高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省江淮名校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，解得.故選：.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于集合，由，得，解得，則；所以，則，故選：.3.已知命題：若，則.則命題的否定為（）A，則 B.，則C.，則 D.，則【答案】B【解析】由題意知，命題：，則，則命題的否定是，則，故選：B.4.已知函數(shù)的圖象如圖所示，，則（）A.-1或3 B.4 C.-1 D.不存在【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)圖象，由知，，或，當(dāng)，；當(dāng)，不存在，故選：.5.已知，則（）A.2 B.-2 C.4 D.2或-2【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，解得；要使得等式有意義，則，所以；故選：.6.若，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】顯然異號，又，則.所以，選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以選項(xiàng)A，B錯誤.故選：D7.已知，，，則（）A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值【答案】D【解析】方法一：因，，則由基本不等式可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號成立；方法二：由原式變形得，，則，所以，令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，無最大值；故選：.8.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，，且對，，滿足，則滿足不等式的整數(shù)解個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】令，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.，所以為R上的偶函數(shù).，.等價(jià)于，所以，解得且，所以滿足不等式的整數(shù)解是0，僅有一解.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知命題，使得.則命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】當(dāng)時(shí)，顯然，使得；當(dāng)時(shí)，，.綜上，命題為真命題的充要條件是，故選：10.下列命題是真命題的是（）A.、、、表示四個(gè)不同的函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象下方C.D.若，，那么【答案】ACD【解析】由題意得，，，，，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，則函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象上方，故B不正確；由冪函數(shù)的單調(diào)性可知，故選項(xiàng)正確；，故選項(xiàng)正確；故選：ACD.11.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足下列條件：①對任意的，都有；②對任意的實(shí)數(shù)，都有；③.則下列說法正確的有（）A.B.，使得C.在上單調(diào)遞減D.不等式的解集為【答案】ACD【解析】對于A，令，則，故正確；對于B，假設(shè)，，，則一定存在正整數(shù)，使得，此時(shí)與條件②矛盾，故錯誤；對于C，假設(shè)，使得，由，得，，則一定存在正整數(shù)，使得，此時(shí)，與條件②矛盾，故，有；設(shè)，且，由，得，由任意的實(shí)數(shù)，都有，得，，故，即，有；綜上，，有；又，所以在上單調(diào)遞減，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故正確；對于D，，則.又，.，，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，又，所以由，得；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，又，所以由，得；又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以；故解集為，故正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______.【答案】【解析】令，則，可得，所以.故答案為：.13.已知，，則______.【答案】7【解析】由題意，，則，所以，故答案為：.14.函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則不等式的解集為______.【答案】【解析】由題意，，，則不等式等價(jià)于；由于為定義在上的奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以原不等式等價(jià)于，解得，則解集為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，解得，則，當(dāng)時(shí)，，所以．（2）由，得，若，則，解得，此時(shí)符合題意；若，則，解得；綜上所述，，故的取值范圍為.16.合肥四中東南角有一塊勞動園地，“夏收油菜，秋收紅薯”等活動已成為合肥四中勞動教育的特色項(xiàng)目.已知該勞動園地為如圖矩形AMPN，C點(diǎn)在對角線MN上，，.經(jīng)測量米，米.（1）設(shè)DN的長為米，試用表示勞動園地的面積；（2）某勞動小組計(jì)劃明年在該勞動園地種植面積至少為300平方米的油菜，請問計(jì)劃能否實(shí)現(xiàn)，并說明理由.解：（1）設(shè)的長為米，則米，由三角形相似可得，即

，所以；（2）易知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故的長為8米時(shí)，勞動園地面積最小值為平方米．顯然，所以計(jì)劃能夠?qū)崿F(xiàn)．17.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）.假設(shè)全部溶解，糖水變甜了.（1）請將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立；（2）已知，，且，求證：.（1）解：不等式為，其中，．因?yàn)椋?，，所以，，從而，即．?）證明：法一：，，且，所以

，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號．由（1）不等式知，所以．法二：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，即，所以有：，因?yàn)?，，所?18.已知函數(shù)，其中，為常數(shù)且滿足，.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，并判斷在上的單調(diào)性（不要證明）；（3）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）解：根據(jù)題意，函數(shù)中，有，，解得，，則；（2）證明：由（1）得：，設(shè)，則，又由，則，，，必有，即，即函數(shù)在上為減函數(shù)；在上是增函數(shù)．（3）解：根據(jù)題意，若，則有，又由，則，，即，又由（2）可得，在區(qū)間上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，則有最小值，若存在，使得，即成立，則有，解得，故的取值范圍為．19.函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，給定函數(shù).（1）求的對稱中心；（2）已知函數(shù)同時(shí)滿足：①是奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，.若對任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），設(shè)的對稱中心為，由題意，得函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，即，整理得，所以，解得，，所以函數(shù)的對稱中心為.（2）因?yàn)閷θ我獾?，總存在，使得，因?yàn)楹瘮?shù)，在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以的值域?yàn)椋O(shè)函數(shù)的值域?yàn)榧?，則原問