第。3講平行線的性質(zhì)

題型歸納__________________________________________

【題型1利用平行線性質(zhì)求角度】

【題型2利用平行線性質(zhì)解決三角板問題】

【題型3利用平行線性質(zhì)解決折疊問題】

【題型4平行線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】

【題型5利用平行線的判定與性質(zhì)的綜合】

【題型6命題的判定】

【題型7真假命題的判斷】

【題型8命題的改寫】

【題型9寫出命題的逆命題】

基礎(chǔ)知識,知識梳理理清教材

考點(diǎn)1:平行線性質(zhì)

性質(zhì)(1):兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。

簡單說成：兩直線平行，同位角相等。

幾何語言：：a〃b

(兩直線平行，同位角相等)

性質(zhì)(2)：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。

簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

幾何語言：：a〃b

；./3=/5(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

性質(zhì)(3)：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

幾何語言：：a〃b

.1.Z3+Z6=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))

題型分類深度剖析

【題型1利用平行線性質(zhì)求角度】

【典例1】（2024?江蘇南京?中考真題）如圖，ABWED,若N1=70。，則N2的度數(shù)是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及對頂角相等的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握:

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)和對頂角相等解答.

【詳解】解：,??41=70。，

N3=70°,

■.-AB||ED,

Z2=180°-z3=180°-70°=110°,

故選：D.

【變式1-1］（24-25八年級上?甘肅蘭州,期末）如圖，已知41=42,43=118。,貝比4=

（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的判定以及性質(zhì)，由41=42,得出a||6,進(jìn)而得出

z4=z5,由N3=118。，即可求出答案.

【詳解】解：,??41=42,

???a\\b,

???z4=z5,

???z3=118°,

z4=Z5=180°-z3=180°-118°=62°.

故選：D.

【變式1-2](24-25七年級上?海南?？?期末)小明觀察"抖空竹”時發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的

情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知4811c象LBAE=88°,乙DCE=122。,則NE的度數(shù)是

()

A.28°B.30°C.32°D.34°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì).首先過點(diǎn)C作FMIL4E,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等

可得：AECF=ZF,根據(jù)兩直線平行同位角相等可得：ABMC=ABAE=88°,

^DCF=/.BME=88°,根據(jù)角之間的關(guān)系可得：/-ECF=ZDCE-ZDCF=34°,等量代換

可得：zF=34°.

【詳解】解:如下圖所示，過點(diǎn)C作尸MINE,

:.乙ECF=LE,ABMC=ABAE=88°,

???ABWCD,

■.^DCF=ABME=88°,

又-.?Z.DCE=122°,

.-./.ECF=/-DCE-/.DCF=122°-88°=34°

Z.E=34°.

故選：D.

（變式1-3］（24-25九年級上,重慶?階段練習(xí)）如圖,CD是NEC8的平分線,且CD||4B,AB=50°,

則NECD的度數(shù)為（）

A.30°B.40°D.60°

【答案】C

【分析】本題考查了平分線的定義、平行線的性質(zhì).首先根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等,

可得4CB=NB=50°,再根據(jù)角平分線的定義可知NECD=乙DCB=50°.

【詳解】解：如下圖所示,

???CDWAB,

ADCB=NB=50°,

???CD平分乙ECB,

AECD=乙DCB=zB=50°.

故選：C.

【題型2利用平行線性質(zhì)解決三角板問題】

【典例2】（海南省三亞市2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題）已知4B||CD,

現(xiàn)將一個含30。角的直角三角尺EFG按如圖方式放置，其中頂點(diǎn)尸、G分別落在直線2B,

CD上，GE交AB于點(diǎn)、H,若4EHB=45°,則“FG的度數(shù)為（)

A.120°B.115°D.105°

【答案】D

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角

相等；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵.由4BIIC0可得NEGD=NEHB=45。,

結(jié)合NFGE=60?？傻贸鯪FGD的度數(shù)，再由4811c。得出NHFG=NFG。，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???ABIICD,

AEGD=乙EHB=45°,

由含30。角的直角三角尺EFG可得，AFGE=60°,

.-./.FGD=4FGE+/.EGD=60°+45°=105°,

■■■ABWCD,

Z/4FG=ZFGD=1O5°.

故選：D.

【變式2-11（24-25七年級上?海南海口?期末）將一副三角板（厚度不計(jì)）如圖擺放，使含45。

角的三角板的一條直角邊與含30。角的三角板的斜邊垂直，則a的度數(shù)為（）

A.60°B.65°D.75°

【答案】D

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，與三角板有關(guān)的計(jì)算，先證明。尸II48,得到

NB+ADFB=180。，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，由題意，得：Z1=45°,ZB=60°,FD1DE.DE1AB,

ADC

外中

B

：.DF||AB,

：.Z-B+乙DFB=180°,

.?.ZDF^=18O°-6O°=12O°,

：.a=乙DFB—乙1=120°-45°=75°；

故選D.

【變式2-2］（24-25七年級上,吉林長春?期末）在同一平面內(nèi)，將直尺、含45。角的三角尺和

木工角尺（DELDF）按如圖方式擺放.若AB||DF,則N1的大小為（）

不

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，垂線,關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出=由

平行線的性質(zhì)推出NBDF=^ABC=45°,由垂直的定義得到NEDF=90。，由平角定義

即可求出41的度數(shù).

【詳解】解:如圖：

1cB71?.ABWDF,

???A.BDF=^ABC=45°,

DE1DF

??.ZEDF=9O°,

Z1=180°-90°-45°=45°.

故選：B.

【變式2-3］（24-25七年級上?河南南陽?期末）將一副直角三角板如圖放置，使含30。角的三

角板的短直角邊和含45。角的三角板的一條直角邊對齊，則N1的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行公理推論，熟練掌握平行線的判定與性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.如圖（見解析），過點(diǎn)E作EFII48,先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

乙BEF=NB=30°,再根據(jù)平行線的判定可得AB||CD,根據(jù)平行公理推論可得

CD||EF,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDEF="=45。，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EFII4B,

由題意得：Z.BXC=Z-ACD=90°,Z.B=30°,4。=45。,

.?ZBEF=NB=3O°,^BAC+AACD=180°,

.-.AB||CD,

.-.CD||EF,

：./.DEF=3=45°,

??/I=NBEF+NDEF=75。，

故選：D.

【題型3利用平行線性質(zhì)解決折疊問題】

【典例3）（23-24七年級下?黑龍江雞西?階段練習(xí)）手工課上小亮將一張長方形紙片4BCD沿

EF折疊，若Nl=40。，則NAEF度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、翻折變換等知識，如圖，設(shè)2的對應(yīng)點(diǎn)為K.由4DII

BC,推出乙4￡'尸+乙8尸￡1=180。，求出乙BFE即可解決問題.

【詳解】解：如圖設(shè)2的對應(yīng)點(diǎn)為K.

■:乙BFE=KEFK,Z1=40°,

:ZBFK=180°-40°=140°,

"BFE=70°,

■,-ADWBC,

:.^AEF+Z.BFE^180°,

-.^AEF=110°,

故選：A.

【變式3-1］（23-24七年級下?廣東廣州?期中）如圖，把長方形力BCD沿EF折疊后，點(diǎn)、D,C

分別落在。，C'的位置，若41=50。，則NFGO=°.

【答案】130

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NEGF=N1=5O。，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得"GO

=180。一NEGF,即可求出NFG。的度數(shù).

本題主要考查了平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???ADIIBC,

:.乙EGF=Z1=50°,

.-./.FGD'=180°-NEGF=180°-50°=130°.

故答案為：130.

【變式3-2］（23-24七年級下?云南昆明?期末）如圖，將一張長方形紙片4BCD沿EF折疊，點(diǎn)

2c分別落在點(diǎn)D',C'處，若41=54。，貝比8尸。的度數(shù)為.

【答案】54。/54度

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)折疊性質(zhì)得出=根據(jù)N1的度

數(shù)求出NDEO,即可得出NDEK再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：LDED'=24DEF,

??21=54。，

:.乙DED'=18O0-Z1=126°,

ADEF=63°,

-：AD||BC,

."DEF+乙EFC=180°,乙EFB=乙DEF=63°,

z￡FCz=z￡FC=117°.

ZBFC=117°-63O=54°.

故答案為：54°.

【變式3-3］（23-24九年級下?黑龍江?期中）把一張對邊平行的紙條CAD||BC）按照如圖所

示的方式折疊，石尸為折痕，^BEF=146°,貝比AGE的度數(shù)為。.

D'

G

【答案】68。/68度

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)及翻折變換，由N8EF=146。，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義可得

42=34。，由折疊得41=42=34。，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解:如圖,

"2+NBEF=180°,NBEF=146°,

.-.Z2=34°,

由折疊可知=N2=34°,

.?."EG=68°,

-：AD||BC,

：.Z.AGE=Z.CEG=68°.

故答案為：68°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用，涉及翻折變換，解此題的關(guān)鍵是掌握平行線

的性質(zhì).

【題型4平行線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】

【典例4】（2023?四川綿陽?中考真題）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線

從水中射向空氣時，要發(fā)生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中

也是平行的.如圖，41=122。，貝”2的度數(shù)為（）

A.32°B.58°C.68°D.78°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)"兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)"和"兩直線平行,

同位角相等"即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???水面和杯底互相平行，

???zl+Z3=180°,

??-zl=122°,

Z3=180°-41=180°-122°=58°.

???水中的兩條光線平行，

Z2=z3=58°.

故選：B.

【變式4-1］（23-24七年級下?廣西百色?期末）如圖，一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來的方向

相同.如果第一次的拐角乙4=135。，則第二次的拐角NB度數(shù)是（）

A.45°B.130°C.135°D.140°

【答案】C

【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì).根據(jù)

兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可知/8=乙4,進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，

???一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來的方向相同,

.-.ACWBD,

：.z.B=NA=135°,

故選：C.

【變式4-2］（22-23七年級下?江蘇?階段練習(xí)）一學(xué)員在廣場上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后,

行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（）

A.第一次向左拐50。，第二次向左拐50°

B.第一次向右拐50。，第二次向左拐130。

C.第一次向左拐50。，第二次向左拐130。

D.第一次向左拐130。，第二次向右拐130。

【答案】D

【分析】首先根據(jù)作出圖形，利用平行線的判定性質(zhì)求出答案，注意排除法在選擇題中

的應(yīng)用.

【詳解】解：A、第一次向左拐50。，第二次向左拐50。，如圖所示：

行駛方向與原方向不同，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意;

B、第一次向右拐50。，第二次向左拐130。，如圖所示,

行駛方向與原方向不同，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意;

C、第一次向左拐50。，第二次向左拐130。，如圖所示:

行駛方向與原方向不同，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

D、第一次向左拐130。，第二次向右拐130。，如圖所示:

故本選項(xiàng)正確，符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定，難度不大，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵.

【變式4-3］（23-24七年級下,山東濰坊?期中）某小區(qū)地下停車場的限高欄桿如圖所示，當(dāng)

欄桿抬起到最大高度時N4BC=120。，若此時CD平行地面4E,貝此BCD=度.

【答案】150

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的

關(guān)鍵.過點(diǎn)8作BF||CD,可得乙48尸=90。，進(jìn)而得到ZFBC=120?！?0。=30。，由

乙BCD+乙FBC=180。即可得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)8作BFIICD,如圖，

??,CD平行地面4E,

,■.BFWAE,

■-AB1AE,

-.^ABF=90°

?■-ZXBC=120°,

NFBC=120°—90°=30°,

???BFWCD,

：.ABCD+乙FBC=180°,

；/BCD=180°-30°=150°,

故答案為：150.

【題型5利用平行線的判定與性質(zhì)的綜合】

【典例5］（24-25八年級上?安徽安慶?期中）如圖，CD是△ABC的高，點(diǎn)G在BC上,

FGLAB,垂足是點(diǎn)F,點(diǎn)E在4C上，連接，若N1=N2.求證：DE\\BC

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，靈活運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)成為解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)CD14B,FG14B可判定C0IFG,利用平行線的性質(zhì)可知42=N8CD,再結(jié)合

41=42,運(yùn)用等量代換得Nl=NBCD即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：?.￡￡）是△力BC的高，

.-.CD1.AB,

■：FGLAB,

■.CDWFG.

.,.Z2=乙BCD.

又rNl=Z2,

.?.Zl=乙BCD.

.-.DEWBC.

【變式5-1］（24-25七年級上?海南海口?期末）如圖，四邊形ABCD中，尸為CD上一點(diǎn)，連接

4尸并延長，交BC的延長線于點(diǎn)E,連接4C.若乙B=LDCE,zl=z2,z3=z4.

⑴試說明AB||CD；

解：（1）?.2B=ADCE,（已知）

:.AB||CD.()

（2）4。與BC的位置關(guān)系如何？為什么？

解：力。與8c的位置關(guān)系是：AD||BC,理由如下：

■：AB||CD,（已知）

.?24=Z.（）

??-Z3=Z4,（已知）

N3=Z.（）

,.,Z1=Z2,（已知）

.,.zl+/-CAF=N2+Z.CAF,

即N=Z,

.?.43=4.（等量代換）

：.AD||BC.（）

⑶N4CD與4E相等嗎？請說明理由.

【答案】（1）同位角相等，兩直線平行

⑵NB4E；兩直線平行，同位角相等；/-BAE-,等量代換；LBAE-ZCXD；內(nèi)錯

角相等，兩直線平行

⑶相等，見解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì).

（1）根據(jù)同位角相等兩直線平行即可判定48||CD.

（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)求解即可.

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：.:乙B=LDCE,（已知）

■■-AB||CD.（同位角相等，兩直線平行）

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

（2）解：AD與BC的位置關(guān)系是：AD||BC,理由如下：

-：AB||CD,（已知）

：.^=^BAE.（兩直線平行，同位角相等）

??-Z3=Z4,（已知）

.?Z3=NB2E.（等量代換）

,■,zl=Z2,（已知）

.?.Zl+/-CAF=42+/.CAF.

即=

.?Z3="AD,(等量代換)

.■.AD||BC.(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)

故答案為：^BAE；兩直線平行，同位角相等；NB4E；等量代換；^BAE；^CAD-.

^CAD-.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

(3)解:/.ACD=ZE,理由如下：

-：AB||CD,

.,.zl=Z.ACD.

-：AD||BC,

?,?Z2=/-E.

???Zl=Z2,

:./-ACD=/-E.

【變式5-2](24-25八年級上?陜西榆林?期末)如圖，點(diǎn)。、E、尸分別是△ABC的邊BC、

CA,28上的點(diǎn)，連接DE,DF,^.DFWAC,N1+42=180°.

⑴證明：DEWAB；

(2)若Nl=100°,DF平分乙BDE,求NC的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)80°

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，掌握兩直線平行，同位角

相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題關(guān)鍵.

(1)由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得到41+乙4=180。，進(jìn)而得出乙4=N2,即可

證明結(jié)論；

(2)由平行線的性質(zhì)，得至ijNEDF=80°,結(jié)合角平分線的定義，得出NBDF=80。，即

可得出4c的度數(shù).

【詳解】(1)證明：DFWAC,

：.zl+ZX=180°,

Vzl+z2=180°,

???Z-A=z2,

DEWAB

(2)解：vDE\\ABf41=100。，

ZEDF=8O°,

???DF平分乙BDE,

???4BDF=^EDF=80。,

???DF\\ACf

^C=^BDF=80°.

【變式5-3](24-25七年級上?吉林長春?期末)已知：如圖，EF||CD,Z1+Z2=18O°.

⑴判斷GD與C4的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若。G平分NCDB,若乙4CD=40。，求乙4的度數(shù).

【答案】(1)GD||C4理由見解析

(2)40°

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義；

(1)根據(jù)EF||CD可得N1+乙4CD=180°,從而證明乙4CD=N2,根據(jù)平行線的判定

即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：GD||CA.

理由：「EF||CD,

.-.zl+Z/1CD=180°,

X-.-zl+z2=180°,

.,.Z.ACD=z2,

：.GD||CA-,

(2)解：；GD||CA,

.-.Z2=AACD=40°,

???DG平分“DB,

."DG=N2=40°,

-：GD||CA,

4=4BDG=40°.

基礎(chǔ)知識,知識梳理理清教材

考點(diǎn)2：：命題

內(nèi)容

定義能判斷一件事情的語句，叫做命題。

命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知

組成

事項(xiàng)推出來的事項(xiàng)

通?？梢詫懗伞叭绻?....，那么......”的形式，“如果”后接

表達(dá)形式

的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。

題設(shè)成立，結(jié)論也成立，這樣的命題叫做真命題

分類

題設(shè)成立，結(jié)論不成立，這樣的命題叫做假命題。

題型分類深度剖析

【題型6命題的判定】

【典例6］（24-25八年級上?湖南邵陽?期中）下列語句不是命題的有（）

①全等三角形對應(yīng)邊相等；②過一點(diǎn)畫已知直線的平行線；③對頂角不相等；④內(nèi)

錯角相等嗎？⑤同角的余角相等

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查命題的定義：判斷一件事情的語句稱為命題，據(jù)此逐個判斷即可解答.

【詳解】解：①全等三角形對應(yīng)邊相等，是命題；

②過一點(diǎn)畫已知直線的平行線，不是命題；

③對頂角不相等，是命題；；

④內(nèi)錯角相等嗎？不是命題；

⑤同角的余角相等，是命題；

綜上，不是命題的是②④，共2個.

故選：B

【變式6-1］（23-24七年級下?湖南湘西?期末）下列語句，不是命題的是（）

A.兩點(diǎn)之間線段最短B.在同一個平面內(nèi)兩直線不平行就相交

C.連接8兩點(diǎn)D.對頂角相等

【答案】C

【分析】本題考查了命題：判斷一件事情的語句叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯

誤的命題稱為假命題.命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的.根據(jù)命題的定義對各選項(xiàng)

進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.兩點(diǎn)之間線段最短，是命題；

B.在同一個平面內(nèi)兩直線不平行就相交，是命題；

C.連接/,B兩點(diǎn)、,為描述性語言，不是命題；

D.對頂角相等，是命題.

故選：C.

【變式6-2］（23-24八年級下?廣東湛江?期中）下列語句是命題的是（）

A.兩直線被第三條直線所截B.過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線

C.百家爭鳴思想活躍D.內(nèi)錯角相等

【答案】D

【分析】本題考查了命題的概念，根據(jù)命題是能具有判定的語句，由題設(shè)和結(jié)論組成進(jìn)

行判定即可，掌握命題的概念是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、兩直線被第三條直線所截是陳述句，不是命題，不符合題意；

B、過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線是陳述句，不是命題，不符合題意；

C、百家爭鳴思想活躍是陳述句，不是命題，不符合題意；

D、內(nèi)錯角相等，題設(shè)是內(nèi)錯角，結(jié)論是相等，是命題，符合題意；

故選：D.

【變式6-3］（23-24七年級下?福建龍巖?期中）下列句子中，是命題的是（）

A.對頂角相等B.a,6兩條直線平行嗎

C.畫一個角等于已知角D.過一點(diǎn)畫已知直線的垂線

【答案】A

【分析】本題考查了命題的定義：一般的，在數(shù)學(xué)中我們把用語言、符號或式子表達(dá)的,

可以判斷真假的陳述句叫做命題.分析是否是命題，需要分別分析各選項(xiàng)是否是用語言、

符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句即可.

【詳解】解：A、對頂角相等，符合命題的概念，故本選項(xiàng)符合題意；

B、a,6兩條直線平行嗎，是問句，未做判斷，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、畫一個角等于已知角，不符合命題的概念，故本選項(xiàng)不符合題意，

D、過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，不符合命題的概念，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選A.

【題型7真假命題的判斷】

【典例7］（24-25八年級上?遼寧沈陽?階段練習(xí)）下面命題中：

①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

②對于所有自然數(shù)+n+11的值都是質(zhì)數(shù)；

③同位角相等，兩直線平行；

④如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命

題.分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答

案.

【詳解】解：①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以①為假命題；

②當(dāng)律=10時，層+n+11=121=1］?不是質(zhì)數(shù)，所以②為假命題；

③同位角相等，兩直線平行，所以③為真命題.

④一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)，所以④為

假命題.

綜上所述，真命題有1個，

故選：A.

【變式7-1］（24-25八年級上,浙江寧波?期中）下列命題中，真命題是（）

A.若2x=-1,貝!］久=一2

B.任何一個角都比它的余角小

C.一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角

D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行

【答案】D

【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題,

判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

根據(jù)一元一次方程的解法、余角、角的和差、平行線的判定逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.若2%=-1,則x=W，故選項(xiàng)是假命題；

B.任何一個角不一定都比它的余角小，故選項(xiàng)是假命題；

C.一個銳角與一個鈍角的和不一定等于一個平角，故選項(xiàng)是假命題；

D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故選項(xiàng)是真命題；

故選：D.

【變式7-2］（24-25八年級上?河南周口?階段練習(xí)）下列命題中，是真命題的是（）

A.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等

B.同角的余角相等

C.兩個銳角的和是銳角

D.如果ab>0,則a+b>0

【答案】B

【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命

題.根據(jù)平行公理的推論、同角的余角相等、角的概念等判斷即可.

【詳解】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本選項(xiàng)說法是假命題,

不符合題意；

B、同角的余角相等，故本選項(xiàng)說法是真命題，符合題意；

C、兩個銳角的和可能是銳角，也可能是鈍角，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

D、如果昉>0,則a、b異號，則a+6>0或a+6<0,故本選項(xiàng)說法是假命題，不符

合題意；

故選：B.

【變式7-3］（24-25八年級上?福建泉州?期中）下列命題中，是假命題的是（）

A.對頂角相等

B.兩點(diǎn)之間，線段最短

C.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

D.同位角相等

【答案】D

【分析】本題主要考查了判斷命題真假，對頂角的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，垂線的

定義，平行線的性質(zhì)等等，根據(jù)對頂角的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，垂線的定義，平

行線的性質(zhì)逐一判斷即可得到答案.

【詳解】解：A、對頂角相等，原命題是真命題，不符合題意；

B、兩點(diǎn)之間，線段最短，原命題是真命題，不符合題意；

C、在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，原命題是真命題，不符

合題意；

D、兩直線平行，同位角相等，原命題是假命題，符合題意；

故選：D

【題型8命題的改寫】

【典例8】（2024八年級上?廣西?專題練習(xí)）把命題"等角的補(bǔ)角相等"改寫成"如果......，那么......”

的形式：.

【答案】如果兩個角相等，那么這兩個角的補(bǔ)角相等

【分析】本題考查了命題的改寫，理解命題的構(gòu)成成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)命題的條件與結(jié)論即可改寫即可.

【詳解】解：命題"等角的補(bǔ)角相等"改寫成"如果……，那么……"的形式為：如果兩個角

相等，那么這兩個角的補(bǔ)角相等.

故答案為：如果兩個角相等，那么這兩個角的補(bǔ)角相等.

【變式8-1］（23-24七年級下?湖北,期中）把命題"銳角的余角是銳角"改寫成"如果......那

么......"的形式是.

【答案】如果一個角是銳角，那么這個角的余角是銳角

【分析】本題主要考查的知識點(diǎn)是如何將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，"如果"后面是

命題的條件，"那么"后面是條件的結(jié)論，解題關(guān)鍵是找到命題中相應(yīng)的條件和結(jié)論.命

題中的條件是一個角是銳角，放在"如果"的后面，結(jié)論是這個角的余角是銳角，應(yīng)放在

"那么"的后面.

【詳解】解：條件為：一個角是銳角，結(jié)論為：這個角的余角是銳角，

故寫成"如果...那么…"的形式是：如果一個角是銳角的，那么這個角的余角是銳角.

故答案為：如果一個角是銳角，那么這個角的余角是銳角.

【變式8-2］（24-25八年級上?湖南常德?期中）將命題"對頂角相等"改寫為如果,那

么.

【答案】兩個角是對頂角這兩個角相等

【分析】本題考查了命題與定理的知識，將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，"如果"后面

是命題的條件，"那么"后面是條件的結(jié)論，命題中的條件是兩個角是對頂角，放在“如

果”的后面，結(jié)論是這兩個角相等，應(yīng)放在"那么"的后面.

【詳解】解：題設(shè)為：對頂角，結(jié)論為：相等，

故寫成"如果…那么，’的形式是：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；

故答案為：兩個角是對頂角，這兩個角相等.

【變式8-3］（23-24七年級下?廣西南寧?期中）將命題"鄰補(bǔ)角互補(bǔ)"寫成"如果......，那么......”

的形式.

【答案】如果兩個角是鄰補(bǔ)角，那么它們互補(bǔ)

【分析】本題主要考查了命題的定義，把命題寫成"如果…那么，’的形式，關(guān)鍵是找準(zhǔn)

題設(shè)和結(jié)論.分清題目的已知與結(jié)論，即可解答.

【詳解】解：把命題"鄰補(bǔ)角互補(bǔ)"改寫為"如果…那么，’的形式是：如果兩個角是鄰補(bǔ)

角.那么它們互補(bǔ)，

故答案為：如果兩個角是鄰補(bǔ)角.那么它們互補(bǔ).

【題型9寫出命題的逆命題】

【典例9】（23-24七年級下?江蘇宿遷?期末）命題”在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)的點(diǎn)

到原點(diǎn)的距離相等”的逆命題是.

【答案】在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)

【分析】本題考查了寫出命題的逆命題，根據(jù)題意寫出命題的逆命題即可.

【詳解】解：命題"在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等"的逆命

題是：在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，

故答案為：在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù).

【變式9-1］（23-24七年級下?山東煙臺?期末）命題"等邊三角形的各個內(nèi)角都等于60。"，其

逆命題是

【答案】三個內(nèi)角都是60。的三角形是等邊三角形

【分析】本題主要考查了寫出一個命題的逆命題，把原命題的結(jié)論和條件互換作為新命

題的條件和結(jié)論并寫出對應(yīng)的命題即可.

【詳解】解：命題"等邊三角形的各個內(nèi)角都等于60。"，其逆命題是：三個內(nèi)角都是60。

的三角形是等邊三角形

故答案為：三個內(nèi)角都是60。的三角形是等邊三角形.

【變式9-2］（23-24七年級下?江蘇揚(yáng)州?期末）命題"如果兩個角是等角，那么它們的余角相

等"的逆命題是

【答案】如果兩個角的余角相等，那么這兩個角是等角

【分析】本題主要考查了逆命題的定義，正確理解原命題與逆命題的關(guān)系是關(guān)鍵.題設(shè)

是：兩個角是等角，結(jié)論是：它們的余角相等.把題設(shè)與結(jié)論互換即可得到逆命題.

【詳解】解：命題"如果兩個角是等角，那么它們的余角相等"的逆命題是：如果兩個角

的余角相等，那么這兩個角相等.

故答案是：如果兩個角的余角相等，那么這兩個角相等.

【變式9-3］（23-24八年級下?陜西安康?期中）命題"同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行"的逆命題是

命題.（填"真"或"假"）

【答案】真

【分析】本題考查了互逆命題的知識及命題的真假判斷，把一個命題的條件和結(jié)論互換

就得到它的逆命題.命題“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行"的條件是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，結(jié)論是

兩直線平行，故其逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，因?yàn)槟婷}符合兩直線平行的

性質(zhì)故是真命題.

【詳解】解：命題"同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行"的逆命題是：兩直線平行，同旁內(nèi)角互

補(bǔ).

它是真命題，

故答案為：真.

嗡達(dá)標(biāo)測試/

一、單選題

L（2024?湖南株洲?模擬預(yù)測）如圖，m\\n,其中N1=40。,則42的度數(shù)為（）

A.160°B.150°C.140°D.70°

【答案】C

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，先根據(jù)兩直線平行同位角相等求出41

的同位角大小，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求解即可得到答案；

【詳解】vmlln,zl=40°,

.-.zl=z3=40°,

.-.Z2=180°-z3=40°=140°,

故選：C.

2.（23-24七年級下?貴州畢節(jié)?期中）一桿古秤在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知42=105。,

則N1的度數(shù)為（）

A.95°B.125°D.105°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)兩直線平

行，同位角相等即可得.

【詳解】解：如圖，由題意可知，AB||CD,

.?21=42=105°,

故選：D.

3.（23-24七年級下?貴州黔東南?期中）下列說法：①同位角相等；②過一個點(diǎn)有且只有一

條直線與已知直線垂直；③若a||b,b||c,則a||c；④若a_L6,61c,則ale.正確

的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、垂直的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)及

垂直的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.利用平行線的判定與性質(zhì)、垂線的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】解：①中，應(yīng)為：兩直線平行，同位角相等，故錯誤；

②中，應(yīng)為：在同一平面內(nèi)，過一個點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故錯誤；

③中,若alib,b||c,則a||c,故正確;

④中，應(yīng)為：在同一平面內(nèi)，若a16,blc,則alie,故錯誤.

綜上所述，正確的有③，共1個.

故選：A.

4.（23-24七年級下?貴州貴陽?期中）如圖，若N2+乙48c=180。，則下列結(jié)論正確的是

A.z.1=z.2B.z.2=z.3C.z.1=z.3D.z.2=z4

【答案】B

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，先由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到

AD||BC,再由平行線的性質(zhì)即可得到42=Z3.

【詳解】解：?-24+4480=180°,

：.AD||BC,

/.z.2=z.3,

根據(jù)現(xiàn)有條件無法得到A、C、D三個選項(xiàng)中的結(jié)論,

故選：B.

5.（23-24七年級下?貴州黔東南?期中）如圖，下列推理過程及括號中所注明的推理依據(jù)正

確的是（）

A.^vz2=z4,.-.ABWCD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

B."ABWCD,.-.Z1=Z3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

C.MBIIBC,.?ZB4D+ND=18O。（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

D.■.-ADAM=ACBM,.-.AB\\BC（同位角相等,兩直線平行）

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判定即可

求解.

【詳解】解：A、?.N2=乙4,

.■.AD||BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

B、'-AB||CD,

.?21=43（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），故原選項(xiàng)正確，符合題意；

C、與8C相交，且不平行，

與ND的數(shù)量關(guān)系不確定，故原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

D、-./-DAM=/.CBM,

'''AD||BC,故原選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

故選：B.

6.（23-24七年級下?廣西南寧?開學(xué)考試）下列命題是真命題的是（）

A.互補(bǔ)的兩個角是鄰補(bǔ)角B.同位角相等

C.1的平方根是1D.平行于同一條直線的兩條直線平行

【答案】D

【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命

題.根據(jù)鄰補(bǔ)角、同位角、平方根、平行線的判定判斷即可.

【詳解】解：A、兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系

的兩個角，叫做鄰補(bǔ)角，原命題是假命題，故A不符合題意；

B、兩直線平行，同位角相等，原命題是假命題，故B不符合題意；

C、1的平方根是±1,原命題是假命題，故C不符合題意；

D、平行于同一條直線的兩直線平行，是真命題，故D符合題意.

故選：D.

7.（23-24七年級下?吉林?期末）如圖，已知直線48IICD,點(diǎn)￡在4B和CD之間，連接

AE,CE,若42=55。，Z3=35。，則N1等于（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的

關(guān)鍵.

如圖所示，過點(diǎn)E作EFI3B,貝忸FII4BIICD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到

^AEF=Z1,ZC￡F=N3=35°,再求出NAEF=20。即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作EFII4B,

EFWABWCD,

???^AEF=N1/CEF=N3=35。,

???N2=55。，

??ZEF=乙2—乙CEF=20°,

Z1=/LAEF=20°,

故選：c.

二、填空題

8.（23-24七年級下?甘肅定西?期末）如圖所示，若4BIIDC,41=39。，”和功互余，則

Z.D=,Z-B=.

D4--------------------XC

【答案】39。129°

【分析】由平行線的性質(zhì)可知ND=NL根據(jù)NC和ND互余可求得NC,最后根據(jù)平行線

的性質(zhì)可求得N8.本題主要考查的是平行線的性質(zhì)、余角的定義，掌握平行線的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???28||DC,

:ZD=zl=39°.

,.ZC和4?；ビ?，

.-.zC+zD=90°.

.?.”=90°—39°=51°.

-：AB||DC,

.-.ZB+zC=180°.

.?.zB=180°-51o=129°.

故答案為：39。；129°.

9.（22-23八年級上?陜西西安?期末）如圖,AB||CD,AE||CF,NBAE=75。，則NDCF的度

數(shù)為.

【答案】75。/75度

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線性質(zhì)，可得

乙DGE=乙BAE=4DCF=75°.

【詳解】解：如圖:

-AB||CD,

工乙DGE=^BAE=75。,

-：AE||CF,

；.乙DCF=^DGE=75。,

故答案為75。.

10.（23-24七年級下?全國?單元測試）如圖，為了加固房屋，要在屋架上加一根橫梁DE,使

DE||BC.如果4ABC=31。，^ADE=.

A

【答案】31。

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同位角相等.直接根據(jù)平行線的

性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：DE||BC,^ABC=31°,

：.AABC=AADE=31°,

故答案為：31。

11.（23-24七年級下?寧夏銀川?期末）如