（蘇科版）八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章全等三角形》專(zhuān)題全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題（30題）★★★★★★方法指引：1、全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用代數(shù)式表示線段的大小，從而尋找線段間的等量關(guān)系，建立方程，進(jìn)而快速解題.2、解題策略：①明晰點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向和速度；②根據(jù)已知和求證的目標(biāo)，尋找線段或角之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題；③有時(shí)要用到分類(lèi)討論的思想.典型題訓(xùn)練典型題訓(xùn)練1．（2023春?橫山區(qū)期末）如圖，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上以xcm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．當(dāng)△ACP與△BPQ全等時(shí)，x的值為．2．（2022春?普寧市期末）如圖，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F(xiàn)分別為線段AB和射線BD上的一點(diǎn)，若點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，二者速度之比為3：7，運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻同時(shí)停止，在射線AC上取一點(diǎn)G，使△AEG與△BEF全等，則AG的長(zhǎng)為．3．（2022秋?攸縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，點(diǎn)E在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△ADE與以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)，則點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s．4．（2023春?吳江區(qū)期末）如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點(diǎn)E在AB邊上，BE＝3cm，點(diǎn)F在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后馬上折返，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G在線段CD上以vcm/s的速度由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)F，G同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．若以E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形和以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形全等，則t＝秒．5．如圖，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以vcm/s的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)△BPD與△CQP全等時(shí)，v＝（）A．3 B．4 C．2或4 D．2或36．（2022秋?高邑縣期中）如圖，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A﹣C﹣B向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線B﹣C﹣A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q都運(yùn)動(dòng)到各自的終點(diǎn)時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且l∥AB，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作直線l的垂線段，垂足為E，F(xiàn)．當(dāng)△CPE與△CQF全等時(shí)，t的值不可能是（）A．2 B．2.8 C．3 D．67．（2022秋?浠水縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直線CM⊥BC，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)C開(kāi)始沿射線CB方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)C開(kāi)始在直線CM上以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，連接AD、AE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)△ABD≌△ACE時(shí)，t的值為（）A．2 B．4 C．6 D．2或68．（2023春?和平區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，滿足AC＝7，BC＝12，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)Q從B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P，Q的速度分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過(guò)P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)以P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)，t的值為（不考慮兩三角形重合的情況）．9．如圖，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以4cm/s的速度連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AG以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)G，E、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)G時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，EF與直線AC交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（1）分別寫(xiě)出當(dāng)0＜t＜2和2＜t＜4時(shí)段BF的長(zhǎng)度（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)BF＝AE時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)△ADE≌△CDF時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿足條件的t值．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q兩點(diǎn)分別在AC上和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動(dòng)，且PQ＝AB，問(wèn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC上什么位置時(shí)△ABC才能和△QPA全等．11．（2022秋?昭陽(yáng)區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)Q與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能使△BPD與△CQP全等？12．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A﹣C﹣B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B﹣C﹣A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以2和6的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．問(wèn)：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，△PEC與QFC全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2022秋?蒼溪縣期末）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)出發(fā)，沿A→B→A方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）求證：AB∥DE．（2）寫(xiě)出線段AP的長(zhǎng)（用含t的式子表示）．（3）連接PQ，當(dāng)線段PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求t的值．14．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）PC＝cm．（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A運(yùn)動(dòng)，①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以（1）②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的運(yùn)動(dòng)速度從B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC上相遇．（在橫線上直接寫(xiě)出答案，不必書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程）16．（2022秋?南召縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm，BC＝15cm，E為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段BC上以5cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是5cm/s，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPE與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)△BPE與△CQP全等時(shí)，求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．17．（2022春?二七區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E在線段CD上，EA，EB分別平分∠DAB和∠CBA，點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng)，AD＝4cm，BC＝3cm，且AD∥BC．（1）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到離點(diǎn)A多少厘米時(shí)，△ADE和△AFE全等？為什么？（2）在（1）的情況下，此時(shí)BF＝BC嗎？為什么？求出AB的長(zhǎng)．18．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．若點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．（注：長(zhǎng)方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等：①經(jīng)過(guò)1秒后，△AEP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PE和線段PQ的位置關(guān)系；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，△PEQ的面積為Scm2，請(qǐng)用t的代數(shù)式表示S．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使△AEP與△BPQ全等．19．（2023春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的兩條高AD與BE交于點(diǎn)O，AD＝BD，AC＝6．?（1）求BO的長(zhǎng)；（2）F是射線BC上一點(diǎn)，且CF＝AO，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△AOP與△FCQ全等時(shí)，求t的值．20．如圖1，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)E在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)F在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為ts．（1）若點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝2時(shí)：①判斷△BEF與△ADE是否全等？并說(shuō)明理由；②求∠EDF的度數(shù)．（2）如圖2，將圖1中的“長(zhǎng)方形ABCD”改為“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF與△ADE全等？若存在，直接寫(xiě)出相應(yīng)的x及t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)D在AC上，且AD＝6cm，過(guò)點(diǎn)A作射線AE⊥AC（AE與BC在AC同側(cè)），若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AE勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PD、BD．（1）如圖①，當(dāng)PD⊥BD時(shí)，求證：△PDA≌△DBC；（2）如圖②，當(dāng)PD⊥AB于點(diǎn)F時(shí)，求此時(shí)t的值．22．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度，沿C→B→C做勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，假設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，G點(diǎn)的移動(dòng)距離為y．（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示以下線段：ED＝，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，BF＝，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，BF＝；（2）請(qǐng)猜想AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在移動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)你探究當(dāng)t取何值時(shí)，△DEG與△BFG全等？并求出此時(shí)G點(diǎn)的移動(dòng)距離y．23．（2023春?渭濱區(qū)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）如圖（1），當(dāng)t＝時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．24．（2022春?華容縣期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10cm，點(diǎn)E在AB邊上，BE＝6cm．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPE與△CQP是否全等．請(qǐng)說(shuō)明理由．②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿正方形ABCD四邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在正方形ABCD邊上的何處相遇？相遇點(diǎn)在何處？25．（2022秋?紅花崗區(qū)期中）如圖1，直線AM⊥AN，AB平分∠MAN，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥BA交AN于點(diǎn)C；動(dòng)點(diǎn)E、D同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度沿射線AN方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)；已知AC＝6cm，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）當(dāng)點(diǎn)D在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足S△ADB：S△BEC＝2：1，試求點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上運(yùn)動(dòng)，E在射線AN運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)間t，使得△ADB與△BEC全等？若存在，請(qǐng)求出時(shí)間t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．26．如圖，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點(diǎn)P在射線AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在射線DB上由點(diǎn)D出發(fā)沿射線DB方向運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度的2倍，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s（x≠2），是否存在實(shí)數(shù)x，使△ACP與△BPQ全等？若存在，請(qǐng)畫(huà)出示意圖，將全等的三角形用符號(hào)表示出來(lái)，并直接寫(xiě)出相應(yīng)的x，t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．27.（2022秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖①，線段BC＝6，過(guò)點(diǎn)B、C分別作垂線，在其同側(cè)取AB＝4，另一條垂線上任取一點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒a個(gè)單位的速度沿射線CD運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t＝1，CP＝，用含a的代數(shù)式表示CQ的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)a＝2，t＝1時(shí)，①求證：△ABP≌△PCQ；②求證：AP⊥PQ；（3）如圖②，將“過(guò)點(diǎn)B、C分別作垂線”改為“在線段BC的同側(cè)作∠ABC＝∠DCB”，其它條件不變．若△ABP與△PCQ全等，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的a的值．28．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直線l過(guò)點(diǎn)C．（1）當(dāng)AC＝BC時(shí)，①如圖1，分別過(guò)點(diǎn)A和B作AD⊥直線l于點(diǎn)D，BE⊥直線l于點(diǎn)E．求證：△ACD≌△CBE；②如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線l于點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，連接BF交直線l于E，連接CF．求證：DE＝AD+EF．（2）當(dāng)AC＝8cm，BC＝6cm時(shí)，如圖3，點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，連接BF、CF．點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→C路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C，點(diǎn)N以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為F，分別過(guò)點(diǎn)M、N作MD⊥直線l于點(diǎn)D，NE⊥直線l于點(diǎn)E，點(diǎn)M、N同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，各自達(dá)到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)△MDC與△CEN全等時(shí)，求t的值．29．（2022秋?浠水縣期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，判斷并說(shuō)明線段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點(diǎn)A在線段DE上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．30．（2022秋?原平市校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于點(diǎn)O，BD=23CD，且AE＝（1）求線段AO的長(zhǎng)；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△POQ的面積為S，請(qǐng)用含t的式子表示S；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F是直線AC上的一點(diǎn)且CF＝BO．是否存在t值，使以點(diǎn)B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、Q為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的t值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（蘇科版）八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章全等三角形》專(zhuān)題全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題（30題）★★★★★★方法指引：1、全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用代數(shù)式表示線段的大小，從而尋找線段間的等量關(guān)系，建立方程，進(jìn)而快速解題.2、解題策略：①明晰點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向和速度；②根據(jù)已知和求證的目標(biāo)，尋找線段或角之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題；③有時(shí)要用到分類(lèi)討論的思想.典型題訓(xùn)練典型題訓(xùn)練1．（2023春?橫山區(qū)期末）如圖，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上以xcm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．當(dāng)△ACP與△BPQ全等時(shí)，x的值為．【分析】由題意知當(dāng)△ACP與△BPQ全等，分△ACP≌△BPQ和△APC≌△BPQ兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可．【解答】解：由題意知，AP＝t，BP＝8﹣t，BQ＝xt，△ACP與△BPQ全等，∠A＝∠B，∴分兩種情況求解：①當(dāng)△ACP≌△BPQ時(shí)，AP＝BQ，即t＝xt，解得x＝1；②當(dāng)△APC≌△BPQ時(shí)，AP＝BP，即t＝8﹣t，解得t＝2，AC＝BQ，即6＝xt，解得x=3綜上所述，x的值是1或32故答案為：1或32【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于分情況求解．2．（2022春?普寧市期末）如圖，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F(xiàn)分別為線段AB和射線BD上的一點(diǎn)，若點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，二者速度之比為3：7，運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻同時(shí)停止，在射線AC上取一點(diǎn)G，使△AEG與△BEF全等，則AG的長(zhǎng)為．【分析】設(shè)BE＝3t，則BF＝7t，使△AEG與△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分兩種情況：情況一：當(dāng)BE＝AG，BF＝AE時(shí)，列方程解得t，可得AG；情況二：當(dāng)BE＝AE，BF＝AG時(shí)，列方程解得t，可得AG．【解答】解：設(shè)BE＝3t，則BF＝7t，因?yàn)椤螦＝∠B＝90°，使△AEG與△BEF全等，可分兩種情況：情況一：當(dāng)BE＝AG，BF＝AE時(shí)，∵BF＝AE，AB＝60，∴7t＝60﹣3t，解得：t＝6，∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；情況二：當(dāng)BE＝AE，BF＝AG時(shí)，∵BE＝AE，AB＝60，∴3t＝60﹣3t，解得：t＝10，∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，綜上所述，AG＝18或AG＝70．故答案為：18或70．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論思想是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022秋?攸縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，點(diǎn)E在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△ADE與以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)，則點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s．【分析】設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，則AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，由于∠DAB＝∠ABC，則當(dāng)AD＝BE，AE＝BF時(shí)，根據(jù)“SAS”判斷△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt；當(dāng)AD＝BF，AE＝BE時(shí)，根據(jù)“SAS”判斷△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，然后分別解方程求出x即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，則AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，∵∠DAB＝∠ABC，∴當(dāng)AD＝BE，AE＝BF時(shí)，根據(jù)“SAS”判斷△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt，解得t＝2，x＝1；當(dāng)AD＝BF，AE＝BE時(shí)，根據(jù)“SAS”判斷△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，解得t＝2.5，x＝1.2，綜上所述，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為1或1.2cm/s．故答案為：1或1.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．4．（2023春?吳江區(qū)期末）如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點(diǎn)E在AB邊上，BE＝3cm，點(diǎn)F在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后馬上折返，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G在線段CD上以vcm/s的速度由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)F，G同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．若以E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形和以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形全等，則t＝秒．【分析】依題意可知需要分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)點(diǎn)F由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，①當(dāng)BE＝CG＝3cm，BF＝CF時(shí)，求出BF＝4cm，則可得到t的值；②當(dāng)BE＝CF＝3cm時(shí)，BF＝CG時(shí)，由于BF＝9cm＞CD，因此這種情況不存在；（2）當(dāng)點(diǎn)F折返時(shí)，又有以下兩種情況：①BE＝CF＝3cm時(shí)，BF＝CG時(shí)，不存在這種情況，②當(dāng)BE＝CG＝3cm，BF＝CF時(shí)，求出AB+CF＝16cm，則可得到t的值．【解答】解：∵點(diǎn)F在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后馬上折返，∴有以下兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)F由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵四邊形ABCD為矩形，AB＝8cm，AD＝12cm，∠B＝∠C＝90°，∴BC＝AD＝12cm，CD＝AB＝8cm，∵以E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形和以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形全等，BE＝3cm，∴有以下兩種情況：①當(dāng)BE＝CG＝3cm，BF＝CF時(shí)，此時(shí)△BEF和△CGF全等，∵BF＝CF，BC＝12cm，∴BF＝CF＝6cm，∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝2（秒）；②當(dāng)BE＝CF＝3cm時(shí)，BF＝CG時(shí)，此時(shí)△BEF和△CFG全等，∵BC＝12cm，CF＝3cm，∴BF＝BC﹣CF＝9cm，又∵CD＝8cm，CG＝BF＝9cm，∴CG＞CD，即點(diǎn)G在CD的延長(zhǎng)線上，故不存在此種情況；（2）當(dāng)點(diǎn)F折返時(shí)，又有以下兩種情況：①BE＝CF＝3cm時(shí)，BF＝CG時(shí)，此時(shí)△BEF和△CFG全等，由（1）②可知：這種情況不存在；②當(dāng)BE＝CG＝3cm，BF＝CF時(shí)，此時(shí)△BEF和△CGF全等，由（1）①可知：CF＝6m，∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程為：BC+CF＝12+6＝18（cm）點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝18÷6（秒）．綜上所述：若以E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形和以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形全等，則t為2秒或6秒．故答案為：2或6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握全等三角形判定所需的條件，分類(lèi)討論是解答此題的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)之一．5．如圖，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以vcm/s的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)△BPD與△CQP全等時(shí)，v＝（）A．3 B．4 C．2或4 D．2或3【分析】表示出BD、BP、PC、CQ，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，分①BD、PC是對(duì)應(yīng)邊，②BD與CQ是對(duì)應(yīng)邊兩種情況討論即可．【解答】解：∵AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=12×設(shè)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則BP＝2t，PC＝（16﹣2t）c①當(dāng)BD＝PC時(shí)，16﹣2t＝12，解得：t＝2，則BP＝CQ＝2t＝4，故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：4÷2＝2（厘米/秒）；②當(dāng)BP＝PC時(shí)，∵BC＝16cm，∴BP＝PC＝8cm，∴t＝8÷2＝4（秒），故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為12÷4＝3（厘米/秒）；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)角分情況討論是本題的難點(diǎn)．6．（2022秋?高邑縣期中）如圖，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A﹣C﹣B向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線B﹣C﹣A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q都運(yùn)動(dòng)到各自的終點(diǎn)時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且l∥AB，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作直線l的垂線段，垂足為E，F(xiàn)．當(dāng)△CPE與△CQF全等時(shí)，t的值不可能是（）A．2 B．2.8 C．3 D．6【分析】分三種情況討論得出關(guān)于t的方程，解方程求得t的值．【解答】解：當(dāng)P在AC上，Q在BC上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P，Q，C分別作PE⊥直線l于點(diǎn)E，QF⊥直線l于點(diǎn)F，CD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∵△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣2t＝8﹣3t，解得t＝2；當(dāng)P在AC上，Q在AC上時(shí)，即P、Q重合時(shí)，則CQ＝PC，由題意得，6﹣2t＝3t﹣8，解得t＝2.8；當(dāng)P在BC上，Q在AC上時(shí)，即A、Q重合時(shí)，則CQ＝AC＝6，由題意得，2t﹣6＝6，解得t＝6．綜上，當(dāng)△CPE與△CQF全等時(shí)，t的值為2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、作圖﹣基本作圖、平行線之間的距離、勾股定理，根據(jù)題意得出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?浠水縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直線CM⊥BC，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)C開(kāi)始沿射線CB方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)C開(kāi)始在直線CM上以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，連接AD、AE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)△ABD≌△ACE時(shí)，t的值為（）A．2 B．4 C．6 D．2或6【分析】當(dāng)點(diǎn)E在射線CM上時(shí)，D在CB上，BD＝CE，當(dāng)點(diǎn)E在CM的反向延長(zhǎng)線上時(shí)DB＝CE，由全等三角形的性質(zhì)求出其解即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，BD＝CE．如圖，當(dāng)點(diǎn)E在射線CM上時(shí)，D在CB上，BD＝CE，∵CE＝t，BD＝6﹣2t，∴6﹣2t＝t，∴t＝2．如圖，當(dāng)點(diǎn)E在CM的反向延長(zhǎng)線上時(shí)DB＝CE，∵CE＝t，BD＝2t﹣6，∴t＝2t﹣6，∴t＝6．綜上所述，當(dāng)t＝2或6時(shí)，△ABD≌△ACE，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)分類(lèi)討論是重點(diǎn)也是難點(diǎn)．8．（2023春?和平區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，滿足AC＝7，BC＝12，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)Q從B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P，Q的速度分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過(guò)P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)以P，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以Q，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)，t的值為（不考慮兩三角形重合的情況）．【分析】三角形PEC和三角形QFC要全等，P的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是C，有兩種情況：一種是點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)P在BC上時(shí)；另一種是點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)，而P在BC上時(shí)，先把各線段的長(zhǎng)度表示出來(lái)，再讓對(duì)應(yīng)邊相等，即可構(gòu)造方程解出t．【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)；如圖：當(dāng)△PCE≌CQF時(shí)，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由題意知：AP＝t，PC＝7﹣t，BQ＝3t，CQ＝12﹣3t；∴7﹣t＝12﹣3t，解得t＝2.5．②當(dāng)P在線段BC上，點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，如圖：當(dāng)△PCE≌CQF時(shí)，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由題意知：AP＝t，PC＝t﹣7，CQ＝7，∴t﹣7＝7，解得t＝14．綜上所述，t的值為2.5或14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)，找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以4cm/s的速度連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AG以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)G，E、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)G時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，EF與直線AC交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（1）分別寫(xiě)出當(dāng)0＜t＜2和2＜t＜4時(shí)段BF的長(zhǎng)度（用含t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)BF＝AE時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)△ADE≌△CDF時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿足條件的t值．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)、點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)的速度、結(jié)合圖形解答；（2）根據(jù)題意列出方程，解方程即可；（3）分點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)G、從點(diǎn)G返回兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【解答】解：（1）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，BF＝4t，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，BF＝16﹣4t；（2）由題意得，16﹣4t＝2t，解得t=8（3）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，△ADE≌△CDF，則AE＝CF，即8﹣4t＝2t，解得t=4當(dāng)2＜t≤4時(shí)，△ADE≌△CDF，則AE＝CF，即4t﹣8＝2t，解得t＝4，則t=43或4時(shí)，△ADE≌△【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題意求出函數(shù)關(guān)系式、掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q兩點(diǎn)分別在AC上和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動(dòng)，且PQ＝AB，問(wèn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC上什么位置時(shí)△ABC才能和△QPA全等．【分析】本題要分情況討論：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝5cm，可據(jù)此求出P點(diǎn)的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC，P、C重合．【解答】解：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知：①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP＝BC時(shí)，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC與Rt△QPA中，AP=BCPQ=AB∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝5cm；②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC，在Rt△ABC與Rt△QPA中，AP=ACPQ=AB∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝10cm，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．綜上所述，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP＝BC、點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本題沒(méi)有說(shuō)明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，因此要分類(lèi)討論，以免漏解．11．（2022秋?昭陽(yáng)區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)Q與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能使△BPD與△CQP全等？【分析】（1）經(jīng)過(guò)1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即據(jù)SAS可證得△BPD≌△CQP．（2）可設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過(guò)ts△BPD與△CQP全等，則可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，據(jù)（1）同理可得當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC時(shí)兩三角形全等，求x的解即可．【解答】解：（1）結(jié)論：△BPD與△CQP全等．理由：經(jīng)過(guò)1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BPD和△CQP中，BD=PC∠ABC=∠ACB∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過(guò)ts△BPD與△CQP全等；則可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ時(shí)，②當(dāng)BD＝CQ，BP＝PC時(shí)，兩三角形全等；①當(dāng)BD＝PC且BP＝CQ時(shí)，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情況；②BD＝CQ，BP＝PC時(shí)，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x=15故若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為154cm/s時(shí)，能夠使△BPD與△CQP【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．12．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A﹣C﹣B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B﹣C﹣A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以2和6的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．問(wèn)：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，△PEC與QFC全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】推出CP＝CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝8﹣3t，②P、Q都在AC上，此時(shí)P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC時(shí)，此時(shí)不存在，④當(dāng)Q到A點(diǎn)，與A重合，P在BC上時(shí)，求出即可得出答案．【解答】解：∵△PEC≌△QFC，∴斜邊CP＝CQ，有四種情況：①P在AC上，Q在BC上，，CP＝12﹣2t，CQ＝16﹣6t，∴12﹣2t＝16﹣6t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此時(shí)P、Q重合，∴CP＝12﹣2t＝6t﹣16，∴t＝3.5；③P到BC上，Q在AC時(shí)，此時(shí)不存在；理由是：16÷6×2＜12，Q到AC上時(shí)，P點(diǎn)也在AC上；④當(dāng)Q到A點(diǎn)（和A重合），P在BC上時(shí)，∵CP＝CQ＝AC＝12．CP＝12﹣2t，∴2t﹣12＝12，∴t＝12符合題意；答：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或3.5或12時(shí)，△PEC與△QFC全等．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關(guān)鍵．13．（2022秋?蒼溪縣期末）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)出發(fā)，沿A→B→A方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）求證：AB∥DE．（2）寫(xiě)出線段AP的長(zhǎng)（用含t的式子表示）．（3）連接PQ，當(dāng)線段PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求t的值．【分析】（1）證明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況討論：當(dāng)0≤t≤4時(shí)，AP＝2tcm，當(dāng)4＜t≤8時(shí)，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（3）先證△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分兩種情況列方程求解即可．【解答】（1）證明：在△ABC和△EDC中，AC=EC∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）解：當(dāng)0≤t≤4時(shí)，AP＝2tcm，當(dāng)4＜t≤8時(shí)，BP＝（2t﹣8）cm，∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，∴線段AP的長(zhǎng)為2tcm或（16﹣2t）cm；（3）解：根據(jù)題意得DQ＝tcm，則EQ＝（8﹣t）cm，由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝8cm，在△ACP和△ECQ中，∠A=∠EAC=EC∴△ACP≌△ECQ（ASA），∴AP＝EQ，當(dāng)0≤t≤4時(shí)，2t＝8﹣t，解得：t=8當(dāng)4＜t≤8時(shí)，16﹣2t＝8﹣t，解得：t＝8；綜上所述，當(dāng)線段PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，t的值為83【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到△ACP≌△ECQ．14．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）PC＝cm．（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度可得BP的長(zhǎng)，再利用BC﹣BP即可得到CP的長(zhǎng)；（2）此題主要分兩種情況①當(dāng)BP＝CQ，AB＝PC時(shí)，△ABP≌△PCQ；當(dāng)BA＝CQ，PB＝PC時(shí)，△ABP≌△QCP，然后分別計(jì)算出t的值，進(jìn)而得到v的值．【解答】解：（1）依題意，得PC＝（10﹣2t）（cm）．故答案為：10﹣2t；（2）①當(dāng)BP＝CQ，AB＝PC時(shí)，△ABP≌△PCQ，∵AB＝6cm，∴PC＝6（cm），∴BP＝10﹣6＝4（cm），2t＝4，解得：t＝2，CQ＝BP＝4（cm），v×2＝4，解得：v＝2；②當(dāng)BA＝CQ，PB＝PC時(shí)，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC=12BC＝5（2t＝5，解得：t＝2.5，CQ＝BP＝6（cm），v×2.5＝6，解得：v＝2.4．綜上所述：當(dāng)v＝2.4或2時(shí)△ABP與△PQC全等．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形全等的條件，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊．15．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A運(yùn)動(dòng)，①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以（1）②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的運(yùn)動(dòng)速度從B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC上相遇．（在橫線上直接寫(xiě)出答案，不必書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程）【分析】（1）①根據(jù)時(shí)間和速度分別求得兩個(gè)三角形中BP、CQ和BD、PC邊的長(zhǎng)，根據(jù)SAS判定兩個(gè)三角形全等．②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程＝速度×?xí)r間公式，先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；（2）根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點(diǎn)Q的速度快，且在點(diǎn)P的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點(diǎn)P多走等腰三角形的兩個(gè)邊長(zhǎng)．【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，∵AB＝6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝3cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，∴PC＝4﹣1＝3cm，∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP；②假設(shè)△BPD≌△CQP，∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，則BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=BP∴vQ=CQt=32（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，由題意，得1.5x＝x+2×6，解得x＝24，∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了24s×1cm/s＝24cm．∵24×1.5＝36，∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AC邊上相遇，∴經(jīng)過(guò)24秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AC上相遇．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是運(yùn)用了路程＝速度×?xí)r間的公式．熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠分析出追及相遇的問(wèn)題中的路程關(guān)系．16．（2022秋?南召縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm，BC＝15cm，E為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段BC上以5cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是5cm/s，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPE與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)△BPE與△CQP全等時(shí)，求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【分析】（1）由于BP＝CQ＝5cm，則PC＝10cm，而B(niǎo)E=12AB＝10cm，則根據(jù)“SAS”可判斷△BPE≌△（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是xcm/s，則BP＝5tcm，CQ＝txcm，由于∠B＝∠C，則當(dāng)BP＝CP，BE＝CQ時(shí)，△BPE≌△CPQ，即5t＝15﹣5t，10＝tx；當(dāng)BP＝CQ，BE＝CP，則△BPE≌△CQP，即5t＝tx，10＝15﹣5t，然后分別解方程求出x，從而得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【解答】解：（1）△BPE與△CQP全等．理由如下：BP＝CQ＝5×1＝5（cm），∴PC＝BC﹣BP＝15﹣5＝10（cm），∵E為AB的中點(diǎn)，∴BE=12AB＝10在△BPE和△CQP中，BE=CP∠B=∠C∴△BPE≌△CQP（SAS）；（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是xcm/s，則BP＝5tcm，CQ＝txcm，∵∠B＝∠C，∴當(dāng)BP＝CP，BE＝CQ，則根據(jù)“SAS”可判斷△BPE≌△CPQ，即5t＝15﹣5t，10＝tx，解得t=32，x當(dāng)BP＝CQ，BE＝CP，則根據(jù)“SAS”可判斷△BPE≌△CQP，即5t＝tx，10＝15﹣5t，解得t＝1，x＝5（舍去）；綜上所述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為203cm/s【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．17．（2022春?二七區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E在線段CD上，EA，EB分別平分∠DAB和∠CBA，點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng)，AD＝4cm，BC＝3cm，且AD∥BC．（1）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到離點(diǎn)A多少厘米時(shí)，△ADE和△AFE全等？為什么？（2）在（1）的情況下，此時(shí)BF＝BC嗎？為什么？求出AB的長(zhǎng)．【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到離點(diǎn)A為4cm（即AF＝AD＝4cm）時(shí)，即可證明△ADE≌△AFE；（2）證明△ECB≌△EFB，可得BF＝BC．再由AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，即可得AB的長(zhǎng)．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到離點(diǎn)A為4cm（即AF＝AD＝4cm）時(shí)，△ADE≌△AFE，理由如下：∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，∴∠DAE＝∠FAE，∠FBE＝∠CBE，在△AFE與△ADE中，AF=AD∠FAE=∠DAE∴△AFE≌△ADE（SAS）；（2）BF＝BC，理由如下：∵△AFE≌△ADE，∴∠D＝∠AFE，∵AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠C＝∠BFE，在△ECB與△EFB中，∠EBF=∠EBC∠EFB=∠C∴△ECB≌△EFB（AAS），∴BF＝BC；∵AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，∴AB＝AF+BF＝3+4＝7（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是判定兩個(gè)三角形全等．18．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．若點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．（注：長(zhǎng)方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等：①經(jīng)過(guò)1秒后，△AEP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PE和線段PQ的位置關(guān)系；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，△PEQ的面積為Scm2，請(qǐng)用t的代數(shù)式表示S．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使△AEP與△BPQ全等．【分析】（1）①當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝BQ，∠A＝∠B，AE＝PB，從而可證明△EAP≌Rt△PBQ；②當(dāng)t≤4時(shí)，AP＝BQ＝t，S＝S梯形AEQB﹣SAEP﹣SPBQ；當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，S＝2t；（2）如圖3所示：因?yàn)椤鰽EP≌△BQP，所以AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3，從而可求得t＝2，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為＝3÷2＝1.5cm/秒．【解答】解：（1）①當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝1，BQ＝1，∴AP＝BQ．∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=12∵PB＝AB＝AP＝4﹣1＝3，∴AE＝PB．在Rt△EAP和Rt△PBQ中，AE=PB∠A=∠B∴Rt△EAP≌Rt△PBQ．∴∠APE＝∠BQP，∵∠BQP+∠BPQ＝90°，∴∠APE+∠BPQ＝90°，∴∠EPQ＝90°，∴PE⊥PQ；②如圖1所示連接QE．圖1Ⅰ、當(dāng)t≤4時(shí)，AP＝BQ＝t，S梯形AEQB=12（AE+BQ）?AB=12×S△AEP=12AE?PA=12×3t=32t，S△PBQ=12PB?BQ=1∴S＝2t+6?32t﹣（2t?1整理得：S=12t2?如圖2所示：Ⅱ、當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，S=12QB?AB=12×∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=1（2）如圖3所示：∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，∴AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3．∴t＝AP=12AB∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為＝3÷2＝1.5cm/秒時(shí)，△AEP≌△BQP．故答案為：1.5．【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、函數(shù)的解析式、一元一次方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．19．（2023春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC的兩條高AD與BE交于點(diǎn)O，AD＝BD，AC＝6．?（1）求BO的長(zhǎng)；（2）F是射線BC上一點(diǎn)，且CF＝AO，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△AOP與△FCQ全等時(shí)，求t的值．【分析】（1）由AAS證明Rt△BDO≌Rt△ADC，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等求得BO的長(zhǎng)；（2）分情況討論點(diǎn)F分別在BC延長(zhǎng)線上或在BC之間時(shí)△AOP≌△FCQ，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等求得t值．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，∴∠ACD＝∠AOE，∴∠BOD＝∠ACD．又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），∴BO＝AC＝6．（2）①當(dāng)點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上時(shí)：設(shè)t時(shí)刻，P、Q分別運(yùn)動(dòng)到如圖位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴當(dāng)△AOP≌△FCQ時(shí)，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．②當(dāng)點(diǎn)F在BC之間時(shí)：設(shè)t時(shí)刻，P、Q分別運(yùn)動(dòng)到如圖位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴當(dāng)△AOP≌△FCQ時(shí)，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，∴t＝4t﹣6，解得t＝2．綜上，t＝1.2或2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定．這部分內(nèi)容是初中幾何中非常重要的內(nèi)容，一定要深刻理解，做到活學(xué)活用．20．如圖1，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)E在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn)F在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為ts．（1）若點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝2時(shí)：①判斷△BEF與△ADE是否全等？并說(shuō)明理由；②求∠EDF的度數(shù)．（2）如圖2，將圖1中的“長(zhǎng)方形ABCD”改為“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF與△ADE全等？若存在，直接寫(xiě)出相應(yīng)的x及t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）①根據(jù)SAS證明：△BEF≌△ADE；②由①：△BEF≌△ADE得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，證明△DEF是等腰直角三角形可得結(jié)論；（2）分兩種情況：①如圖2，當(dāng)△DAE≌△EBF時(shí)，②如圖3，當(dāng)△ADE≌△BFE時(shí)，分別根據(jù)AD＝BE，AE＝BF，列方程組可得結(jié)論．【解答】解：（1）①△BEF≌△ADE，理由如：當(dāng)t＝2時(shí)，AE＝BF＝2，∴BE＝AB﹣AD＝7﹣2＝5，∵AD＝5，∴BE＝AD，∵∠A＝∠B＝90°，∴△BEF≌△ADE；②由①得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，∵∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠DEF＝180°﹣（∠BEF+∠AED）＝90°，∵DE＝EF∴∠EDF＝∠EFD，∵∠EDF+∠EFD＝90°，∴∠EDF＝45°；（說(shuō)明：用其他方法的，請(qǐng)參照此評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分）（2）存在，①如圖2，當(dāng)△DAE≌△EBF時(shí)，∴AD＝BE，AE＝BF，則5=7?t∴x＝1，t＝2；②如圖3，當(dāng)△ADE≌△BFE時(shí)，AE＝BE，AD＝BF，則t=7?t5=xt∴x=107，t（說(shuō)明：每正確寫(xiě)出一對(duì)x、t的值，給1分．）【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、三角形全等的性質(zhì)和判定及動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)D在AC上，且AD＝6cm，過(guò)點(diǎn)A作射線AE⊥AC（AE與BC在AC同側(cè)），若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AE勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PD、BD．（1）如圖①，當(dāng)PD⊥BD時(shí)，求證：△PDA≌△DBC；（2）如圖②，當(dāng)PD⊥AB于點(diǎn)F時(shí)，求此時(shí)t的值．【分析】（1）由PD⊥BD、∠C＝90°可推出∠PDA＝∠CBD，即可根據(jù)ASA判定△PDA≌△DBC；（2）由PD⊥AB，AE⊥AC可推出∠APF＝∠CAB，即可根據(jù)AAS判定△APD≌△CAB，再由全等三角形的性質(zhì)即可得解．【解答】（1）證明：如圖①，∵PD⊥BD，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC+∠PDA＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠PDA＝∠CBD，又∵AE⊥AC，∴∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠C＝90°，又∵BC＝6cm，AD＝6cm，∴AD＝BC，在△PAD和△DCB中，∠PAD=∠CAD=CB∴△PDA≌△DBC（ASA）；（2）解：如圖②，∵PD⊥AB，∴∠AFD＝∠AFP＝90°，∴∠PAF+∠APF＝90°，又∵AE⊥AC，∴∠PAF+∠CAB＝90°，∴∠APF＝∠CAB，在△APD和△CAB中，∠APD=∠CAB∠PAD=∠C∴△APD≌△CAB（AAS），∴AP＝AC，∵AC＝8cm，∴AP＝8cm，∴t＝8．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)ASA判定△PDA≌△DBC、根據(jù)AAS判定△APD≌△CAB是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度，沿C→B→C做勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，假設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，G點(diǎn)的移動(dòng)距離為y．（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示以下線段：ED＝，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，BF＝，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，BF＝；（2）請(qǐng)猜想AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在移動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)你探究當(dāng)t取何值時(shí)，△DEG與△BFG全等？并求出此時(shí)G點(diǎn)的移動(dòng)距離y．【分析】（1）由運(yùn)動(dòng)速度×運(yùn)動(dòng)時(shí)間＝運(yùn)動(dòng)路程可得出答案；（2）由SSS證得△ABD≌△CDB，得出∠ADB＝∠CBD，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)G點(diǎn)的移動(dòng)距離為y，當(dāng)△DEG與△BFG全等時(shí)，由∠EDG＝∠FBG，得出DE＝BF、DG＝BG或DE＝BG、DG＝BF，①當(dāng)點(diǎn)F由點(diǎn)C到點(diǎn)B，即0＜t≤2時(shí)，則：10?5t=2ty=14?y，或y=2t②當(dāng)點(diǎn)F由點(diǎn)B到點(diǎn)C，即2＜t≤4時(shí)，則5t?10=2ty=14?y，或5t?10=14?y【解答】（1）解：∵點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，∴DE＝2t，∵點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度，沿C→B→C做勻速移動(dòng)，∴當(dāng)0＜t≤2時(shí)，BF＝10﹣5t，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，BF＝5t﹣10．故答案為：2t；10﹣5t；5t﹣10．（2）AD∥BC，證明：在△ABD和△CDB中，AD=BCAB=CD∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（3）解：設(shè)G點(diǎn)的移動(dòng)距離為y，當(dāng)△DEG與△BFG全等時(shí)，∵∠EDG＝∠FBG，∴DE＝BF、DG＝BG或DE＝BG、DG＝BF，①∵BC＝10，105∴當(dāng)點(diǎn)F由點(diǎn)C到點(diǎn)B，即0＜t≤2時(shí)，則：10?5t=2ty=14?y解得：t=10或y=2t10?5t=14?y解得：t=?4②當(dāng)點(diǎn)F由點(diǎn)B到點(diǎn)C，即2＜t≤4時(shí)，則5t?10=2ty=14?y解得t=10或5t?10=14?yy=2t解得：t=24綜上所述：△DEG與△BFG全等的情況會(huì)出現(xiàn)3次，此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間分別是107秒、103秒、247秒，G點(diǎn)的移動(dòng)距離y【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、分類(lèi)討論、解方程組等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023春?渭濱區(qū)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）如圖（1），當(dāng)t＝時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行解答，①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)，分別畫(huà)出圖形，利用三角形的面積之間的關(guān)系，求出點(diǎn)P移動(dòng)的距離，從而求出時(shí)間即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與F；于是分兩種情況進(jìn)行解答，①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②當(dāng)點(diǎn)P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分別求出P移動(dòng)的距離和時(shí)間，進(jìn)而求出Q的移動(dòng)速度．【解答】解：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，如圖①﹣1，若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則CP=12BC=此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為AC+CP＝12+9移動(dòng)的時(shí)間為：332÷3②當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)，如圖①﹣2若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則PD=12AB，即點(diǎn)P為此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為AC+CB+BP＝12+9+152移動(dòng)的時(shí)間為：572÷3故答案為：112或19（2）△APQ≌△DEF，即，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與F；①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，如圖②﹣1所示：此時(shí)，AP＝4，AQ＝5，∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為5÷（4÷3）=154cm/②當(dāng)點(diǎn)P在AB上，如圖②﹣2所示：此時(shí)，AP＝4，AQ＝5，即，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為9+12+15﹣4＝32cm，點(diǎn)Q移動(dòng)的距離為9+12+15﹣5＝31cm，∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為31÷（32÷3）=9332cm/綜上所述，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為154cm/s或9332cm/【點(diǎn)評(píng)】考查直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，畫(huà)出相應(yīng)圖形，求出各點(diǎn)移動(dòng)的距離是正確解答的關(guān)鍵．24．（2022春?華容縣期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10cm，點(diǎn)E在AB邊上，BE＝6cm．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以4cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPE與△CQP是否全等．請(qǐng)說(shuō)明理由．②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿正方形ABCD四邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在正方形ABCD邊上的何處相遇？相遇點(diǎn)在何處？【分析】（1）①由“SAS”可證△BPE≌△CQP；②由全等三角形的性質(zhì)可得BP＝PC，列出方程可求t的值，即可求解；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，由點(diǎn)P與點(diǎn)Q的路程差＝30，列出方程可求解．【解答】解：（1）①△BPE≌△CQP，理由如下：經(jīng)過(guò)1秒后，BP＝4cm，CQ＝4cm，∴BP＝CQ，PC＝6cm，∴BE＝PC，在△BPE和△CQP中，BP=CQ∠B=∠C=90°∴△BPE≌△CQP（SAS）；②設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，△PBE≌△PCQ，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P速度不相同時(shí)，BP＝PC，此時(shí)△PBE≌△PCQ，∴4t＝10﹣4t，解得t=5又CQ＝BE＝6cm，∴vQ=654=24（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，由題意可得：4.8x﹣4x＝30，解得：x=75∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程=752×∴經(jīng)過(guò)752秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，相遇點(diǎn)在點(diǎn)A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋?紅花崗區(qū)期中）如圖1，直線AM⊥AN，AB平分∠MAN，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥BA交AN于點(diǎn)C；動(dòng)點(diǎn)E、D同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度沿射線AN方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)；已知AC＝6cm，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）當(dāng)點(diǎn)D在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足S△ADB：S△BEC＝2：1，試求點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上運(yùn)動(dòng)，E在射線AN運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)間t，使得△ADB與△BEC全等？若存在，請(qǐng)求出時(shí)間t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．【分析】（1）作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．由BA平分∠MAN，推出BG＝BH，由S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，可得12?t?BG：12?（6﹣2t）?（2）存在．由BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，可知當(dāng)AD＝EC時(shí)，△ADB≌△CEB，列出方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖2中，①當(dāng)E在線段AC上時(shí)，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．∵BA平分∠MAN，∴BG＝BH，∵S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，∴12?t?BG：12?（6﹣2t）?∴t=125②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC延長(zhǎng)線上，同法可得t＝4時(shí)，也滿足條件，∴當(dāng)t=125s或4s時(shí)，滿足S△ADB：S△（2）存在．∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，∴當(dāng)AD＝EC時(shí)，△ADB≌△CEB，∴t＝6﹣2t，∴t＝2s，∴t＝2s時(shí)，△ADB≌△CEB．當(dāng)D在MA延長(zhǎng)線上時(shí)，2t﹣6＝t，t＝6s，綜上所述，滿足條件的t的值為2s或6s．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．26．如圖，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點(diǎn)P在射線AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在射線DB上由點(diǎn)D出發(fā)沿射線DB方向運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度的2倍，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s（x≠2），是否存在實(shí)數(shù)x，使△ACP與△BPQ全等？若存在，請(qǐng)畫(huà)出示意圖，將全等的三角形用符號(hào)表示出來(lái)，并直接寫(xiě)出相應(yīng)的x，t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)Q和P的運(yùn)動(dòng)速度結(jié)合時(shí)間可得AP＝1cm，DQ＝2cm，進(jìn)而可得BP＝3，BQ＝1，然后利用SAS判定△CAP≌△PBQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠APC＝∠BQA，然后再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可推出∠APC+∠QPB＝90°，進(jìn)而可得CP⊥PQ；（2）此題要分3種情況分別討論，①若點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BN上，②若點(diǎn)P在BM上，點(diǎn)Q在BN上．【解答】（1）VQ＝2VP＝2m/s，∵t＝1s，∴AP＝1cm，DQ＝2cm，∴BP＝AB﹣AP＝3cm，BQ＝BD﹣DQ＝1cm，在△CAP和△PBQ中AC=BP∠A=∠PBQ=90°∴△CAP≌△PBQ（SAS），∴∠APC＝∠BQA，∵∠BQP+∠QPB＝90°，∴∠APC+∠QPB＝90°，∴∠CPQ＝180°﹣90°＝90°，∴CP⊥PQ；（2）若點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BN上，且△APC≌△BPQ，如圖1，t＝2，x＝3，若點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BN上，且△APC≌△BQP；如圖2：t＝1，x＝4，△APC≌△BQP；如圖3，若點(diǎn)P在BM上，點(diǎn)Q在BN上，t＝7，x=107，△APC≌△．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．27.（2022秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖①，線段BC＝6，過(guò)點(diǎn)B、C分別作垂線，在其同側(cè)取AB＝4，另一條垂線上任取一點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒a個(gè)單位的速度沿射線CD運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t＝1，CP＝，用含a的代數(shù)式表示CQ的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)a＝2，t＝1時(shí)，①求證：△ABP≌△PCQ；②求證：AP⊥PQ；（3）如圖②，將“過(guò)點(diǎn)B、C分別作垂線”改為“在線段BC的同側(cè)作∠ABC＝∠DCB”，其它條件不變．若△ABP與△PCQ全等，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的a的值．【分析】（1）由路程＝速度×?xí)r間公式求得；（2）①當(dāng)a＝2，t＝1時(shí)，得出BP＝CQ，AB＝CP，根據(jù)“SAS”得證；②根據(jù)①結(jié)合“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”可得∠A＝∠CPQ，進(jìn)而根據(jù)等量代換得證；（3）分為△BAP≌△CPQ或△BAP≌△CQP兩種情形，若△BAP≌△CPQ，可得對(duì)應(yīng)邊PC＝AB＝4，CQ＝BP＝BC﹣PC＝2，進(jìn)而根據(jù)“時(shí)間=路程速度“，“速度【解答】（1）解：由題意可知，當(dāng)t＝1，CP＝4，用含a的代數(shù)式表示CQ的長(zhǎng)為a；故答案為：4，a；（2）證明：①如圖1，當(dāng)a＝2，t＝1時(shí)，BP＝CQ＝2，∵BC＝6，∴CP＝AB＝4，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴△ABP≌△PCQ（SAS）；②∵△ABP≌△PCQ