全國甲卷文數(shù)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.已知\(i\)為虛數(shù)單位，\((1+i)i=(\)\)A.\(1-i\)B.\(-1-i\)C.\(1+i\)D.\(-1+i\)3.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m=(\)\)A.\(4\)B.\(-4\)C.\(1\)D.\(-1\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=(\)\)A.\(9\)B.\(8\)C.\(7\)D.\(6\)6.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)7.直線\(y=x+1\)被圓\(x^2+y^2=1\)截得的弦長為（）A.\(1\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(2\)8.若\(a=0.3^2\)，\(b=2^{0.3}\)，\(c=\log_20.3\)，則（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(c\lta\ltb\)C.\(c\ltb\lta\)D.\(a\ltc\ltb\)9.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)的漸近線方程為（）A.\(y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}x\)C.\(y=\pm\frac{5}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{5}x\)10.函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\log_2x\)2.下列說法正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)C.若\(a\gtb\gt0\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)D.若\(a\gtb\)，\(c\gt0\)，則\(ac\gtbc\)3.已知直線\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值可能為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)4.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質(zhì)正確的是（）A.長軸長為\(6\)B.短軸長為\(4\)C.離心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)D.焦點坐標為\((\pm\sqrt{5},0)\)5.以下是等比數(shù)列的是（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(1,0,0,0,\cdots\)D.\(2,2,2,2,\cdots\)6.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)，則（）A.\(f(x)\)的對稱軸為\(x=1\)B.\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)上單調(diào)遞減C.\(f(x)\)的最小值為\(2\)D.\(f(x)\)的圖象與\(x\)軸有兩個交點7.下列三角函數(shù)值正確的是（）A.\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)B.\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)C.\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)D.\(\sin\frac{\pi}{2}=1\)8.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則（）A.目標函數(shù)\(z=x+2y\)的最大值為\(3\)B.目標函數(shù)\(z=x+2y\)的最小值為\(\frac{1}{2}\)C.目標函數(shù)\(z=2x-y\)的最大值為\(1\)D.目標函數(shù)\(z=2x-y\)的最小值為\(-3\)9.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關于點\((a,0)\)對稱，則有（）A.\(f(a+x)+f(a-x)=0\)B.\(f(x)=-f(2a-x)\)C.\(f(x+2a)=-f(x)\)D.\(f(x)\)是奇函數(shù)10.關于函數(shù)\(y=\cosx\)，下列說法正確的是（）A.最小正周期是\(2\pi\)B.值域是\([-1,1]\)C.是偶函數(shù)D.在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞減三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=x^2\)在\(R\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）3.若\(a\)，\(b\)為實數(shù)，且\(ab=0\)，則\(a=0\)且\(b=0\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.等差數(shù)列的前\(n\)項和公式為\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）7.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圓心坐標為\((1,-2)\)，半徑為\(2\)。（）8.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的定義域是\((0,+\infty)\)。（）9.若向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（）10.函數(shù)\(y=2^x\)與\(y=\log_2x\)的圖象關于直線\(y=x\)對稱。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3x^2-2x+1\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=3\)，\(b=-2\)，對稱軸\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入得\(y=\frac{2}{3}\)，頂點坐標\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時除以\(\cos\alpha\)得\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入，得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：兩直線平行斜率相等，已知直線斜率為\(2\)。設所求直線方程為\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，求\(a_n\)。答案：當\(n=1\)時，\(a_1=S_1=1\)；當\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1\)。\(n=1\)時也滿足，所以\(a_n=2n-1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的單調(diào)性和奇偶性。答案：單調(diào)性：在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分別單調(diào)遞減。奇偶性：\(f(-x)=\frac{1}{-x}=-f(x)\)，定義域關于原點對稱，所以是奇函數(shù)。2.如何判斷直線與圓的位置關系？請舉例說明。答案：可通過圓心到直線的距離\(d\)與半徑\(r\)比較。\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交。例如圓\(x^2+y^2=1\)與直線\(x+y-2=0\)，圓心\((0,0)\)到直線距離\(d=\frac{\vert-2\vert}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\gt1\)，相離。3.等差數(shù)列和等比數(shù)列在實際生活中有哪些應用？答案：等差數(shù)列如房貸還款等額本息，每月還款金額組成等差數(shù)列。等比數(shù)列如細胞分裂，每次分裂后細胞數(shù)量構成等比數(shù)列。它們可用于解決經(jīng)濟、生物等多方面實際問題。4.結合函數(shù)圖象，說明\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)的關系。答案：\(y=\sinx\)的圖象向左平移\(\frac{\pi}{2}\)個單位就得到\(y=\cosx\)的圖象。二者周期都是\(2\pi\)，值域都是\([-1,1]\)