜16).

∴當9≤x＜16時，y隨x的增大而減小.∴當x＝9時，綠化帶的面積最大.48－3xxxx易錯題醒在解決二次函數(shù)相關(guān)的實際問題時，要注意自變量的取值范

圍，且要符合實際意義，本題需要注意0＜AD≤21.可求這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為

.當y＝6時，求出此時自變量x的取值為

，即可解決這個問題.例3原創(chuàng)教材變式下圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面

8m時，水面寬AB為12m.當水面上升6m時達到警戒水位，此時拱橋內(nèi)的水面寬度是多少米？下面給出了解決這個問題的兩種方法，請補充完整：方法一：如下圖①，以點A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy，此時點B的坐標為(

，

)，拋物線的頂點坐標為(

，

).12

0

6

8

3或9

12

6

8

xyO方法二：如上圖②，以拋物線頂點為原點，對稱軸為

y軸，建立平面直角坐標系xOy，這時這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為

.當y＝

時，求出此時自變量x的取值為

，即可解決這個問題.由此可知，水面上升6m達到警戒水位時，此時拱橋內(nèi)的水面寬度是

m.

－2

±3

6

例3原創(chuàng)教材變式下圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面

8m時，水面寬AB為12m.當水面上升6m時達到警戒水位，此時拱橋內(nèi)的水面寬度是多少米？xyO此時y＝－2-8-2-33B(6，－8)設(shè)y＝ax2代入【延伸設(shè)問】若按照方法二建立直角坐標系，當水面達到警戒水位時，一艘裝滿物資的小船，露出水面的高為0.5m、寬為4m(橫斷面如下圖)，這艘船能從這座橋下通過嗎？請說明理由.

延伸設(shè)問題圖∴能通過.-8-2-33

解題策略方法1：根據(jù)已知條件，建立合適的平面直角坐標系能使所設(shè)

的解析式形式最簡(原則上盡量讓坐標軸上的數(shù)據(jù)為已知數(shù)據(jù)，

有利于坐標的表示).方法2：解決拋球、投籃、隧道、拱橋、噴泉水柱等問題需要

理解所求問題的幾何意義：(1)判斷拋球是否過網(wǎng)即判斷網(wǎng)的上

端點是否在拋物線的下方；(2)判斷投籃能否投中即判斷籃筐是

否在拋物線上；(3)判斷貨車、船能否通過隧道、拱橋即判斷兩

端點是否在拋物線下方；(4)判斷人是否會被噴泉淋濕即判斷人

所處位置的水柱高度是否比人的身高更高.1.

如下圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系：h＝－5t2＋30t，則當小球飛行高度達到最高時，飛行時間t＝

s.第1題圖3

2.

某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一

根部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的

水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心

的水平距離也為3m，那么水管的設(shè)計高度應(yīng)為

?.

(1)A，B兩種客房每間定價分別是多少元？解：(1)設(shè)A種客房每間定價是x元，B種客房每間定價是y元，

答：