黑龍江省齊齊哈爾市桃李中學(xué)2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知為虛數(shù)單位，，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則復(fù)數(shù)的模為（

）A． B． C． D．22．某班最近一次化學(xué)考試成績(jī)（百分制）按分成六組后，得到頻率分布直方圖如圖所示.若化學(xué)老師欲將大家的成績(jī)由高到低排列，并獎(jiǎng)勵(lì)排名在前的同學(xué)，試估計(jì)化學(xué)老師獎(jiǎng)勵(lì)的學(xué)生的分?jǐn)?shù)應(yīng)不低于（

）A．分 B．分 C．分 D．分3．上海世博會(huì)期間，某日13時(shí)至21時(shí)累計(jì)入園人數(shù)的折線圖如圖所示，那么在13時(shí)~14時(shí)，14時(shí)~15時(shí)，…，20時(shí)~21時(shí)八個(gè)時(shí)段中，入園人數(shù)最多的時(shí)段是（

）A．13時(shí)~14時(shí) B．16時(shí)~17時(shí) C．18時(shí)~19時(shí) D．19時(shí)~20時(shí)4．將一副斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中，.若將它們的斜邊重合，讓三角形以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．當(dāng)平面平面時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離為B．當(dāng)平面平面時(shí)，與平面所成的角為C．在三角形轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，總有D．在三角形轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，三棱錐的體積最大可達(dá)到5．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)P是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為，的中點(diǎn)，若直線BP與MN所成的角為，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積為（

）

A． B． C． D．6．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)同時(shí)到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué).設(shè)事件“恰有兩人在同一個(gè)社區(qū)”，事件“甲同學(xué)和乙同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，事件“丙同學(xué)和丁同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，則下面說(shuō)法正確的是（

）A．事件與相互獨(dú)立 B．事件與是互斥事件C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與是對(duì)立事件7．在中，，，將沿上的高折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．在中，，，，若點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C．1 D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列敘述中，正確的是（

）A．某班有40名學(xué)生，若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從中抽取4人代表本班參加社區(qū)活動(dòng)，那么學(xué)號(hào)為04的學(xué)生被抽到的可能性為40%B．某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為500的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一、二、三、四年級(jí)本科生人數(shù)之比為，若從四年級(jí)中抽取75名學(xué)生，則C．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，得到四組數(shù)據(jù)，若某組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為，則這組數(shù)據(jù)可能出現(xiàn)6D．一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，4，，7，8（其中），若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是510．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到B．在上單調(diào)遞增C．在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)D．在上的最大值為11．如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是邊AB的中點(diǎn)，將沿直線翻折成（點(diǎn)不落在底面內(nèi)），連接．若為線段的中點(diǎn)，則在的翻折過程中，以下結(jié)論正確的是（

）A．平面恒成立B．C．存在某個(gè)位置，使D．線段的長(zhǎng)為定值三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)實(shí)數(shù)，滿足的平均數(shù)與50%分位數(shù)相等，則數(shù)據(jù)的方差為．13．一個(gè)古典概型的樣本空間和事件和，其中，，，，則______．14．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)P是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．四、解答題（本大題共5小題）15．某地區(qū)為了解高二學(xué)生作業(yè)量和玩電腦游戲的情況，對(duì)該地區(qū)內(nèi)所有高二學(xué)生采用隨機(jī)抽樣的方法，得到一個(gè)容量為的樣本，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總數(shù)喜歡電腦游戲名名名不喜歡電腦游戲名名名（1）已知該地區(qū)共有高二學(xué)生名，根據(jù)該樣本估計(jì)總體，其中喜歡電腦游戲并認(rèn)為作業(yè)不多的人有多少名？（2）在，，，，，六名學(xué)生中，僅有，兩名學(xué)生認(rèn)為作業(yè)多，如果從這六名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，求至少有一名學(xué)生認(rèn)為作業(yè)多的概率.16．如圖，在平面四邊形中，，，且，以為折痕把和向上折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（E,F不重合）.(1)求證：；(2)若平面平面，點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為的重心，且直線與平面所成角為60°，求平面與平面的夾角的余弦值.17．甲、乙兩個(gè)學(xué)校分別有位同學(xué)和n位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)，假定所有同學(xué)成功的概率都是，所有同學(xué)是否成功互不影響．記事件A＝“甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次”，事件B＝“甲成功次數(shù)等于乙成功次數(shù)”．(1)若，求事件A發(fā)生的條件下，恰有5位同學(xué)成功的概率；(2)證明：．18．如圖，在四棱柱中，已知平面平面，且.(1)求證:；(2)若為棱上的一點(diǎn)，且平面，求線段的長(zhǎng)度.19．某城市為配合國(guó)家“一帶一路”倡議，發(fā)展城市旅游經(jīng)濟(jì)，擬在景觀河道的兩側(cè)，沿河岸直線與修建景觀（橋），如圖所示，河道為東西方向，現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)沿直線將與接通.已知，，河道兩側(cè)的景觀道路修復(fù)費(fèi)用為每米萬(wàn)元，架設(shè)在河道上方的景觀橋部分的修建費(fèi)用為每米萬(wàn)元.（1）若景觀橋長(zhǎng)時(shí)，求橋與河道所成角的大??；（2）如何選擇景觀橋的位置，使矩形區(qū)域內(nèi)的總修建費(fèi)用最低？最低總造價(jià)是多少？

參考答案1．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得，即；則，由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則有，即；則，則有.故選C．2．【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖所有矩形面積之和為求出的值，然后利用頻率分布直方圖計(jì)算出第百分位數(shù)，即可得解.【詳解】易得，解得，化學(xué)考試成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，化學(xué)考試成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，所以第百分位數(shù)一定位于內(nèi).設(shè)第百分位數(shù)為，則，解得，所以估計(jì)化學(xué)老師獎(jiǎng)勵(lì)的學(xué)生的分?jǐn)?shù)應(yīng)不低于分.故選C.3．【答案】B【解析】要找入園人數(shù)最多的，只要根據(jù)函數(shù)圖象，找出圖象中變化最大的即可.【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知，在13時(shí)~14時(shí)，14時(shí)~15時(shí)，…，20時(shí)~21時(shí)八個(gè)時(shí)段中，圖象變化最快的為16到17點(diǎn)之間.故選B.4．【答案】C【分析】對(duì)于A,結(jié)合圖形,利用面面垂直的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半求解；對(duì)于B,先作出與平面所成的角,再求得其為；對(duì)于C，用反證法,假設(shè)垂直,根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)推到是否可能,從而得出結(jié)論；對(duì)于D，根據(jù)棱錐的體積公式,在底面積不變的情況下,體積的大小取決于高,當(dāng)平面平面時(shí),高最大,求出即可．【詳解】對(duì)于A：取中點(diǎn),連接,,,平面平面,平面平面,,平面,平面，，，故A正確；對(duì)于B：由A可知平面,故就是與平面所成的角,，，故B正確；對(duì)于C：若，則平面，平面，，為中點(diǎn)，，而與矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)平面時(shí)，棱錐的高最大，此時(shí)，故D正確．故選C.5．【答案】A【分析】連接，，得到，則BP與MN所成的角就是直線BP與所成的角，在正方體中，證得平面，得到，設(shè)與平面的交點(diǎn)為G，連接PG，結(jié)合題意，得到點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，為半徑的圓，根據(jù)圓的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，，則N為的中點(diǎn)，又M為的中點(diǎn)，所以，所以直線BP與MN所成的角就是直線BP與所成的角，在正方體中，可得，因?yàn)槠矫?，平面，可得，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，因?yàn)椋移矫?，所以平面，則．設(shè)與平面的交點(diǎn)為G，連接PG，所以，在直角中，，因?yàn)椋?，所以，易知為等邊的中心，，所以，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，為半徑的圓，其面積為.故選A.

6．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件的意義逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，依題意，甲、乙、丙、丁中必有兩人在同一社區(qū)，即事件是必然事件，，顯然，，因此事件與相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，由，得事件與不是互斥事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然事件事件與不可能同時(shí)發(fā)生，即，而，事件與相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然事件與可以同時(shí)不發(fā)生，如甲丙在同一社區(qū)，因此事件與不是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤.故選A.7．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，由此可得三棱錐B﹣ACD的外接球的表面積．【詳解】根據(jù)題意可知三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)為，所以球的直徑是，半徑為，所以三棱錐B﹣ACD的外接球的表面積為4π×＝3π．【方法總結(jié)】一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線（這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn)），這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，它們是同一個(gè)外接球.8．【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量轉(zhuǎn)化為基底進(jìn)行表示即可求解.【詳解】.故選C.9．【答案】BD【分析】根據(jù)頻率判斷A；根據(jù)抽樣比，列出方程，求出，即可判斷B；假設(shè)這組數(shù)據(jù)有，得到方差的取值特征，即可判斷C；求出眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閷W(xué)號(hào)為的學(xué)生被抽到的可能性為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)槌闃颖葹椋?，故B正確；對(duì)于C：若這組數(shù)據(jù)有，則方差，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)閿?shù)據(jù)從小到大的順序排列為，，，，，（其中），則中位數(shù)為，眾數(shù)為，所以，解得，所以該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故D正確.故選BD.10．【答案】BC【分析】對(duì)于A，根據(jù)函數(shù)的平移判斷；對(duì)于B，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間來(lái)判斷；對(duì)于C，求出函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)判斷；對(duì)于D，求出函數(shù)的最大值來(lái)判斷.【詳解】對(duì)于A：由題得，由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，得其單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C：令得，得，又．所以可取，即有2個(gè)零點(diǎn)，故正確；由得，所以，故D錯(cuò)誤．故選BC．11．【答案】ABD【分析】對(duì)于A，取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，即可證明；對(duì)于B，分別計(jì)算，證明即可；對(duì)于C，由在平面中的射影在上，再判斷即可；對(duì)于D，在中利用余弦定理證明即可.【詳解】取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，如圖所示，則，，則可得平面平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；設(shè)到平面的距離為，到的距離為，則，故B正確；在平面中的射影在上，因?yàn)榕c不垂直，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，又由余弦定理可得，且為定值，所以為定值．故D正確.故選ABD．12．【答案】【分析】利用平均數(shù)與分位數(shù)相等，得，代入數(shù)據(jù)中得方差.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，所以，即，代入數(shù)據(jù)，即為，此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以數(shù)據(jù)的方差為.13．【答案】【分析】由求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所?14．【答案】【分析】連接,，首先證明平面，設(shè)平面，連接,，即可得到三棱錐為正三棱錐，求出,，再利用勾股定理表示，即可得到，從而得到軌跡長(zhǎng).【詳解】連接,，四邊形為正方形，，平面，平面，，，平面，平面，平面，，同理可證，，平面，平面，設(shè)平面，連接,，，，三棱錐為正三棱錐，為的中心，，內(nèi)切圓的半徑，，，，平面，平面，，即，，，，，解得，點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓，，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.15．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算名學(xué)生中喜歡電腦游戲并認(rèn)為作業(yè)不多的概率再乘以即可求解；（2）求出從六名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名包含的基本事件的個(gè)數(shù)以及至少有一名學(xué)生認(rèn)為作業(yè)多包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再由古典概率公式即可求解.【詳解】（1）名學(xué)生中喜歡電腦游戲并認(rèn)為作業(yè)不多的概率為，所以高二學(xué)生總體中喜歡電腦游戲并認(rèn)為作業(yè)不多的人有名；（2）從，，，，，六名學(xué)生中，隨機(jī)抽取兩名，基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共有個(gè)，至少有一名學(xué)生認(rèn)為作業(yè)多包含的基本事件有，，，，，，，，，共有個(gè)，所以至少有一名學(xué)生認(rèn)為作業(yè)多的概率為.16．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；（2）由（1）得到以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：取的中點(diǎn)，連接和，由題意知和均為等腰三角形，且，故又因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）由（1）知，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?平面,所以平面，直線與平面所成角為，可得，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，，所以，所以，即為等邊三角形，所以為等邊三角形，為等邊的重心，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，則，設(shè)為平面的法向量，則，可得，令，可得，即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得，即平面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的余弦值為.17．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)已知求出及甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次且有5位同學(xué)成功的概率，再利用條件概率公式求事件A發(fā)