PAGEPAGE1考查角度2最值和取值范圍問題分類透析一利用函數(shù)的性質(zhì)求最值例1如圖,已知拋物線x2=y,點(diǎn)A-12,14,B32,94,拋物線上的點(diǎn)P(x,y(1)求直線AP斜率的取值范圍;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.分析(1)求出AP的斜率k與x的關(guān)系式,利用-12<x<3(2)求出|PA|·|PQ|關(guān)于k的關(guān)系式,構(gòu)造函數(shù),用導(dǎo)數(shù)求出其最大值.解析(1)設(shè)直線AP的斜率為k,k=x2-1因?yàn)?12<x<3所以直線AP斜率的取值范圍是(-1,1).(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程kx解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ=-k因?yàn)閨PA|=1+k2x+1|PQ|=1+k2(xQ-x)=-所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因?yàn)閒'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在區(qū)間-1,1因此當(dāng)k=12時(shí),|PA|·|PQ|取得最大值27方法技巧本題在求最大值時(shí),得到的結(jié)果是關(guān)于k的四次函數(shù),可以通過求導(dǎo)找出要求的最值.一般狀況下,若表達(dá)式不易轉(zhuǎn)化為基本不等式或者二次函數(shù)模型,但易求其導(dǎo)數(shù)時(shí),通?？梢酝ㄟ^求導(dǎo)找出最值.分類透析二利用不等關(guān)系或均值不等式求最值例2已知點(diǎn)P為橢圓E:x24+y22=1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q滿意(1)求點(diǎn)Q的軌跡M的方程;(2)直線l:y=kx+n與M相切,且與圓x2+y2=49交于A,B兩點(diǎn),求△ABO面積的最大值(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))分析(1)設(shè)P(x,y),Q(x0,y0),由已知找出坐標(biāo)的關(guān)系,用相關(guān)點(diǎn)法求出軌跡方程;(2)由直線與橢圓相切,聯(lián)立兩個(gè)方程,消去y建立一元二次方程,通過判別式等于0,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量k,n的等量關(guān)系.求三角形的面積,可利用弦長公式求出底邊的長,再利用點(diǎn)到直線的距離求出高,進(jìn)而可以確定面積,然后利用均值不等式求其最大值.解析(1)設(shè)Q(x,y),P(x0,y0),由OQ=13得(x,y)=13(x0,y0),則又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓E上,故(3x)2即點(diǎn)Q的軌跡M的方程為x249+y(2)直線l:y=kx+n與橢圓M:x249+y229=1相切,故由y=kx+n,x249+y2因?yàn)棣?(36kn)2-4(18k2+9)(18n2-4)=4×18(4k2-9n2+2)=0,所以4k2=9n2-2(明顯n≠0).因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離d=|n所以|AB|=249因?yàn)?k2=9n2-2,所以n2≥29所以d2=n2k2+1=則S△AOB=12·|AB|·d=12·249-d2·d=49-d2·d2≤29,當(dāng)且僅當(dāng)49-d方法技巧解決圓錐曲線中的最值問題,一般有兩種方法:一是幾何法,特殊是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解;二是代數(shù)法,將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題(即依據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù)),然后依據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等,求解最大或最小值.分類透析三取值范圍問題例3已知橢圓C:x2a2+y2b2=1((1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),線段MN的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P(0,y0),求y0的取值范圍.分析(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)知c=1,由離心率知a=2,進(jìn)而可求得b2,得到橢圓方程;(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)為Q(x3,y3),探討直線MN的斜率k,當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)出直線MN的方程,代入橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系,得到x3,y3與k的關(guān)系,再求出線段MN的垂直平分線,從而求出y0及其取值范圍.解析(1)依題意,得c=1.因?yàn)闄E圓C的離心率為e=12所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故橢圓C的方程為x24+y2(2)當(dāng)MN⊥x軸時(shí),明顯y0=0.當(dāng)MN與x軸不垂直時(shí),可設(shè)直線MN的方程為y=k(x-1)(k≠0).由y=k(x-1),x24+y23=1,消去y并整理得(3+4k2設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點(diǎn)為Q(x3,y3),則x1+x2=8k所以x3=x1+x22=4k23+4k2,y故線段MN的垂直平分線的方程為y+3k3+4k2=-1k在上述方程中,令x=0,得y0=k3+4k2當(dāng)k<0時(shí),3k+4k≤-43當(dāng)且僅當(dāng)3k=4k,k=-3當(dāng)k>0時(shí),3k+4k≥43,當(dāng)且僅當(dāng)3k=4k,k=3所以-312≤y0<0或0<y0≤3綜上所述,y0的取值范圍是-3方法技巧在求解圓錐曲線中的取值范圍問題時(shí),若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的取值范圍.在利用代數(shù)法解決取值范圍問題時(shí),常從以下方面考慮:①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用已知參數(shù)的取值范圍,求新參數(shù)的取值范圍,解這類問題的關(guān)鍵是兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系;③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍;⑤利用求函數(shù)的值域的方法,確定參數(shù)的取值范圍.1.(2024年全國Ⅲ卷,文20改編)已知斜率為1的直線m與橢圓C:x24+y23=1交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(x0(1)證明:|n|<37(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于G,H兩點(diǎn),線段GH的中點(diǎn)為P,過點(diǎn)P垂直于GH的直線與x軸交于點(diǎn)D17,0,求證解析(1)設(shè)直線AB的方程為y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2).由方程組y=x+b,3x2+4y2=12消去y得關(guān)于x的方程7x由直線m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),知Δ>0,即|b|<7.由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-8b7,y1+y2=(x1+b)+(x2+b)=x1+x2+2b=∴n=y1+y22=(2)設(shè)過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0),設(shè)G(x3,y3),H(x4,y4),聯(lián)立y=k(x-1),x24+y23=1整理得(4k2+由韋達(dá)定理得x3+x4=8k23+4k2,x3·則y3+y4=k(x1+x2)-2k=-6k∵P為線段GH的中點(diǎn),∴P的坐標(biāo)為4k又直線PD的斜率為-1k,故直線PD的方程為y--3k令y=0,得x=k2∵直線AB與x軸交于點(diǎn)D17,0,∴k23+4k2=172.(2024年浙江卷,21改編)如圖,已知拋物線C:y2=2px(p≠0)的焦點(diǎn)F在直線2x+y-2=0上,點(diǎn)P是拋物線C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的隨意一點(diǎn),拋物線在點(diǎn)P處的切線分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、E.(1)設(shè)PE=λPB,求證:λ為定值.(2)在(1)的條件下,直線PF與拋物線C交于另一點(diǎn)A,求△PAB面積的最小值.解析(1)由題意知,拋物線C的焦點(diǎn)Fp2,0在在方程2x+y-2=0中,令y=0,得x=1,所以p=2.所以拋物線C的方程為y2=4x.由點(diǎn)P是C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的隨意一點(diǎn),設(shè)Pt24,t設(shè)切線BP的斜率為k,則切線BP的方程為y-t=kx-由y-t=kx-t24,y2=4x,由k≠0,Δ=16-4k(-kt2+4t)=0,可得4(kt-2)2=0.所以kt-2=0.所以切線BP的斜率k=2t所以切線BP的方程為y-t=2tx-t24在y=2tx+t2中,令x=0,得y=所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為0,在y=2tx+t2中,令y=0,得x=-所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為-t所以PE=0,t2-t24,t=-t2所以PE=12PB.故λ=1(2)由直線FP過點(diǎn)F(1,0),設(shè)直線FP的方程為x=my+1.由x=my+1,y2=4x,消去由韋達(dá)定理,得yAyP=-4.所以yA=-4yP=-于是S△PAB=12·|BF|·|yA-yP|=12·1+t24·-4t-令f(t)=18(4+t2)·4t+t(t≠0),則f(t)為偶函數(shù),只需探討函數(shù)f(t)在當(dāng)t>0時(shí),f(t)=18(4+t2)·4t+tf'(t)=183t2+8-16t2=18t2(3t4+8t2-16)當(dāng)0<t<233時(shí),f'(t)<0,f(當(dāng)t>233時(shí),f'(t)>0,f(t所以當(dāng)t>0時(shí),函數(shù)f(t)在t=233時(shí)取得最小值f23因?yàn)閒(t)為偶函數(shù),所以當(dāng)t<0時(shí),函數(shù)f(t)在t=-233時(shí)取得最小值f-2當(dāng)t=233時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為當(dāng)t=-233時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為綜上所述,△PAB面積的最小值為163此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為13,21.(2024年江西上饒模擬)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上,若右焦點(diǎn)到直線x-y+22=0的距離為3.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)M,N,當(dāng)AM=AN時(shí),求m的取值范圍.解析(1)依題意可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2=1,則右焦點(diǎn)F(由題設(shè)知|a2-1+22|故所求橢圓的方程為x23+y2=(2)由y得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0.由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),則Δ>0,即m2<3k2+1.①設(shè)P為弦MN的中點(diǎn),∴xP=xM+x∴yP=kxP+m=m3∴kAP=yP+1x又AM=AN,∴AP⊥MN,則-m+3k2+13mk=-1k,即2把②代入①,得2m>m2,解得0<m<2.又由②得k2=2m-13>∴所求m的取值范圍是122.(2025屆安徽省黃山市一模)設(shè)F1、F2分別是橢圓x24+y2=(1)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且PF1·PF2=-(2)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.解析(1)易知a=2,b=1,c=3,∴F1(-3,0),F2(3,0).設(shè)P(x,y)(x>0,y>0),則PF1·PF2=(-3-x,-y)(3-x,-y)=x2+y2-3=-54.又聯(lián)立x2+y2=7故點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,(2)明顯k=0不滿意題意,故設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立x24+y2=1,y=kx+2,消去y,整理得(1+4∴x1x2=121+4+k2,x1+x2由Δ=(16k)2-4·(1+4k2)·12>0,得k2>34又∠AOB為銳角,∴cos∠AOB>0,∴OA·OB>0,∴OA·OB=x1x2+y1y2>0.∵y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)·121+4k2+2k·-16k1+4k2+4=4(綜合①②可知34<k2<∴直線l的斜率k的取值范圍是-2,-33.(2025屆山西省高三第一次模擬考試)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>(1)求橢圓E的方程;(2)若A,B,P(點(diǎn)P不與橢圓頂點(diǎn)重合)為E上的三個(gè)不同的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且OP=OA+OB,求AB所在直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.解析(1)由已知得c=1,2a=4+12+12=∴a=2,b=1,故橢圓E的方程為x22+y2=(2)設(shè)直線AB的方程為x=my+t(m≠0),代入x22+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=-2mtm2+2,y1y2=t2-2m2+2設(shè)P(x0,y0),由OP=OA+OB,得y0=y1+y2=-2mtm2+2,x0=x1+x2=my1+t+my2+t=m(y1+y2)+∵點(diǎn)P在橢圓E上,∴16t22(m2+2)2+4m2t2(在x=my+t中,令y=0,則x=t;令x=0,則y=-tm∴所求三角形的面積S=12|xy|=12×t2|m|=18×m2+2|m|=1當(dāng)且僅當(dāng)m2=2,t2=1時(shí)取等號,此時(shí)Δ=24>0,∴所求三角形面積的最小值為244.(安徽省馬鞍山市2025屆高三其次次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),兩動(dòng)點(diǎn)C(0,m),D(0,n),且mn=3,直線AC與直線BD的交點(diǎn)為P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;(2)過點(diǎn)F(1,0)作直線l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于M,N兩點(diǎn),試求FM·FN的取值范圍.解析(1)直線AC的方程:y=m2(x+2),直線BD的方程:y=-n2(x-2),上述兩式相乘得y2=-mn4(x2-4)又mn=3,整理得x24+y2由mn=3得m≠0