專題03折疊與落點(diǎn)有跡性【例題】（2018·河師大附中模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，點(diǎn)P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將△ABP沿AP折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B’落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，則BP的長等于 【變式】（2019·偃師一模）如圖，在邊長為3的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，CD=1，點(diǎn)E為邊AB上不與A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為對(duì)稱軸折疊△AED，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F落在等邊三角形ABC的邊上時(shí)，AE的長為 ．1.（2019·洛陽二模）如圖，P是邊長為3的等邊△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線折疊∠B，使點(diǎn)B落在AC上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，折痕交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，PB的長為 ．2.（2017·新野一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E．F分別是線段AD，BC上的點(diǎn)，連接EF，使四邊形ABFE為正方形，若點(diǎn)G是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接FG，將矩形沿FG折疊使得點(diǎn)C落在正方形ABFE的對(duì)角線所在的直線上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，則線段AP的長為．3.（2018·信陽一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AE=2，點(diǎn)F在AD上，將△AEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上時(shí)，折痕EF的長為．4.（2019·三門峽二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝2CE，將矩形沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)B，C′，D′恰好在同一直線上時(shí)，AF的長為．5.（2019·南陽模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，得到△AB′E．若B′恰好落在射線CD上，則BE的長為．6.（2019·開封模擬）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝2cm，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AB上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），若點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊上，則BN的長為cm．7.（2019·開封二模）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P在AB上．若將△DAP沿DP折疊，使點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線上的A′處，則AP的長為．8.（2019·楓楊外國語三模）如圖，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，點(diǎn)E、F分別邊AB、上的動(dòng)點(diǎn)，將該四邊形沿折痕EF翻折，使點(diǎn)A落在邊BC的三等分點(diǎn)處，則AE的長為 ．9.（2019·中原名校大聯(lián)考）如圖，邊長為1的正方形ABCD，點(diǎn)P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．連接BP，將△ABP沿直線BP折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，如果點(diǎn)A′恰好落在正方形ABCD的對(duì)角線上，則AP的長為．10.（2017·禹州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點(diǎn)E在邊DC上），折疊后端點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10，8），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為．專題03折疊與落點(diǎn)有跡性【例題】（2018·河師大附中模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，點(diǎn)P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將△ABP沿AP折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B’落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，則BP的長等于 【答案】10或.【解析】解：點(diǎn)B’的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)A為圓心以AB的長為半徑的圓，圓與BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為所求的落點(diǎn)B’，如圖作出圖形，分兩種情況計(jì)算：①連接BB’，過B’作B’E⊥BC于E，如下圖所示，由題意知，BB’=B’C，BP=B’P，BE=EC=4，BB’⊥AP，∴∠B’BC=∠B’CB，∠B’BC+∠APB=90°，∠B’CB+∠CB’E=90°，∴∠APB=∠CB’E，∴△CB’E∽△APB，∴,即，設(shè)BP=x，則B’P=x，EP=4－x，B’E=x，在Rt△B’PE中，由勾股定理得：，解得：x=10（舍）或x=，即BP=；②過A作AH⊥MN于H，如圖所示，∵AB=AB’=5，AH=4，GH=5,∴B’H=3，B’G=8，設(shè)BP=x，則B’P=x，PG=x－4，在Rt△PGB’中，由勾股定理得：，解得：x=10，即BP=10;綜上所述，答案為：10或.【變式】（2019·偃師一模）如圖，在邊長為3的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，CD=1，點(diǎn)E為邊AB上不與A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為對(duì)稱軸折疊△AED，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F落在等邊三角形ABC的邊上時(shí)，AE的長為 ．【答案】1或5－.【解析】解：第一步：確定落點(diǎn)，點(diǎn)F在以D為圓心，以線段AD的長為半徑的弧上，如下圖所示，第二步，根據(jù)落點(diǎn)確定折痕（對(duì)稱軸）（1）∵AD=DF=2，∠A=60°，∴△ADF是等邊三角形，∵DE平分∠ADF，∴AE=EF=1；（2）如下圖所示，由對(duì)稱知，∠EFD=∠A=60°，∴∠EFB+∠DFC=120°，∵∠DFC+∠FDC=120°，∴∠EFB=∠FDC，∵∠B=∠C=60°，∴△BEF∽△CFD，∴,設(shè)AE=x，則BE=3－x，即,∴BF=，CF=，∵BF+CF=3，即+=3，解得：x=5+（舍）或x=5－，綜上所述，答案為：1或5－.1.（2019·洛陽二模）如圖，P是邊長為3的等邊△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線折疊∠B，使點(diǎn)B落在AC上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，折痕交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，PB的長為 ．【答案】1或5－.【解析】解：第一步確定落點(diǎn)，AC的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，所以有兩種情況；第二步根據(jù)落點(diǎn)確定折痕，方法：作BD的垂直平分線即為折痕所在的直線；（1）如下圖所示，由折疊性質(zhì)得：∠B=∠EDP=60°，∴∠CDE+∠ADP=120°，∵∠A=∠C=60°，∴∠ADP+∠APD=120°，∴∠APD=∠CDE，∴△CED∽△ADP，∴，設(shè)BP=DP=x，則AP=3－x，∴，∴CE=，DE=，∵DE=BE，∴CE+DE=CE+BE=3，即+=3，解得：x=；（2）如下圖所示，當(dāng)CD=1時(shí)，同理可得：∴，設(shè)BP=DP=x，則AP=3－x，∴，∴CE=，DE=，∴+=3，解得：x=；綜上所述，PB的長為或.2.（2017·新野一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E．F分別是線段AD，BC上的點(diǎn)，連接EF，使四邊形ABFE為正方形，若點(diǎn)G是AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接FG，將矩形沿FG折疊使得點(diǎn)C落在正方形ABFE的對(duì)角線所在的直線上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，則線段AP的長為．【答案】4或4﹣2．【解析】解：如圖1所示：由翻折的性質(zhì)可知PF=CF=4，∵ABFE為正方形，邊長為2，∴AF=2．∴PA=4﹣2．如圖2所示：由翻折的性質(zhì)可知PF=FC=4．∵ABFE為正方形，∴BE為AF的垂直平分線．∴AP=PF=4．故答案為：4或4﹣2．3.（2018·信陽一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AE=2，點(diǎn)F在AD上，將△AEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上時(shí)，折痕EF的長為．【答案】4或4．【解析】解：第一步，確定落點(diǎn)，以E為圓心，AE的長為半徑畫弧，與BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為A’，第二步，作出折痕，求解.(1)如下圖所示，由折疊性質(zhì)知：A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，AM=AD=3，過E作EH⊥MN于H，則四邊形AEHM是矩形，∴MH=AE=2，由勾股定理得：A′H=，∴A′M=，由MF2+A′M2=A′F2，得（3﹣AF）2+（）2=AF2，解得：AF=2，在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4；（2）如下圖所示，可得：A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，過A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，則四邊形AGHD是矩形，∴DH=AG，HG=AD=6，A′H=A′G=3，在Rt△A’EG中，由勾股定理得：EG=，∴DH=AG=AE+EG=3，在Rt△A’HF中，由勾股定理得：A′F=6，在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4；故答案為：4或4．4.（2019·三門峽二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝2CE，將矩形沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)B，C′，D′恰好在同一直線上時(shí)，AF的長為．【答案】，．【解析】解：由折疊的性質(zhì)得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE，∵點(diǎn)B、C′、D′在同一直線上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，∠C′BE＝30°，①當(dāng)點(diǎn)C′在B、D’之間時(shí)，過E作EG⊥AD于G，延長EC′交AD于H，則四邊形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折疊的性質(zhì)得，∠C′EF＝′CEF，∴∠C′EF＝∠CEF＝60°，∵AD∥BC∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等邊三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，GF＝2，∴AF═8+2；②當(dāng)點(diǎn)D′在B、C’之間時(shí)，過F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同理可得：AF＝8﹣2，故答案為：或．5.（2019·南陽模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，得到△AB′E．若B′恰好落在射線CD上，則BE的長為．【答案】15或.【解析】解：第一步：確定落點(diǎn)，以A為圓心，AB的長為半徑畫弧，交射線CD于B’，分兩種情況討論；第二步，根據(jù)落點(diǎn)作出折痕，求解；（1）如下圖所示，由折疊知：AB′＝AB＝5，B′E＝BE，∴CE＝3﹣BE，∵AD＝3，∴DB′＝4，B′C＝1，由勾股定理知：B′E2＝CE2+B′C2，∴BE2＝（3﹣BE）2+12，∴BE＝；（2）如下圖所示，AB′＝AB＝5，∵CD∥AB，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AE垂直平分BB′，∴AB＝BF＝5，∴CF＝4，∵CF∥AB，∴△CEF∽△ABE，∴，即，∴CE＝12，∴BE＝15，故答案為：或15．6.（2019·開封模擬）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝2cm，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AB上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），若點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'恰好落在等邊三角形ABC的邊上，則BN的長為cm．【答案】或.【解析】解：∵N不與A重合，∴B落點(diǎn)不會(huì)在BC上，分兩種情況討論：（1）當(dāng)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'落在AB邊上時(shí)，此時(shí)，MN⊥AB，即∠BNM=90°，∵△ABC是等邊三角形，AB＝2，M是BC中點(diǎn)，∴∠B=60°，BM=,∴BN=BM=；（2）當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B'落在邊AC上時(shí)，則MN⊥BB′，可得：四邊形BMB′N是菱形，∴BN＝BM＝BC＝，故答案為：或．7.（2019·開封二模）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P在AB上．若將△DAP沿DP折疊，使點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線上的A′處，則AP的長為．【答案】或.【解析】解：矩形對(duì)角線有兩條，AC、BD，所以先以D為圓心以AD的長為半徑作弧，與對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)即為A’點(diǎn)；再作出AA’的垂直平分線即為折痕；（1）點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線BD上時(shí)，由AB＝4，BC＝3，得：BD＝5，根據(jù)折疊的性質(zhì)，AD＝A′D＝3，AP＝A′P，∠A＝∠PA′D＝90°，∴BA′＝2，設(shè)AP＝x，則BP＝4﹣x，由勾股定理得：BP2＝BA′2+PA′2，（4﹣x）2＝x2+22，解得：x＝，∴AP＝；②點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線AC上，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：DP⊥AC，易證：∠ACB=∠APD，∴tan∠ACB=tan∠APD，∴AP＝=．故答案為：或.8.（2019·楓楊外國語三模）如圖，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，點(diǎn)E、F分別邊AB、上的動(dòng)點(diǎn)，將該四邊形沿折痕EF翻折，使點(diǎn)A落在邊BC的三等分點(diǎn)處，則AE的長為 ．【答案】或.【解析】解：第一步確定落點(diǎn)，因?yàn)锽C的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，所以分兩種情況討論，第二步，確定落點(diǎn)后，畫出折痕EF，求解.(1)如下圖所示過點(diǎn)A’作A’H⊥AB交AB的延長線于H，則∠A’BH=60°，∵A’B=2，∴BH=1，A’H=,設(shè)AE=A’E=x，則BE=8－x，EH=9－x，在Rt△A’EH中，由勾股定理得：，解得：x=，即AE=;（2）如下圖所示，過點(diǎn)A’作A’H⊥AB交AB的延長線于H，則∠A’BH=60°，∵A’B=4，∴BH=2，A’H=2,設(shè)AE=A’E=x，則BE=8－x，EH=10－x，在Rt△