高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省福寧古五校教學聯(lián)合體2024-2025學年高二下學期期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一，單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的．1.下面導數(shù)運算錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于選項A：，故A正確；對于選項B：，故B正確；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D正確；故選：C.2.如圖，在三棱錐中，，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得：.故選：C.3.已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可知：，即在上有解，又因為在上單調(diào)遞增，則，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.4.人教A版《數(shù)學必修第二冊》指出：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫作圓柱（circularcylinder）．若一個矩形的周長為12，則按以上步驟所得到圓柱的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設矩形的長和寬分別為，可知，則，即，若以長所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得圓柱的體積為，構(gòu)建函數(shù)，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得圓柱的體積的最大值為；根據(jù)對稱性可得：以寬所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得圓柱的體積最大值為；綜上所述：圓柱的體積的最大值為.故選：D.5.函數(shù)的圖象如圖所示，設的導函數(shù)為，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由，得，由圖像可知，當，單調(diào)遞減，所以，當，單調(diào)遞增，所以，又當，，當時，，當，，所以當，，，即，當，，，即，綜上所述，的解集為，故A正確.故選：A6.在空間直角坐標系中，已知．若，分別是三棱錐在坐標平面上的正投影圖形的面積，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知：點在坐標平面上的正投影分別為，因為，則，可知三點共線，可得，，，所以.故選：B.7.如圖，在棱長為的正四面體（四個面都是正三角形）中，分別為的中點，且在方向上的投影向量為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，將正四面體嵌套正方體內(nèi)，并以為坐標原點，建立空間直角坐標系，因為正四面體的棱長為，可知正方體的棱長為2，則，可得，則在方向上的投影向量為，所以值為.故選：B.8.設函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，即，令，則，當時，，即單調(diào)遞增，當時，，即單調(diào)遞減，且，，，當時，，則，，如圖，直線過定點，且，則，，若存在唯一的整數(shù)，使得，則，即.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.給出下列命題，其中正確的是（）A.若非零空間向量滿足，則有B.若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則或C.若向量，且，則D若向量，且共面，則【答案】BCD【解析】對于選項A：例如，即為空間直角坐標系各軸正方向上的單位向量，顯然滿足，但不共線，故A錯誤；對于選項B：因為，即，所以或，故B正確；對于選項C：向量，且，則存在，使得，則，解得，所以，故C正確；對于選項D：若向量，且共面，則存在實數(shù)，使得，則，解得，故D正確；故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.導函數(shù)有無數(shù)個零點B.有無數(shù)個零點C.當時，在上存在極小值點，無極大值點D.當時，是圖象的一條切線【答案】AC【解析】對于A，，當時，，注意到的值域是，且它的圖象是一條波浪起伏的曲線，如下圖,從而導函數(shù)有無數(shù)個零點，故A正確；對于B，如圖所示，注意到的值域是，且它的圖象是一條波浪起伏的曲線，而顯然是增函數(shù)，且當時，，也就是說此時的圖象與的圖象才可能有交點，由于區(qū)間長度有限，故交點個數(shù)必定有限，故B錯誤；對于C，當且時，，，當時，，所以我們只需研究的根的情況即可，設，求導得，，因為在上都單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，注意到，從而在上存在唯一的使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以，因為，所以存在唯一的使得，當時，，當時，，所以在時，單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，所以在上存在極小值點，無極大值點，故C正確；對于D，當時，，注意到，且也經(jīng)過點，對求導得，，因為，故D錯誤.故選：AC.11.在棱長為1的正方體中，分別是的中點，點在線段上，，則下列說法正確的是（）A.當三棱錐的體積最大時，B.當時，總存在點，使得C.當時，存在點和，使得D.的最小值是【答案】ABD【解析】因為，可知點在正方形內(nèi)（包括邊界），對于選項A：因為平面∥平面，且點平面，可知三棱錐的高為2，若三棱錐的體積最大，則的面積取到最大值，顯然當點線段，即時，的面積取到最大值，故A正確；對于選項BC：以點為坐標原點建系空間直角坐標系，則，可得，因為點在線段上，，可設，則，若，則，解得，所以當時，總存在點，使得，故B正確；若，則，可得，解得，不合題意，所以當時，不存在點和，使得，故C錯誤；對于選項D：取點關(guān)于平面的對稱點，則，因為，則，又因為的圖象開口向上，對稱軸為，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即的最小值為，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，毎小題5分，共15分．把答案填在答題卡的相應位置．12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為____．【答案】【解析】因為函數(shù)，定義域為，則，令，則，解得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.13.在等腰直角三角形中，，將三角形沿直角邊上的中線折成平面角為的二面角，則空間中線段的長為____．【答案】【解析】設點在直線上的投影分別為，因為，則，由的面積可得，則，，且為邊的中點，可得，，由二面角的平面角為，可得，因為，即，所以空間中線段的長為.故答案為：.14.已知函數(shù)恒成立，實數(shù)的取值范圍為____．【答案】【解析】由原式恒成立，等價于恒成立，令，則的最小值為的最大值.則，令，得方程，解得（為唯一解），即，所以當，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，因此，是的極大值點，即最大值點，所以的最大值為，由，得，即，所以，所以，故答案為：.四，解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)在處有極值0．（1）求；（2）求在上的最大值．解：（1）因為，則，由題意可得，解得，此時，，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則函數(shù)在處有極值0，符合題意，所以.（2）因為，由（1）可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，即，所以在上的最大值為.16.如圖，在直三棱柱中，，且分別為棱的中點．（1）證明：∥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）在直三棱柱中有，則兩兩垂直，以為坐標原點，直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，可得，設是平面的一個法向量，則，令，則，可得，則，即，且平面，所以∥平面.（2）設是平面的一個法向量，則，令，則，可得，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為.17.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，在上恒成立，求整數(shù)的最大值．解：（1）當時，，單調(diào)遞減；當時，，此時若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；當時，，此時若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當時，，即，化簡得，因為，所以，即.下證在上恒成立，令，只需證.，令，則，因為，所以，所以單調(diào)遞增，，，所以存在，使得，即當，，，單調(diào)遞減；當，，，單調(diào)遞增；所以，因為，所以，所以，所以整數(shù)的最大值為2.18.如圖，在四棱雉中,平面為棱中點，為棱上的動點．（1）證明：．（2）若二面角的余弦值為，求的值．解：（1）取的中點，連接，因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以為等邊三角形，則，所以，所以，所以，因為平面，平面，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以；（2）如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，由（1）知，，則，故，設平面法向量為，則有，可取，設，則，設平面的法向量為，則有，所以，令，則，所以，則，化簡得，解得或，經(jīng)檢驗，當時，二面角為鈍二面角，所以，所以.19.牛頓法（Newton′sMethod）是牛頓在17世紀提出的一種用導數(shù)求方程近似解的方法，其過程如下：如圖，設是的根,選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線的方程為,若,則與軸的交點的橫坐標記為,稱為的一階近似值.再過點作曲線的切線，并求出切線與軸的交點橫坐標，記為，稱為的二階近似值．重復以上過程，得的近似值序列：．根據(jù)已有精確度，當時，給出近似解．已知函數(shù)．（1）若給定，求方程的二階近似值；（2）求曲線在點處的切線方程，并證明；（3）若關(guān)于的方程的兩個根為，證明：．解：（1）構(gòu)建函數(shù)，則，可得，當時，，同理，且，所以．（2）因為，則，可得，即切點坐標為，切線斜