2023北京初三二模數(shù)學(xué)匯編

實(shí)際問題與二次函數(shù)

一、單選題

1.（2023?北京順義?統(tǒng)考二模）某超市一種干果現(xiàn)在的售價是每袋30元，每星期可賣出100袋，經(jīng)市場調(diào)

研發(fā)現(xiàn)，如果在一定范圍內(nèi)調(diào)整價格，每漲價1元，每星期就少賣出5袋.已知這種干果的進(jìn)價為每袋20

元，設(shè)每袋漲價無（元），每星期的銷售量為了（袋），每星期銷售這種干果的利潤為z（元）.則y與x,

Z與X滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A.一次函數(shù)，二次函數(shù)B.一次函數(shù)，反比例函數(shù)

C.反比例函數(shù)，二次函數(shù)D.反比例函數(shù)，一次函數(shù)

二、解答題

2.（2023?北京順義?統(tǒng)考二模）某架飛機(jī)著陸后滑行的距離》（單位：m）與滑行時間x（單位：s）近似

滿足函數(shù)關(guān)系y=改2+6x（a#o）.由電子監(jiān)測獲得滑行時間X與滑行距離y的幾組數(shù)據(jù)如下：

滑行時間x/s0246810

滑行距離加0114216306384450

（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出滿足的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=G2+6x（awO）；

（2）飛機(jī)著陸后滑行多遠(yuǎn)才能停下來？此時滑行的時間是多少？

3.（2023?北京平谷?統(tǒng)考二模）某公園有一座漂亮的五孔橋，如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，主橋洞4與

兩組副橋洞分別位于y軸的兩側(cè)成軸對稱擺放，每個橋洞的形狀近似的可以看作拋物線，主橋洞右上，》

與x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+c（a^0）.經(jīng)測量在主橋洞\上得到x與y的幾組數(shù)據(jù)：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)回答下列問題：

（1）求主橋洞4的函數(shù)表達(dá)式；

2

（2）若右的表達(dá)式：%=-。5（尤-4）2+0.98,4的表達(dá)式：y3=-0.5（x-/i,）+0.5,求五個橋洞的總跨度

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AB的長.

4.（2023?北京大興?統(tǒng)考二模）“急行跳遠(yuǎn)”是田徑運(yùn)動項(xiàng)目之一.運(yùn)動員起跳后的騰空路線可以看作是拋

物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到落入沙坑的過程中，運(yùn)動員的豎直高度式單

位：M與水平距離x（單位：⑼近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（尤-02+%（。<0）.

（1）第一次訓(xùn)練時，該運(yùn)動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離％/m011.522.53

豎直高度y/m00.750.937510.93750.75

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a（x-/02+-。<0）；

（2）第二次訓(xùn)練時，該運(yùn)動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.25（尤-2.2）2+1.21.記該運(yùn)

動員第一次訓(xùn)練落入沙坑點(diǎn)的水平距離為4,第二次訓(xùn)練落入沙坑點(diǎn)的水平距離為4，則4d2

（填“”或“<,）

5.（2023?北京石景山?統(tǒng)考二模）2023年4月16日，世界泳聯(lián)跳水世界杯首站比賽在西安圓滿落幕，中國

隊(duì)共收獲9金2銀，位列獎牌榜第一.賽場上運(yùn)動員優(yōu)美的翻騰、漂亮的入水令人贊嘆不已.在10米跳

臺跳水訓(xùn)練時，運(yùn)動員起跳后在空中的運(yùn)動路線可以看作是拋物線的一部分.建立如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系，從起跳到入水的過程中，運(yùn)動員的豎直高度》（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函

數(shù)關(guān)系y=+左（4<0）.

示意圖

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某跳水運(yùn)動員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練.

（1）第一次訓(xùn)練時，該運(yùn)動員的水平距離》與豎直高度，的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m00.20.40.60.81.62.0

豎直高度y/m10.0010.4510.6010.4510.005.201.00

①根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a（x-/7y+Ma<0）；

②運(yùn)動員必須在距水面5m前完成規(guī)定的翻騰動作并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤.在這次訓(xùn)練

中，測得運(yùn)動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，水平距離為1.6m,判斷此次跳水會不會出現(xiàn)失誤，并說明理

由；

（2）第二次訓(xùn)練時，該運(yùn)動員的豎直高度了與水平距離尤近似滿足函數(shù)關(guān)系y=《16（元-0.38）2+w60.如

圖，記該運(yùn)動員第一次訓(xùn)練的入水點(diǎn)為4若運(yùn)動員在區(qū)域AB內(nèi)（含48）入水能達(dá)到壓水花的要求，

則第二次訓(xùn)練達(dá)到要求（填“能”或“不能”）.

6.（2023?北京海淀?統(tǒng)考二模）小明發(fā)現(xiàn)某乒乓球發(fā)球器有“直發(fā)式''與“間發(fā)式”兩種模式.在“直發(fā)式”模式

下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條拋物線；在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出

口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條直線，球第一次接觸臺面到第二次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為

一條拋物線.如圖1和圖2分別建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

圖1直發(fā)式圖2間發(fā)式

通過測量得到球距離臺面高度》（單位：dm）與球距離發(fā)球器出口的水平距離無（單位：dm）的相關(guān)數(shù)

據(jù)，如下表所示：

表1直發(fā)式

x(dm)02468101620

m

》(dm)3.843.9643.963.642.561.44

表2間發(fā)式

x(dm)024681012141618

n

V(dm)3.361.680.8401.402.4033.203

根據(jù)以上信息，回答問題：

（1）表格中：〃=,n=；

（2）求“直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺面前的運(yùn)動軌跡的解析式；

（3）若“直發(fā)式”模式下球第一次接觸臺面時距離出球點(diǎn)的水平距離為4“間發(fā)式”模式下球第二次接觸臺面時

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距離出球點(diǎn)的水平距離為d2,則4d2（填“〉”"=”或.

7.（2023?北京朝陽?統(tǒng)考二模）圖1是一塊鐵皮材料的示意圖，線段AB長為4dm,曲線是拋物線的一部

分，頂點(diǎn)C在的垂直平分線上，且到AB的距離為4dm.以AB中點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面

（1）求圖2中拋物線的表達(dá)式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）要從此材料中裁出一個矩形，使得矩形有兩個頂點(diǎn)在口上，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上，求滿足條件的

矩形周長的最大值.

8.（2023?北京房山?統(tǒng)考二模）排球場的長度為18m,球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24m.排球出手后的運(yùn)

動路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，排球運(yùn)動過程中的豎直高度y（單

位：m）與水平距離無（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（x-/z）2+左（。＜0）.

%

球網(wǎng)

9mI9mH

左邊界右邊界

（1）某運(yùn)動員第一次發(fā)球時，測得水平距離x與豎直高度了的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離％/m02461112

豎直高度y/m2.482.722.82.721.821.52

①根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這些數(shù)據(jù)滿足的函數(shù)關(guān)系y=a（x-〃）2+左（。＜0）；

②判斷該運(yùn)動員第一次發(fā)球能否過網(wǎng)（填“能”或“不能”）.

（2）該運(yùn)動員第二次發(fā)球時，排球運(yùn)動過程中的豎直高度》（單位：機(jī)）與水平距離x（單位：m）近似滿足

函數(shù)關(guān)系了=-0。23-4）2+2.88,請問該運(yùn)動員此次發(fā)球是否出界，并說明理由.

9.（2023?北京昌平?統(tǒng)考二模）興壽鎮(zhèn)草莓園是北京最大的草莓基地，通過一顆顆小草莓，促進(jìn)了農(nóng)民增

收致富，也促進(jìn)了農(nóng)旅融合高質(zhì)量發(fā)展.小梅家有一個草莓大棚，大棚的一端固定在離地面高1m的墻體A

處，另一端固定在離地面高1m的墻體B處，記大棚的截面頂端某處離A的水平距離為離地面的高度

為沖1,測量得到如下數(shù)值：

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x/m01245

811118

y/m1

3TT3

小梅根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)y是龍的函數(shù)，并對y隨》的

變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小梅的探究過程，請補(bǔ)充完整:

(1)在下邊網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)(%,y),并畫出函數(shù)的圖象;

解決問題:

(2)結(jié)合圖表回答，大棚截面頂端最高處到地面的距離高度為m；此時距離A的水平距離為

(3)為了草莓更好的生長需要在大棚內(nèi)安裝補(bǔ)光燈，補(bǔ)光燈采用吊裝模式懸掛在頂部，已知補(bǔ)光燈在距離地

面1.5m時補(bǔ)光效果最好，若在距離A處水平距離1.5m的地方掛補(bǔ)光燈，為使補(bǔ)光效果最好補(bǔ)光燈懸掛部分

的長度應(yīng)是多少m?(燈的大小忽略不計(jì))

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參考答案

1.A

【分析】設(shè)每袋漲價x（元），每星期的銷售量為＞（袋），每星期銷售這種干果的利潤為z（元）根據(jù)題

意列出y與x,z與龍的函數(shù)關(guān)系式，即可求解.

【詳解】解：設(shè)每袋漲價無（元），每星期的銷售量為y（袋），每星期銷售這種干果的利潤為z（元）根

據(jù)題意得，

＞=100-5尤是一次函數(shù)，

Z=（30-20+x）（100-5x）=（10-%）（100-5%）=5x2-150x+1000是二次函數(shù)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式解題的關(guān)鍵.

3,

2.（1）7=--A：+60%

（2）飛機(jī)著陸后滑行600m才能停下來，此時滑行的時間是20s

【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)滑行距離取最大值時求出對應(yīng)的滑行時間即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)表格可以得出函數(shù)圖像過點(diǎn)（2,114）,（4,216）,

.+26=114

??[16a+4b=216’

13

a=—

解得：｛2,

b=60

3

函數(shù)關(guān)系式為：尸-]尤2+60元.

（2）根據(jù)題意，飛機(jī)著陸后滑行一段距離停下來，此時滑行距離y取得最大值，

33

???函數(shù)關(guān)系式為丁=-召+60*，

工一60_2。3

當(dāng)時，最大值＞=-h202+60*20=600,

.?.飛機(jī)著陸后滑行600nl才能停下來，此時滑行的時間是20s.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.

3.（1）丫=-0.5爐+2

（2）五個橋洞的總跨度的長為13.6米

【分析】（1）由表可知，拋物線右的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（。，2）,設(shè)拋物線。的解析式為了=辦2+2待定系數(shù)法求二

次函數(shù)解析式即可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的平移，分別令y=。，y=l.02,y=L5,求得每個橋洞的跨度即可求解.

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【詳解】(1)由表可知，拋物線右的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)

，拋物線匕的解析式為y=辦?+2

?..拋物線過點(diǎn)(1,1.5).解得a=-0.5

y——0.5x~+2

(2)令y=0,-0.5x2+2=0

解得：%=一2,x2=2,

:.MN=4；

區(qū)的表達(dá)式：為=—0.5(x—4)+0.98,乙3的表達(dá)式：%=—Q5(x—4)+0.5

由題意拋物線4與拋物線右上所之間的部分重合，

即將y=-0.5%2+2向下移動2—0.98=1.02

當(dāng)y=1.02時，一。5/+2=1.02

解得：％=T4x2=1.4,

EF=2.8；

由題意拋物線L3與拋物線4上C￡>之間的部分重合，

即將y=-0.5X2+2向下移動2-0.5=1.5,

當(dāng)>=1.5時，-0.5X2+2=1.5

解得：占=-1，X2=1，

CD=2

4+2x2.8+2x2=13.6

，五個橋洞的總跨度AB的長為13.6米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，畫二次函數(shù)的圖像，理解題意，靈活的運(yùn)用拋物線的對稱性

解題是關(guān)鍵.

4.(1)Im；y=-0.25(x—2)~+1

(2)<

【分析】(1)根據(jù)當(dāng)x=l時與當(dāng)x=3時所對應(yīng)的函數(shù)值相等可知對稱軸為直線x=2,從而得到該運(yùn)動員

豎直高度的最大值為1米，利用頂點(diǎn)式可求函數(shù)關(guān)系式；

(2)分別求出4、d2,再比較大小即可.

【詳解】(1)解：由表格可知，當(dāng)無=1時與當(dāng)x=3時所對應(yīng)的函數(shù)值相等，

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1-3

，對稱軸為：直線x2,

.?.該運(yùn)動員豎直高度的最大值為1.

...拋物線的頂點(diǎn)為(2,1).

則拋物線解析式為y=g-2)2+l(a<0).

當(dāng)x=0時，y=o,

/.0=a(0-2)2+l,解得a=-0.25.

拋物線的解析式為尸《25(X-2>+L

(2)令y=-0.25(x-2)2+l=0

解得：％=0,々=4,

4=4.

又令y=-o.25(x-2.2)2+1.21=0,

=

解得：0,x2=4.4,

/.d2—4.4

V4<4.4,

/.4<4,

故答案是：<.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)問題，掌握待定系數(shù)法和求與X軸的交點(diǎn)是解

題的關(guān)鍵.

5.⑴①1060m,y=-3.75(x-0.4)2+10.60；②此次跳水不會出現(xiàn)失誤，理由見解析

⑵不能

【分析】(1)①先根據(jù)對稱性求出拋物線對稱軸，進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線解

析式，進(jìn)而求出最高點(diǎn)的距離即可；②求出當(dāng)尤=1.6時，y的值即可得到答案；

(2)分別求出兩次入水點(diǎn)的位置即可得到答案.

【詳解】(1)解：①由表格中的數(shù)據(jù)可知當(dāng)x=0.2時，y=10.45,當(dāng)x=0.6時，y=10.45,

拋物線對稱軸為直線x=0-2^0-6=0.4,

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0410.60),

/.拋物線解析式為y=a(x-0.4)2+10.60,

把x=0.2,>=10.45代入得：10.45=a(0.2-0.4)2+10.60,

解得。=-3.75,

拋物線解析式為y=-3.75(%-0.4)2+10.60

???拋物線開口向下，

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，該運(yùn)動員豎直高度的最大值為10.60m；

②此次跳水不會出現(xiàn)失誤，理由如下：

當(dāng)x=1.6時，y=-3.75（1.6-0.4）2+10.60=5.2,

*/5.2>5,

此次跳水不會出現(xiàn)失誤；

（2）解：在y=-3.75（x-0.4）2+10.60中，當(dāng)>=（）時，貝1]-3.75（了一04『+10.60=0,

解得XB2.08或％=-1.28（舍去），

JA（2.08,0）

在y=-4.16（x-0.38）2+10.60中，當(dāng)>時，貝IJY16（X—0.38）2+10.60=0,

解得XQ1.98或xa-1.22（舍去），

第二次入水的位置的水平距離為1.98米，

V1.98<2.08,即第二次入水的位置在店/的左側(cè)，

第二次訓(xùn)練不能達(dá)到要求，

故答案為：不能.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

6.（1）3.84,2.52

（2）y=-0.01（x-4）2+4

（3）=

【分析】（1）根據(jù)直發(fā)式”模式下，表1數(shù)據(jù)，可知對稱軸為直線x=4,根據(jù)對稱性即可求得加的值，根

據(jù)在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條直線，待定系數(shù)法求直線

解析式，進(jìn)而將x=2代入即可求解.

（2）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x-4y+4,將點(diǎn)（0,3.84）代入，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可

求解.

（3）令y=0,即一0.01（元一4）2+4=0,得出4=24,設(shè)拋物線解析式為％=。（尤-167+3.20,將點(diǎn)（8,0）

代入，得出yi=-0.05（x-16『+3.20,令y=0,BP-0.05（x-16）2+3.20=0,得出4=24,即可求解.

【詳解】（1）解：???直發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條拋物線；

由表1數(shù)據(jù)，可知對稱軸為直線x=4,

.?.當(dāng)x=8時的函數(shù)值與x=0時的函數(shù)值相等，

m=3.84,

..?在“間發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條直線，設(shè)直線解析式為

y=kx+b,

將點(diǎn)（0,3.36）,（4,1.68）代入得，

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a=3.36

14左+6=1.68'

伏=-0.42

解得：k，

[b=3.36

:.y=-0.42%+3.36,

當(dāng)x=2時，y=—0.42x2+3.36=2.52,

故答案為：3.84,2.52.

（2）“直發(fā)式”模式下，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條拋物線；

由（1）可得對稱軸為尤=4,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4）,

設(shè)拋物線解析式為y=“（-4）2+4,將點(diǎn)（0,3.84）代入，

得，3.84=16。+4

解得：a=-0.01

拋物線解析式為y=-0.01（X-4）2+4

（3）解：?.?“直發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺面前的運(yùn)動軌跡的解析式為y=-0.01（x-4『+4,

令y=0,即一0.01（元一4）2+4=0,

解得尤=-16（舍去）或x=24

4=24,

???在“間發(fā)式”模式下，球第一次接觸臺面到第二次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條拋物線，

由表2可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（16,3.20）

設(shè)拋物線解析式為％=a（x-⑹?+3.20,將點(diǎn)（8,0）代入，

得，0=64。+3.20

解得：a=-0.05

拋物線解析式為x=-0.05（X-16）2+3.20

令y=0,BP-0.05（X-16）2+3.20=0,

解得x=8（舍去）或x=24

**.d?=24,

??4=4,

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的

關(guān)鍵.

7.（1））=__+4

（2）10

【分析】（1）先求出拋物線頂點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0,4）,/的坐標(biāo)為（-2,0）,然后利用待定系數(shù)法求解即可；

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（2）先證明G、〃關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則￡、尸關(guān)于拋物線對稱軸對稱，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（加，0）,則

G（m,-m2+4）,求出=GF=-m2+4,根據(jù)矩形周長公式列出矩形周長與m的二次函數(shù)關(guān)系式,

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：由題意得拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（。，4）,/的坐標(biāo)為（-2,0）,

設(shè)拋物線解析式為y=a^+4,

，4。+4=0,

解得。=-1,

.?.拋物線解析式為y=-爐+4；

（2）解：如圖所示，?..四邊形跖G”是矩形，

Z.EF//GH,

:E、尸都在x軸上,

軸，

G、H關(guān)于拋物線對稱軸對稱，

；.￡、廠關(guān)于拋物線對稱軸對稱，

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（血，0）,則+4）,

/.E（-m,O）,H-機(jī)2+4）,

EF=2m,GF=-nr+4,

：.矩形EFGH的周長=2砂+IGF

=-2m2+8+4m

=-2（m-I?+10,

-2<0,

.?.當(dāng)根=1時，矩形EFGH的周長有最大值10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確理解題意并熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知

識是解題的關(guān)鍵.

8.（1）①>=—0.02（尤—4）+2.8；②能

（2）沒有，理由見解析

【分析】（1）①由表中數(shù)據(jù)可得拋物線頂點(diǎn)（428）,則設(shè)y=a（尤-4）2+2.8（。<0）,再把表格中其它任意

一組數(shù)據(jù)代入即可求出“值，

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②當(dāng)x=9時，求得y=2.3,再與球網(wǎng)高度比較即可得出答案.

（2）令y=0,