專題21圖形的相似（29題）

一、單選題

1.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AABCSAEDC,AC:EC=2:3,若A3的長(zhǎng)度為6,則DE的長(zhǎng)

度為（）

9C.12D.13.5

2.（2023.四川遂寧.統(tǒng)考中考真題）在方格圖中,以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.在如圖所示的平

面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ASCMDEF成位似關(guān)系,則位似中心的坐標(biāo)為（）

A.（-1,0）B.（0,0）C.（0,1）D.（1,0）

3.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為4（1,2）,3（2,1）,C（3,2）,

現(xiàn)以原點(diǎn)。為位似中心，在第一象限內(nèi)作與AABC的位似比為2的位似圖形AAbC,則頂點(diǎn)C'的坐標(biāo)是

A.（2,4）B.（4,2）C.（6,4）D.（5,4）

4.（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置

一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已

知小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,

則旗桿高度為（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

5.（2023?安徽?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，防，AB于點(diǎn)/，連接DE并

延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若AF=2,FB=1,則MG=（）

C.e+1D.M

6.（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3,3c=4,以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

畫(huà)弧，分別交BC,BD于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)￡,F為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)P,作射線

過(guò)點(diǎn)C作3尸的垂線分別交82AD于點(diǎn)N,則CN的長(zhǎng)為（）

A.710B.而C.2gD.4

7.（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，點(diǎn)。、E為邊45的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸、G在邊BC上,

AC//DG//EF,點(diǎn)X為"與。G的交點(diǎn).若AC=12,則斯的長(zhǎng)為（）

F

ADEB

A.1C.2D.3

8.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，Q4=OB=3右，點(diǎn)C為平面

3

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=~,連接AC,點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM:M4=1:2.當(dāng)線段取最大值時(shí)，

點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）

612

C.55yD.

9.（2023?山東東營(yíng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,產(chǎn)分別在邊。C,5c上，且3尸=?！?

AE平分/。⑦，連接。戶，分別交AE,AC于點(diǎn)G,M,。是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PNLAC

垂足為N,連接尸有下列四個(gè)結(jié)論：①A石垂直平分DM；②?M+PN的最小值為3拒；③。尸=G￡A石;

④Sm=6jL其中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

10.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點(diǎn)C與AB

延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。重合.OE交BC于點(diǎn)/，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.。。交2C于點(diǎn)P,。加工43于點(diǎn)M,AM=4,

則下列結(jié)論，①DQ=EQ,②BQ=3,③8尸=與，?BD//FQ.正確的是（）

8

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

11.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)瓦尸分別是45,上的動(dòng)點(diǎn)，且AF1DE,

垂足為G,將△ABP沿AF翻折，得到八47質(zhì),4〃交DE于點(diǎn)P,對(duì)角線5。交"于點(diǎn)7/,連接

HM,CM,DM,BM,下列結(jié)論正確的是：?AF=DE；②BM〃DE；③若.陽(yáng)，則四邊形3HMF是

菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)，tanZBHF=272;⑤EP-DH=2AG-BH.（）

D

BFC

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

二、填空題

12.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC與與G位似，原點(diǎn)。是位似中

13.（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考中考真題）如圖，“BC和AAB'C'是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段04'

上.若。4：4T=1：2,則和AA'3'C'的周長(zhǎng)之比為

14.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交

15.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的

曲尺（即圖中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度如圖，點(diǎn)A,B,。在同

一水平線上，NABC和ZAQP均為直角，AP與3c相交于點(diǎn)。.測(cè)得AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,

則樹(shù)高尸Q=m.

16.（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，。是邊AB上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為

圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB,AC于點(diǎn)M,N；②以點(diǎn)。為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作弧，交DB

于點(diǎn);③以點(diǎn)為圓心，以"N長(zhǎng)為半徑作弧,在ZBAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N'：④過(guò)點(diǎn)N'作射線DN'

交于點(diǎn)E.若白瓦比與四邊形4。即的面積比為4:21,則=的值為.

17.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90。,AC=3,3C=1,將AABC繞點(diǎn)A逆

4D

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到△AB'C'.連接班'，交AC于點(diǎn)。，則次;的值為.

___________11c/

/7

D

B

18.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，M為對(duì)角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AD上，且4V=AB=1.當(dāng)

以點(diǎn)。，M,N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，AO的長(zhǎng)為.

19.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=3,延長(zhǎng)BC至E,使CE=2,連接AE,

CF平分/DCE交AE于F,連接。尸，則D尸的長(zhǎng)為.

20.（2023?廣東?統(tǒng)考中考真題）邊長(zhǎng)分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上

（如圖），則圖中陰影部分的面積為.

21.（2023?天津?統(tǒng)考中考真題）如圖,在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD的外側(cè),作等腰三角形ADE,EA=ED=|.

（1）VADE的面積為；

（2）若尸為BE的中點(diǎn)，連接”并延長(zhǎng)，與8相交于點(diǎn)G,則AG的長(zhǎng)為.

22.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，E,尸是正方形ABC。的邊AB的三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上

AD

的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，寸的值是.

23.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，ABCD=9Q°,對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)。.若

AB=AC=5,BC=6,ZADB=2ZCBD,則AD的長(zhǎng)為.

三、解答題

24.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）在Rt^ABC中，4c=90。，AD是斜邊BC上的高.

⑴證明：△ABD^CBA；

(2)若AB=6,BC=10,求5D的長(zhǎng).

25.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)8是線段AD上的一點(diǎn)，且C3J_3E.已知

AB=8,AC=6,DE=4.

⑴證明：AABCs^DEB.

（2）求線段8D的長(zhǎng).

26.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，YABCD中，點(diǎn)石是4。的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交54的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)F.

⑴求證：AF=AB-

（2）點(diǎn)G是線段W上一點(diǎn)，滿足/FCG=/FCD,CG交AD于點(diǎn)H,若AG=2,尸G=6,求GH的長(zhǎng).

27.（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在YABCD中，對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)0,ZCAB=ZACB,

過(guò)點(diǎn)3作3E_LAB交AC于點(diǎn)E.

A

(1)求證：ACJ.BD；

⑵若AB=10,AC=16,求OE的長(zhǎng).

28.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是YABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE相交

于點(diǎn)連接AG、CH相交于點(diǎn)N.

BFC

⑴求證：四邊形AMQV是平行四邊形；

(2)若口AMCN的面積為4,求YABCD的面積.

29.(2023?上海?統(tǒng)考中考真題)如圖，在梯形ABCD中點(diǎn)、F,E分別在線段8C,AC上，且

ZFAC=ZADE,AC^AD

⑴求證：DE=AF

(2)若NABC=NCDE,求證：AF2=BFCE

專題21圖形的相似（29題）

一、單選題

1.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABCSAEDC,AC:EC=2:3,若A3的長(zhǎng)度為6,則DE的長(zhǎng)

度為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出.

【詳解】解：：AABCS^EDC,

：.AC:EC=AB-.DE,

VAC:EC=2:3,AB^6,

：.2:3=6:DE,

：.DE=9,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的邊長(zhǎng)比等于相似比是解決此題的關(guān)鍵.

2.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.在如圖所示的平

面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABCsDEf1成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）

A.(-1,0)B.(0,0)c.(0,1)D.(1,0)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意確定直線AD的解析式為：y=x+l,由位似圖形的性質(zhì)得出45所在直線與BE所在直線

X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，即可求解.

【詳解】解：由圖得：4（1,2）,。（3,4）,

設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b,將點(diǎn)代入得:

2=k+bk=\

4=3左+6'解得:

b=l

，直線的解析式為：y=x+l,

AD所在直線與BE所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心,

.,.當(dāng)y=。時(shí)，x=-l,

...位似中心的坐標(biāo)為（TO）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】題目主要考查位似圖形的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，理解題意，掌握位似圖形的特點(diǎn)是解題關(guān)

鍵.

3.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，融。的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1,2）,3（2,1）,C（3,2）,

現(xiàn)以原點(diǎn)。為位似中心，在第一象限內(nèi)作與AABC的位似比為2的位似圖形AAQC',則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是

A.（2,4）B.（4,2）C.（6,4）D.（5,4）

【答案】C

【分析】直接根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：的位似比為2的位似圖形是AABC',且C（3,2）,

.?C（2x3,2x2）,即C（6,4）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置

一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已

知小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,

則旗桿高度為（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

【答案】B

【分析】根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出=再利用垂直求AABCS△即C,最后根據(jù)三角形相似

的性質(zhì)，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，

E

，小

F

由圖可知，AB±BD,CDLDE,CF±BD

\2ABe?CDE90?.

???根據(jù)鏡面的反射性質(zhì)，

???ZACF=ZECFf

：.90°-ZACF=90°-ZECF,

:.ZACB=ZECD,

:△ABCs小EDC,

.AB_BC

'~DE~~CD'

???小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,

AB=1.6m,BC=2m,CD=10m.

.L6_2

,,瓦-6

「.￡)￡=8m.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質(zhì)和相似三角形的性

質(zhì).

5.(2023?安徽?統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)￡在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，石尸，于點(diǎn)尸，連接。石并

延長(zhǎng)，交邊5C于點(diǎn)M,交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若AF=2,FB=1,則MG=()

B.逆

A.C.V5+1D.710

2

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出器=蔡=2,根據(jù)△加發(fā)―,得出普=黑=2,則

133

CM=-AD=~,進(jìn)而可得MB=萬(wàn)，根據(jù)3C〃AD,得出^GMB^GDA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出3G=3,

進(jìn)而在RtABGN中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：：四邊形A5CD是正方形，AF=2,FB=\,

：.AT>=BC=AB=AF+FG=2+1=3,AD//CB,AD^AB,CB1AB,

'：EF±AB,

：.AD//EF//BC

：.——=—=2,Z\ADEs&CME,

EMFB

.AD_DE_o

13

則CM=—AD=—,

22

3

??.MB=3—CM=—,

2

?:BC//AD,

:.AGMBSQDA,

3

：.BGMB2

AG-DA-T-2

JBG=AB=3,

在RtABGM中，MG=yjMB2+BG2=J]51+32=哼，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌

握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

畫(huà)弧，分別交3C,BD于點(diǎn)、E,F,再分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于1跖長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)尸，作射線

過(guò)點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)N,則CN的長(zhǎng)為（）

A.MB.VTTC.2乖＞D.4

【答案】A

【分析】由作圖可知3P平分NC3O,設(shè)B尸與CN交于點(diǎn)O,與交于點(diǎn)K,作僅2,3。于點(diǎn)。根據(jù)角

平分線的性質(zhì)可知RQ=RC,進(jìn)而證明RtA3cH^RtABQR,推出BC=BQ=4,設(shè)RQ=RC=x,則

4

DR=CD-CR=3-x,解R/OQ?求出QR=CR=§.利用三角形面積法求出OC,再證AOCK,△DOV,

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CN.

【詳解】解：如圖，設(shè)與CN交于點(diǎn)O,與。交于點(diǎn)尺作尺。，8。于點(diǎn)。，

,矩形ABCD中，AB=3,BC=4,

CD=AB=3,

BD=^BC~+CEr=5-

由作圖過(guò)程可知，BP平分/CBD,

四邊形ABC。是矩形，

CD1BC,

又；RQLBD,

RQ=RC,

在Ri^BCR和RUBQR中，

[RQ=RC

[BR=BR'

RtABCJ?^RIABQR(HL),

BC=BQ=4,

QD=B。-3。=5-4=1,

^RQ=RC=x,貝！]r>E=CD_CR=3_x,

在RtADQR中，由勾股定理得。尺2=￡)Q2+RQ2,

即(3—x)2=12+x2,

4

解得x=§,

BR=yjBC2+CR2=-A/10.

3

SAIjy-K=-2CRBC=2-BROC,

4

：.oc=強(qiáng)匹r=|Vio.

BR打

???ZCOR=ZCDN=90°,/OCR=/DCN,

^OCRSADCN,

即沖：

,PCCR

,DC-CAF

3CN

解得CN=Vi6.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，有一定難度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖過(guò)程判斷出3P

平分NCBD,通過(guò)勾股定理解直角三角形求出CR.

7.（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在“BC中，點(diǎn)。、E為邊A8的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸、G在邊3C上，

AC//DG//EF,點(diǎn)8為■與DG的交點(diǎn).若AC=12,則的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】由三等分點(diǎn)的定義與平行線的性質(zhì)得出=BF=GF=CG,AH=HF，初/是△AEF的

中位線，易證△瓦戶s△&ic,得字=些，解得EF=4,則。8=」班=2.

ACAB2

【詳解】解：E為邊A3的三等分點(diǎn)，EF〃DG〃AC,

:.BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,

:.AB=3BE,DH是尸的中位線,

:.DH=-EF,

2

?：EF〃AC,

ZBEF=ABAC,ZBFE=ZBCA,

:.ABEFsABAC,

EFBEnrlEFBE

ACAB123BE

解得：EF=4,

:.DH=-EF=-x4=2,

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三等分點(diǎn)的定義、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知

識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，0A=0B=35點(diǎn)C為平面

3

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=-,連接AC,點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM:M4=1:2.當(dāng)線段取最大值時(shí)，

點(diǎn)Af的坐標(biāo)是（）

612

C.

【分析】由題意可得點(diǎn)C在以點(diǎn)8為圓心，!■為半徑的上，在X軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)。-羋,0,連接

2I27

分別過(guò)C、M作CF_LQ4,MELOA,垂足為尸、E,先證A。4MsA/MC,得等=?=1,從而當(dāng)c。

取得最大值時(shí)，0M取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)O,B,C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B在線段OC上時(shí)，C。取得

最大值，然后分別證△%>OSACDF,AAEMSAAFC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

3

【詳解】解：：點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=g,

3

...點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，§為半徑的08上，

在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)。-——,0,連接分別過(guò)C、M作ME1.OA,垂足為尸、E,

OA=OB=3y[5,

:.AD=OD+OA=述,

2

.0A2

??=一,

AD3

9：CM:MA=1:2,

.OA2CM

9，~AD~3~~AC'

u：ZOAM=ZDAC,

^OAM^^DACf

.OM_OA_2

，9~CD~^D~3

???當(dāng)CD取得最大值時(shí)，QM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)。，B,。三點(diǎn)共線，且點(diǎn)5在線段。。上時(shí),

CO取得最大值,

VOA=OB=3y/5,=—,

2

15

：.BD=yj0B2+0D2=

~2

JCD=BC+BD=9,

..OM2

?一，

CD3

???OM=6,

???丁軸，N軸，CF1OA,

：.^DOB=^DFC=90°,

?:NBDO=NCDF,

**?△BDO^^CDF,

15

嚕嘿即石

3T

CF9

解得皿竽

同理可得，AAEMSAAFC,

ME2

MEAM2---

=§即應(yīng)I3,

~CF~AC

解得ME="好

5

當(dāng)線段OM取最大值時(shí)，點(diǎn)用的坐標(biāo)是（攣，里

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握

相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?山東東營(yíng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,尸分別在邊DC,8C上，且防=CE,

AE平分/C4D,連接DP,分別交AE,AC于點(diǎn)G,M,尸是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作RV,AC

垂足為N,連接,有下列四個(gè)結(jié)論：①AE垂直平分DM^PM+PN的最小值為3g③CF°=GE.AE；

④=6夜.其中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

【答案】D

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形全等即可證明NZME=NEDC,通過(guò)等量轉(zhuǎn)化即可求證AG，DM,利

用角平分線的性質(zhì)和公共邊即可證明△ADGMDMG(ASA),從而推出①的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果可證

明△APESZ^DGE推出。七2=6￡4石，通過(guò)等量代換可推出③的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果和勾股定理推

出AM和CW長(zhǎng)度，最后通過(guò)面積法即可求證④的結(jié)論不對(duì)；結(jié)合①中的結(jié)論和③的結(jié)論可求出產(chǎn)W+7W的

最小值，從而證明②不對(duì).

【詳解】解：?「ABC。為正方形，

：.BC=CD=AD,ZADE=ZDCF=90°,

?;BF=CE,

:.DE=FC,

:.^ADE^DCF(SAS).

,\ZDAE=ZFDC,

?.?NADE=90。，

:.ZADG+ZFDC=90°,

:.ZADG+ZDAE=90°,

:.ZAGD=ZAGM=9Q°.

???AE1平分NOW,

.\ZDAG=ZMAG.

?.?AG=AG,

.?.△ADG^AAMG(ASA).

:.DG=GM,

?/ZAGD=ZAGM=90°,

J.AE垂直平分DM,

故①正確.

由①可知，ZADE=NDGE=90。,NDAE=NGDE,

△ADEs^DGE,

,DEAE

"~GE~~DE，

:.DE2=GEAE,

由①可知。E=b,

:.CF-=GEAE.

故③正確.

?.?ABCD為正方形，且邊長(zhǎng)為4,

:.AB=BC=AD=4,

.,.在RtAABC中，AC=y[2AB^4y/2.

由①可知，AADG^AAMG(ASA),

：.AM=AD=4,

:.CM=AC-AM=40-4.

由圖可知，ADMC和△ADA/等高，設(shè)高為九，

_

..S?ADM,^AADC_S?￡>AfC，

4x/j_4x4(4&-4”，

2'

:.h=2亞,

???^M=|-^^=|X4X2V2=4>/2.

故④不正確.

由①可知，AADG^AAMG(ASA),

:.DG=GM,

關(guān)于線段AG的對(duì)稱點(diǎn)為。，過(guò)點(diǎn)。作DN'_LAC,交AC于N',交AE于P\

.?.府+田最小即為。朝，如圖所示，

由④可知△ADM的高力=20即為圖中的DN',

DN'=2收.

故②不正確.

綜上所述，正確的是①③.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角形全等，三角形面積法，解

題的關(guān)鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

10.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為5的菱形A3CO沿著直線。E折疊，使點(diǎn)C與AB

延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。重合.DE交于點(diǎn)孔交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.22交于點(diǎn)P,于點(diǎn)AM=4,

則下列結(jié)論，①DQ=EQ,②BQ=3,③族=叁，?BD//FQ.正確的是（）

8

【答案】A

【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得NQD產(chǎn)=N8P=NQ所，根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷①正確；根

據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出=AM=4,再求出8。即可判斷②正確；由尸得

CPCD5FFOP

—=-=T,求出3尸即可判斷③正確；根據(jù)笠即可判斷④錯(cuò)誤?

DrH03DEBE

【詳解】由折疊性質(zhì)可知：NCDF=NQDF,CD=DQ=5,

CD//AB,

：.ZCDF=ZQEF.

...ZQDF=ZQEF.

???DQ=EQ=5.

故①正確；

VDQ=CD=AD=5fDM±AB,

：.MQ=AM=4,

u：MB=AB-AM=5-4=1,

：.BQ=MQ-MB=4-1=3.

故②正確；

CD//AB,

：./\CDP^/\BQP.

?CP__C__D__5

**BP-Be-3,

,:CP+BP=BC=5,

315

BP=-BC=—.

88

故③正確；

■:CD//AB,

/\CDF^/\BEF.

?_D_F___C__D_____C_D_______5___5

-EF~BE~BQ+QE~3+5~S'

.EF8

**DE-i3,

..QE_5

?1,

BE8

.E^^QE

??"r~.

DEBE

：.AEFQ與AEDB不相似.

/.ZEQFwNEBD.

2。與尸。不平行.

故④錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱

形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)瓦尸分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且AF1ZJE,

垂足為G,將△說(shuō)沿AF翻折，得到交QE于點(diǎn)P,對(duì)角線80交AF于點(diǎn)H,連接

HM,CM,DM,BM,下列結(jié)論正確的是：@AF=DE；②BM〃DE；③若砌，則四邊形助叨WF是

菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到A3的中點(diǎn)，tanNBHF=2應(yīng)；⑤EP-DH=2AG-BH.()

D

BFC

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

【答案】B

【分析】利用正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)，逐一判斷，即可解答.

【詳解】解：???四邊形ABC。是正方形,

:.ZDAE=ZABF=9Q°fDA=AB,

vAF±DE,

:.ZBAF+ZAED=90°,

\-ZBAF+ZAFB=90°,

,\ZAED=ZBFA,

/.AABF^AAED(AAS),

:.AF=DE,故①正確，

???將△鉆耳沿AF翻折，得到△AMF,

???AF1QE,

:.BM//DE,故②正確，

當(dāng)時(shí)，ZCMF=90°,

?：ZAMF=ZABF=90°,

:.ZAMF+ZCMF=1SO°,即AM,。在同一直線上，

:.ZMCF=45°,

ZMFC=90?！猌MCb=45。，

通過(guò)翻折的性質(zhì)可得NHBb=NHMF=45。，BF=MF,

:?/HMF=ZMFC,ZHBC=ZMFC,

BC//MH.HB//MF,

，四邊形瓦如田是平行四邊形，

?,BF=MF,

???平行四邊形瓦ZMF是菱形，故③正確，

當(dāng)點(diǎn)石運(yùn)動(dòng)到A3的中點(diǎn)，如圖，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2*則=M=

在RtZ\AED中，DE7Abi+AE。=W=AF，

ZAHD=AFHB,ZADH=NFBH=45°,

:.AAHD^AFHB，

FHBFa_1

~AH-AD-2a2'

275

AH=-AF=------Cl

33

■.■ZAGE=ZABF=90°,

:.AAGF^AABF,

AEEGAG_a_也

I?一而一右一忘一彳

:.EG=—BF=—a,AG=-AB=^-a,

5555

4J54J5

/.DG=ED-EG=—L-a,GH=AH-AG=—^a,

515

,.,ZBHF=ZDHA,

在Rt^ZX?”中，tan=tanZDHA=——=3,故④錯(cuò)誤，

GH

-.-AAHD^AFHB,

BH_1

??=一,

DH2

11Q5DOAB

:.BH=-BD=-x2yf2a=-^a,DH=-BD=-x242a=-^a,

333333

?.?AF工EP,

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得EP=2EG=^-a,

5

,s門(mén)口_2舊40_8V102

5315

…2非2A/2_8A/102

5315

EPDH=2AG-BH=a2,故⑤正確;

15

綜上分析可知，正確的是①②③⑤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求

做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

12.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC與△ABiG位似，原點(diǎn)。是位似中

【答案】（3,1）

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng).

【詳解】解:設(shè)

AB

???“IBC與位似，原點(diǎn)0是位似中心，且73=3.若A（9,3）,

a5

???位似比為:3,

.9__33_3

mini

解得m=3,n=l,

???4(3,1)

故答案為：（3,1）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵.

13.（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考中考真題）如圖，AABC和△A'3'C'是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段OA

上.若。4：A4'=1:2,則AABC和AA'3'C'的周長(zhǎng)之比為.

【答案】1:3

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】解：?.?Q4：A4'=1：2,

:.OA-.OA=1:3,,

設(shè)AASC周長(zhǎng)為4，設(shè)周長(zhǎng)為4,

AABC和AAFC是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，

.ZiOA1

:12=1:3.

「.△ABC和△A9C的周長(zhǎng)之比為1:3.

故答案為：1:3.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握位似圖形性質(zhì).

14.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，E是線段A3上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交

【答案】|

【分析】四邊形"CD是平行四邊形，則A5=CD,AB||CD,可證明AEIFSAOCF,得至【J空=g=當(dāng),

EFAEAE

由蕓=2:進(jìn)一步即可得到答案?

EB3

【詳解】解：:四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=CD,AB\\CD,

：.ZAEF=NCDF,ZEAF=/DCF,

:.AEAFSADCF,

.DFCDAB

**-AE-AE5

..A￡_2

?——,

EB3

.AB_5

??二一，

AE2

.^AADF___D__F______A__B_=_5

1,SAAEFEF~AE~2-

故答案為：g

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明產(chǎn)SAOCF是解題的關(guān)

鍵.

15.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的

曲尺（即圖中的A3C）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度如圖，點(diǎn)A,B,。在同

一水平線上，/ABC和ZAQ尸均為直角，AP與8C相交于點(diǎn)。.測(cè)得AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,

貝I樹(shù)高產(chǎn)。=m.

【答案】6

【分析】根據(jù)題意可得皿SAAQP,然后相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：：ZABC和NAQP均為直角

BD//PQ,

^ABD^^AQP,

?_B_D___A_B_

,?所—而

*/AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,

.八八AQxBD12x20,

：.PQ=-.........=----------=6m,

AB40

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，。是邊43上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為

圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB,AC于點(diǎn)N；②以點(diǎn)。為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作弧，交DB

于點(diǎn)M'；③以點(diǎn)M'為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧,在NBAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N'：④過(guò)點(diǎn)N'作射線DN'

RF

交BC于點(diǎn)E.若ABDE與四邊形ACED的面積比為4:21,則=的值為.

B

【分析】根據(jù)作圖可得N3DE=NA,然后得出近〃AC,可證明△3DE,進(jìn)而根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得NBDE=NA,

DE//AC,

Z\BDE^/\BAC,

；ABDE與四邊形ACED的面積比為4：21,

.S?c.4/叫

S'BAC21+4{BCJ

,BE_2

**BC-5

.BE_2

??市―§，

故答案為："I.

【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握基本作圖與相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=l,將金。繞點(diǎn)A逆

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到ZWC.連接班'，交AC于點(diǎn)。，則F的值為.

【答案】5

【分析】過(guò)點(diǎn)。作。尸于點(diǎn)R利用勾股定理求得A5=W，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△ABa、△麗是

等腰直角三角形，可得￡>尸=8/，再由‘1M=；xBCxAD=Jx￡）八AB,得"）=加。尸，證明

△AFD~AACB,可得里=竺，即AF=3D尸，再由4尸=加-￡）尸，求得DF二叵,從而求得4。=°,

BCAC42

CD=~,即可求解.

2

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作￡>b_LAB于點(diǎn)尸，

VZACB=90°,AC=3,BC=1,

,,AB=A/32+12=>J1O,

..?將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到△AB'C',

；.AB=A2'=M，ZBAB'=90°,

???AABB'是等腰直角三角形，

/AS?=45°,

又：DF±AB,

：./FOB=45。，

，△￡)比?是等腰直角三角形，

DF=BF,

'/S.AOB=；xBCxAD=|xDFxAB,即AD=屈DF,

,/NC=ZAFD=90。，ZCAB=ZFAD,

^AFD~小ACB,

,即AF=3r)R,

BCAC

又?:AF=屈-DF,

??DF=-----,

4

AD=>J10x,CD=3——=—,

4222

5

.A￡=2=S

?,五I，

2

故答案為：5.

A

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟

練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

18.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，M為對(duì)角線5。的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AD上，且AN=A?=1.當(dāng)

以點(diǎn)。，M,N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為.

【答案】2或0+1

【分析】分兩種情況：當(dāng)/A￡VD=90。時(shí)和當(dāng)/WD=90。時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】解：當(dāng)/肱VD=90。時(shí)，

:四邊形A3CD矩形，

AZA=90°,則肱V〃AB,

由平行線分線段成比例可得：黑=瞿，

NDMD

又為對(duì)角線3。的中點(diǎn)，

***BM=MD,

.ANBM

??麗―訪—’

即：ND=AN=\,

：.AD=AN+ND=2,

當(dāng)NAMD=90。時(shí)，

為對(duì)角線8。的中點(diǎn)，NNMD=90。

MN為BD的垂直平分線，

BN=ND,

:四邊形ABCD矩形，AN=AB=1

AZA=90°,則斯=96+32=夜,

BN=ND=42

AD=AN+ND=>/2+l，

綜上，的長(zhǎng)為2或0+1，

故答案為：2或0+1.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質(zhì)等，畫(huà)出草圖進(jìn)行分類(lèi)討

論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

19.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=3,延長(zhǎng)BC至E,使CE=2,連接AE,

C/平分/DCE交AE于尸，連接。尸，則￡>尸的長(zhǎng)為.

4

【分析】如圖，過(guò)下作于M,FN1CD于N,由C/平分NDCE,可知N/CM=N/CN=45。，

可得四邊形CMFN是正方形，F(xiàn)M//AB,設(shè)FM=CM=NF=CN=a,貝！|Affi=2-。，證明

則?=粵，即?=汽，解得0=3,DN=CD-CN=?,由勾股定理得DF=也解+NF?，計(jì)算求解

ABBE33+244

即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)尸作于M,FN1CD于N,則四邊形W是矩形，F(xiàn)M//AB,

AD

???。/平分/DC石，

JZ.FCM=ZFCN=45°,

：.CM=FM,

???四邊形CMKV是正方形，

設(shè)FM=CM=NF=CN=a,貝lJ"E=2—a,

*.*FM//AB,

^EFM^^EAB,

.FMMEa2-a左刀,曰3

..——=—,n即n一=——，解得。=一，

ABBE33+24

9

???DN=CD-CN=~,

4

由勾股定理得DF=ylDN2+NF2=當(dāng)何

4

故答案為：手

【點(diǎn)睛】本題考查了正方