高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州2025屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集為，，，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知.所以.故選：C.2.若，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】因?yàn)椋?故選：B.3.已知隨機(jī)變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，解得，所以.故選：B.4.設(shè)，則（）A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】A【解析】令易知，令可得，，所以.故選：A.5.已知菱形的邊長為2，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】，，所以，故選：D.6.在正方體中，為的中點(diǎn)，為平面與平面的交線，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴四點(diǎn)共面，∴平面與平面的交線為，則即為所在直線，∵與是異面直線，即與是異面直線，故A錯(cuò)誤；∵，而在直角中，，則與不垂直，故與不垂直，即與不垂直，故B錯(cuò)誤；∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又，∴平面，即平面，∵平面，∴，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：D.7.已知數(shù)列是首項(xiàng)和公比均大于0的無窮等比數(shù)列，設(shè)甲：為遞增數(shù)列；乙：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】若為遞增數(shù)列，則，即，即，則公比，為指數(shù)型遞增數(shù)列，易得存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，.充分性成立；不妨設(shè)，此時(shí)不是遞增數(shù)列，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選：A.8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若曲線和曲線上分別存在A，B兩點(diǎn)，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；設(shè)，則令，則，令，所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，取，，此時(shí)，解得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（）A.的最小正周期為 B.C. D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】BC【解析】對于A，的最小正周期為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，因?yàn)樵趯ΨQ軸處取得極值，所以，解得，故選項(xiàng)B正確；對于C，由A和B可知，，所以，故選項(xiàng)C正確；對于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10.過點(diǎn)的直線交圓于點(diǎn)P，Q，交圓于點(diǎn)M，N，其中T，P，Q，M，N順次排列.若，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)：，，均為鈍角，因?yàn)椋瑒t，故，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)：同上述分析可知，所以.因?yàn)?，所以，，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)：取中點(diǎn)，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)：因?yàn)?，所?由B選項(xiàng)的分析可知，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知四棱錐的高為2，底面是邊長為2的正方形，，則（）A.的面積為定值B.C.四棱錐表面積最小值為D.若四棱錐存在內(nèi)切球，則該球半徑為【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)?，所以在底面的射影在直線的垂直平分線上，過作垂直于，連接，由題意可得，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，則，，的面積為，故選項(xiàng)A正確；對于B，由題意可得，所以，故選項(xiàng)B正確；對于C，過分別作，的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，所以當(dāng)最小時(shí)，四棱錐表面積取得最小值，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即為底面正方形的中心時(shí)，所以四棱錐表面積的最小值為四個(gè)全等三角形面積加底面面積，即，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，若四棱錐存在內(nèi)切球，則該球與平面，平面，平面均相切，過作垂直于，所以的內(nèi)切圓半徑等于該球半徑，設(shè)為，由等面積法可得，解得，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，存在內(nèi)切球，滿足題意，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_____.【答案】【解析】，所以.故答案為：.13.已知橢圓的焦點(diǎn)為，，P為上的一點(diǎn)，若的周長為18，則的離心率為_____.【答案】【解析】因?yàn)闄E圓長半軸大于半焦距，若橢圓的長半軸，則的周長，不符合題意，所以橢圓的長半軸為，所以，解得，即，所以，，所以橢圓的離心率為.故答案為：.14.6根長度相同的繩子平行放置在桌面上，分別將左、右兩邊的6個(gè)繩頭各自隨機(jī)均分成3組，然后將每組內(nèi)的兩個(gè)繩頭打結(jié)，則這6根繩子恰能圍成一個(gè)大圈的概率為_____.【答案】【解析】左、右兩邊的各6個(gè)繩頭各自隨機(jī)均分成3組，共有種，先選定左邊第一條繩子的繩頭，然后從左邊剩下的5個(gè)繩頭里任取一個(gè)打結(jié)，然后按照從右邊4個(gè)繩頭里任取一個(gè)，從左邊3個(gè)繩頭里任取一個(gè)，從右邊2個(gè)繩頭里任取一個(gè)的順序打結(jié)，一共有種，所以6根繩子恰能圍成一個(gè)大圈的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）為邊上一點(diǎn)，若，且，求的面積.解：（1）方法一：因?yàn)?，所以由正弦定理可得，，又因?yàn)?，所以，由于，所以，所以，因?yàn)椋?；方法二：因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?，整理可得，所以，因?yàn)?，所以；?）方法一：由（1）及題設(shè)知，，，.在中，由正弦定理得，.在中，由正弦定理得，.兩式相除可得，即，在中，由余弦定理可得，即所以面積；方法二：如圖所示，過作，垂足為.在中，，所以.由于，所以，所以，即，得，后同方法一；方法三：由（1）及題設(shè)知，，.因?yàn)閮蓚€(gè)三角形的高相同，所以與的面積之比等于，又因?yàn)榕c的面積之比還等于，所以，，后同方法一.16.如圖，在長方體中，，與交于點(diǎn)，為棱中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)，其中，若二面角的大小為，求.（1）證明：方法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為單位長，為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)知，，，，由得，.由得，.而平面，平面，，所以平面.方法二：取中點(diǎn)，設(shè)，連結(jié).在長方體中，，故，，故，因?yàn)槠矫?所以平面.（2）解：方法一：由題設(shè)知，.由（1），平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量，則即令，可得平面的一個(gè)法向量.則，又二面角的余弦值為，解得或（舍去），故的值為.方法二：在平面內(nèi)過Q作交于H，則平面，在平面內(nèi)過H作HG垂直于G，所以,又,平面，所以平面，所以為二面角的平面角，設(shè)，由余弦定理得，則所以所以，解得.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極小值；（2）若存在唯一極值點(diǎn)，證明：.解：（1）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，.令得，或.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取極小值.（2）證明：方法一：，.當(dāng)時(shí)，與同號(hào).因?yàn)榈膱D象關(guān)于對稱，又存在唯一極值點(diǎn)，如圖可得，所以，所以，故.將代入得，構(gòu)造，，則，所以，即，所以方法二：以前步驟同方法一.易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（i）當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，令可得，.由于，故在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，從而有兩個(gè)極值點(diǎn)，不合題意.（iii）當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，恰有唯一極值點(diǎn)，符合題意.所以.設(shè)，，，所以在單調(diào)遞減，，故.18.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于A，B兩點(diǎn)（在第一象限），當(dāng)垂直于軸時(shí)，.（1）求的方程；（2）過且與垂直的直線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），直線與直線和分別交于P，Q兩點(diǎn).（i）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，求；（ii）是否存在以為直徑的圓與軸相切？若存在，求，的方程；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，其中，.由題意可知，當(dāng)軸時(shí)，直線的方程為，將代入，可得，，所以，，所以C的方程為；（2）（i）依題意，直線的方程為，即，由得，故，，則，.直線的方程為，即，由得，故，，則，.所以直線的方程為，令得，直線的方程為，令得，所以；（ii）方法一：設(shè)直線的方程為，不妨設(shè).由得，，同理.直線的方程為，即令得.由于，，所以.從而中點(diǎn)恒為，以為直徑的圓與軸相切等價(jià)于.若，則.由得，，故，，所以，不妨如圖設(shè)點(diǎn)的分布，可知，所以，所以，因此，回代得，而判別式，該方程無解，從而不存在以為直徑的圓與軸相切；方法二：設(shè)直線的方程為，其中.由得，，.因?yàn)?，所以?從而.令得.故.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，同理，而P，Q分別在第一、第四象限，故，從而不存在以為直徑的圓與軸相切.19.將區(qū)間中的全體有理數(shù)按一定順序排列得到數(shù)列，規(guī)則如下：①，其中正整數(shù)與互質(zhì)，如，；②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.（1）寫出的前5項(xiàng)；（2）若，，求；（3）記的前項(xiàng)和為，證明：.（1）解：的前5項(xiàng)為，，，，.（2）解：因?yàn)椋?，所?又因?yàn)椋?，，因此，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.由于，故由與2025互質(zhì)可得既不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù).而在1到2024之間的正整數(shù)中，是3的倍數(shù)的整數(shù)有個(gè)，是5的倍數(shù)的整數(shù)有個(gè)，是15的倍數(shù)的整數(shù)有個(gè).所以.（3）證明：方法一：依題意，若正整數(shù)與互質(zhì)，則與也互質(zhì)，記中分母為正整數(shù)的共有項(xiàng)，則總滿足或