重難點(diǎn)18正方形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用

八大重難點(diǎn)題型

m知識(shí)梳理

▲知識(shí)點(diǎn)一：正方形的定義

?定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

幾何語言：???平行四邊形48CD中，AB=BC,乙4=90。，

.??四邊形48co是正方形.

★1、正方形的四條邊都相等，說明正方形是特殊的菱形；

★2、正方形的四個(gè)角都是直角，說明正方形是特殊的矩形.即：正方形是

特殊的矩形又是特殊的菱形.

▲知識(shí)點(diǎn)二：正方形的性質(zhì)

★1、具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)，即

①邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；

②角：四個(gè)角都是直角；

③對(duì)角線：對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

④正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸，分別是對(duì)邊中點(diǎn)的連線以及兩條對(duì)角線所在的直線.

★2、正方形的面積計(jì)算

①邊長(zhǎng)的平方；②對(duì)角線平方的一半；

★3、正方形特有的性質(zhì)：

①正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形

的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；

②周長(zhǎng)相等四邊形中，正方形的面積最大.

▲知識(shí)點(diǎn)三：正方形的判定

★1、正方形判定方法:

定義法有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.

有四條邊相等，三個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.

四邊形法

對(duì)角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形.

有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.

平行四邊形法

對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形.

有一組鄰邊相等的矩形是正方形.

矩形法

對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形.

有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.

菱形法

對(duì)角線相等的菱形是正方形.

★2、平行四邊形、矩形、菱形、正方形間轉(zhuǎn)化關(guān)系和包含關(guān)系

m題型解讀

國(guó)典題精練

【題型一利用正方形的性質(zhì)求角度】

【例題1】（2024秋?競(jìng)秀區(qū)期中）如圖，在正方形N5CD外側(cè)，作等邊三角形4DE,

AC、3E相交于點(diǎn)尸，則為（)

D

A.15°B.30°C.45°D.55°

【變式1-1】（2024秋?文山市期末）如圖，四邊形N8CO是正方形，延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使

AE=AC,則/3CE的度數(shù)是（

C.32.5D.22.5

【變式1-2】（2024秋?新城區(qū)期末）如圖，在正方形中，E為對(duì)角線2D上一點(diǎn),

連接4E1、CE,/BCE=W°,則NE4D為（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

【變式1-3】（2024秋?鳳翔區(qū)期中）如圖，四邊形N8CO是正方形，延長(zhǎng)8C到點(diǎn)E,使

CE=AC,連結(jié)/￡交。）于點(diǎn)尸，則等于（）度.

A.112.5B.125C.135D.150

【變式1-4】（2024秋?太原期中）如圖，點(diǎn)、E.尸分別是正方形/3CD內(nèi)部、外部一點(diǎn),

四邊形ADFE與四邊形BCFE均為菱形，則NC2E的度數(shù)等于.

【變式1-5】（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形/BCD中，點(diǎn)E,尸分別在

AD,AB±,滿足?！?/尸，連接C￡,DF,點(diǎn)尸，。分別是。尸，CE的中點(diǎn)，連接

PQ.若/ADF=a.則NPQE可以用a表示為（）

A.aB.45°-aC.45°--D.3a-45°

【題型二利用正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】

【例題2】（2023秋?簡(jiǎn)陽市期末）如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)￡是對(duì)角線NC上

一點(diǎn)，且/￡=2CE,則瓦）的長(zhǎng)度為（）

C.2V3D.2V5

【變式2-1】（2024秋?府谷縣期末）如圖，在正方形4BCD中，點(diǎn)G在2c邊上，連接

AG,DEL/G于點(diǎn)￡,AFL/G于點(diǎn)尸，若BF=4,DE=9,則E尸的長(zhǎng)為（）

C.12D.2

【變式2-2】（2024秋?淄川區(qū)期末）如圖所示，在正方形48CD中，。是對(duì)角線/C、BD

的交點(diǎn)，過。作?！辏?。尸，分別交42、BC于E、F,若NE=4,CF=3,則斯的長(zhǎng)為

C.5D.6

【變式2-3】（2024秋?南明區(qū)月考）如圖，。為正方形48CD對(duì)角線NC的中點(diǎn)，AACE

為等邊三角形.若/5=2,則。E的長(zhǎng)度為（）

A.B.V6C.V6—V2D.2

【變式2-4】（2023秋?萊西市期末）如圖，已知四邊形/BCD和四邊形CEFG均為正方

形，且G是48的中點(diǎn)，連接若48=4,則/E的長(zhǎng)為

【變式2-5】（2024秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形N8CD的邊長(zhǎng)為7,點(diǎn)￡是

上的一點(diǎn)，且/￡=3,將正方形沿?！攴?，點(diǎn)/落在點(diǎn)G處，延長(zhǎng)EG交8C于點(diǎn)廠,

則CF的長(zhǎng)是.

【題型三利用正方形的性質(zhì)求周長(zhǎng)或面積】

【例題3】（2022秋?漢臺(tái)區(qū)期末）如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為8,在各邊上順次截取

AE=BF=CG=DH=6,則四邊形的面積是（）

A.34B.36C.40D.100

【變式3-1】（2024春?南崗區(qū)校級(jí)月考）正方形一條對(duì)角線長(zhǎng)為2五，則周長(zhǎng)為（）

A.4B.4V2C.8D.8V2

【變式3-2】（2024秋?遂川縣期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E,尸分別在和4D

邊上，BE=2,AF=6,AE//CF,則△4BE的面積為（

A.6B.8C.12D.16

【變式3-3】（2024秋?裕華區(qū)校級(jí)期末）我們都知道，四邊形具有不穩(wěn)定性.老師制作

了一個(gè)正方形教具用于課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)課代表小亮在取道具時(shí)不小心使教具發(fā)生了形變

（如圖），若正方形道具邊長(zhǎng)為ZD'=30°,則四邊形的面積減少了（）

AD

A'Dz

BC

A.50cm2B.50V2cm2C.100cm2D.100V2cm2

【變式3-4】（2024秋?天府新區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C是正方形ADE廠內(nèi)一點(diǎn)，連接/C,

FC,MACLFC,以/C為斜邊在NC下方作Rt448C,且N48C=90°,若8c=4,

48=3,CF=12,則正方形4D斯的面積為.

【變式3-5】（2024秋?路北區(qū)校級(jí)期末）如圖，小明同學(xué)將邊長(zhǎng)為的正方形塑料模

板/2CD與一塊足夠大的直角三角板疊放在一起,其中直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)A

處，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)R與C8延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,則四邊形NEC尸的面積

是.

【題型四利用正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例題4】（2024秋?茂南區(qū)期末）如圖，在正方形/BCD中，￡是邊N8的中點(diǎn)，尸是邊

8。的中點(diǎn)，連接CE、DF.求證：CE=DF.

【變式4-1】（2024秋?澄邁縣期中）如圖，在正方形N8CD中，點(diǎn)￡是邊2C上一點(diǎn)，且

點(diǎn)￡不與點(diǎn)以C重合，點(diǎn)廠是A4的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且NP=C￡.求證：

DAF.

FAB

【變式4-2】（2024秋?永豐縣校級(jí)期末）如圖，在正方形/5CD中，點(diǎn)尸在邊4D上,

且不與點(diǎn)力,。重合，點(diǎn)H在邊4B上,且不與點(diǎn)4,2重合，連接BP、CH,BP與CH

交于點(diǎn)￡.若BP=CH,求證：BPA.CH.

【變式4-3】（2024秋?雙牌縣期末）如圖，四邊形/BCD,8EFG均為正方形，連接CE,AG.

求證：CE=AG.

【變式4-4】（2024秋?觀山湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方形/BCD中，對(duì)角線NC,8。相

交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,廠是對(duì)角線2。上的兩點(diǎn)，MDE=BF.連接CE,AF,CF.

（1）證明：AADE四4CBF；

（2）若力B=4五,BF=2,求四邊形NEC尸的周長(zhǎng).

BC

【變式4-5】(2024秋?虞城縣期中)四邊形/BCD是正方形，E、尸分別是。C和C2的延

長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=BF,連接/￡、AF.EF.

(1)求證：^ADE冬AABF；

(2)若3c=24,DE=8,求點(diǎn)/到石尸的距離.

【變式4-6】(2024?海口模擬)如圖，已知正方形N8CD的邊長(zhǎng)是2,ZEAF=ma,將

ZEAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交BC、CD于點(diǎn)E、F,G是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

且始終保持BG=DF.

(1)求證：AABG咨LADF；

(2)求證：AG±AF；

(3)當(dāng)EF=BE+DF時(shí):

①求m的值；

②若F是CD的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).

【題型五正方形判定的條件】

【例題5】（2023秋?太原期末）若口4BCD中對(duì)角線/C、5。相交于點(diǎn)O,則下列說法正

確的是（）

A.當(dāng)。/=?！辏緯r(shí)，口4BCD為菱形

B.當(dāng)45=40時(shí)，C7/2CD為正方形

C.當(dāng)/A8C=90°時(shí)，IZJABCD為矩形

D.當(dāng)NC_L2D時(shí)，口/5CD為矩形

【變式5-1】（2024秋?管城區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知四邊形/BCD是平行四邊形，下列說

法正確的是（）

B.若AC=BD,則口48。是菱形

C.若NC_L2D,則口N3CD是正方形

D.若ABLBC,則口18。。是矩形

【變式5-2】（2024秋?蓮池區(qū)校級(jí)期中）下列圖形：①一組鄰邊相等的矩形；②兩條對(duì)

角線互相垂直的矩形；③有一個(gè)角是直角的菱形；④對(duì)角線相等的菱形；⑤對(duì)角線互

相垂直的平行四邊形.其中一定是正方形的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式5-3】（2024秋?深圳月考）下列說法正確的有（）

①一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形；

②有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；

③對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；

④兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式5-4】（2024秋?東明縣校級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)。，E,廠分別在邊2C,

AB,CA±,5.DE//CA,DF//BA.下列四種說法：

①四邊形AEDF是平行四邊形；

②如果/R4C=90°,那么四邊形AEZE是矩形；

③如果平分/A4C,那么四邊形尸是菱形；

④如果4DL2C,且N8=/C,那么四邊形/磯）下是正方形.

其中，正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式5-5】（2024?黑龍江一模）平行四邊形ABCD的對(duì)角線/C與2。相交于點(diǎn)。，且

ACLBD,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：,使得平行四邊形4BCD為正方形.

【變式5-6】（2024秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）如圖，平行四邊形4BCD中，過工作

于“，交BD于E,過C作CALL/。于N,交BD千F,連結(jié)/足CE,那么:

①M(fèi)BE冬ACDF；

②四邊形AECF是平行四邊形；

③當(dāng)時(shí)，四邊形NECF是菱形；

④當(dāng)M、N分別是2C、中點(diǎn)時(shí)，四邊形/MCN是正方形.

則下列結(jié)論中正確的有.

【題型六正方形的判定的證明】

【例題6】（2022?邵陽）如圖，在菱形N2CD中，對(duì)角線/C,3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F

在對(duì)角線AD上，且BE=DF,OE=OA.求證：四邊形/ECF是正方形.

【變式6-1】（2024秋?太原期末）如圖，已知矩形N2CD中，ZBAD和N4DC的平分線

交于2c邊上一點(diǎn)E.點(diǎn)尸為矩形外一點(diǎn)，四邊形/助尸為平行四邊形.求證：四邊形

/￡￡）尸是正方形.

【變式6-2】（2024秋?城固縣期中）如圖，在RtZUBC中，/C=90°,點(diǎn)。為其內(nèi)一

點(diǎn)，且ND,8。分別平分/8/C,ZABC.若。E_L8C于點(diǎn)E,。尸_L/C于點(diǎn)R則四邊

形DECF是正方形嗎？請(qǐng)說明理由.

【變式6-3】（2024秋?金水區(qū)校級(jí)期末）如圖，在RtZUBC中，/ACB=90°,D為4B

中點(diǎn)，過點(diǎn)。作交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)/作/尸〃5E,交切的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡

連接/E,BF.

（1）判斷四邊形/仍廠的形狀，并說明理由.

（2）當(dāng)滿足條件時(shí)，四邊形NEAF是正方形.

【變式6-4】（2024秋?滕州市校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)E是口的邊BC的中點(diǎn)，連

接/E并延長(zhǎng)交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R連接AF.

（1）求證：四邊形N8尸C是平行四邊形；

1

（2）若力E=,BC,求證：四邊形/BFC為矩形；

（3）在（2）條件下，當(dāng)△/2C再滿足條件時(shí)，四邊形N5尸C為正方形.

F

【變式6-5】（2024秋?中寧縣期中）已知：如圖，4D是△NBC的角平分線，過點(diǎn)。分

別作/C和AB的平行線，交48于點(diǎn)￡,交/C于點(diǎn)?

（1）試判定四邊形/￡/小的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）△4BC滿足什么條件時(shí)，四邊形/成）廠是正方形.

【題型七正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】

【例題7】（2023春?汕頭校級(jí)期中）如圖，在四邊形/BCD中，ZA=ZB=90°,AB=

BC=4,AD=3,￡是邊上一點(diǎn)，且/。?！?45°,則?！甑拈L(zhǎng)度是（）

C.3.6D.4

【變式7-1】（2024秋?永壽縣校級(jí)月考）如圖，在菱形/5CD中，AB上BC,點(diǎn)E是AD

上一點(diǎn)，過點(diǎn)￡作E〃_L3c于點(diǎn)，，點(diǎn)。是E“上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作尸分別交

AB、CD于點(diǎn)尸、G,OE=OF,AE<DE.則圖中正方形有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式7-2】（2024春?浦北縣校級(jí)月考）如圖，已知四邊形/BCD為正方形，AB=2近,

E為對(duì)角線NC上一點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)E作斯，?！?交2c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，以DE,

E尸為鄰邊作矩形DEFG,連接CG,下列結(jié)論結(jié)論正確的是（）

A.矩形DEFG是正方形B.2CE+CG=?AD

C.CG=CDD.CE=CF

【變式7-3】（2024春?贛縣區(qū)校級(jí)期末）如圖,￡、F、M、N分別是正方形48CD四條

邊上的點(diǎn)，且

AE=BF=CM=DN

（1）求證：四邊形EFAW是正方形；

（2）若AB=7,AE=3,求四邊形EKW的周長(zhǎng).

【變式7-4】（2024秋?府谷縣期末）如圖，四邊形N2CD是平行四邊形，AB=BC,ABL

2C,點(diǎn)E是邊CD的延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn).連接/￡過點(diǎn)C作CFL/E于點(diǎn)?

（1）求證：四邊形N8CD是正方形；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸是/￡的中點(diǎn)，且CE=8五時(shí)，求四邊形/BCD的面積.

【變式7-5】(2024秋?榆陽區(qū)校級(jí)月考)如圖，在矩形4BCD中，N24D的平分線交3c

于點(diǎn)E,EFLAD于點(diǎn)、F,OGL/E于點(diǎn)G,OG與斯交于點(diǎn)O.

(1)求證：四邊形尸是正方形；

(2)若AD=AE,求證：AB=AG；

(3)在(2)的條件下，已知45=1,求的長(zhǎng).

【變式7-6】(2024春?杭州期中)已知：如圖，在正方形4BCD中，E,尸分別是2C,

CD上的點(diǎn)，AE,2廠相交于點(diǎn)尸，并且

(1)如圖1,判斷/￡和8尸的位置關(guān)系？并說明理由；

(2)若48=8,BE=6,求2P的長(zhǎng)度；

(3)如圖2,FM1DN,點(diǎn)尸在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)尸不與C、。重合)，四

邊形見WP是否能否成為正方形？請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

【題型八正方形中的最短問題】

【，列題8】（2022?資陽）如圖，正方形4BCD的對(duì)角線交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是直線3c上一動(dòng)

點(diǎn).若48=4,則/E+OE的最小值是（）

B.2V5+2C.2V13D.2V10

【變式8-1】如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)￡在上，且CE=1,尸是對(duì)角線NC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P8+PE的最小值為

【變式8-2】（2022?德州）如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)￡在8c上，CE=2.點(diǎn)、

M是對(duì)角線2。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EM+CW的最小值是（)

B.3V5C.2V13D.4V13

【變式8-3】如圖，正方形N2CD的邊長(zhǎng)為3五,點(diǎn)、E,尸分別是對(duì)角線/C的三等分點(diǎn),

點(diǎn)P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）

C.3V2D.2V5

【變式8-4】（2024秋?蓮湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方形4BCD中，4B=3,點(diǎn)、E在CD

邊上，且。E=2CE,點(diǎn)P是對(duì)角線NC上的一動(dòng)點(diǎn).則PE+P。的最小值是（）

C.3D.3V2

【變式8-5】（2024?青島一模）如圖，正方形N8CD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)￡,尸分別為邊8C,

CO上兩點(diǎn)，CF=BE,AE平分NBAC,連接分別交4E,NC于點(diǎn)G,點(diǎn)尸是

線段NG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PNL/C,垂足為N,連接尸初，則PM+PN的最小

值為

CD

國(guó)限時(shí)測(cè)評(píng)

1.（2024春?玉林期末）如圖，已知尸是正方形48CD對(duì)角線助上一點(diǎn)，CP平分NACD,

C.67.5°D.77.5°

2.（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在正方形紙片45CZ）上進(jìn)行如下操作:

第一步：剪去長(zhǎng)方形紙條4項(xiàng)加，AE=2；

第二步：從長(zhǎng)方形紙片5CFE上剪去長(zhǎng)方形紙條CFGHCH=3.

若長(zhǎng)方形紙條4￡FZ）和WG"的面積相等，則43的長(zhǎng)度為（）

AD

BHC

A.5B.6C.7D.8

3.（2024秋?淄川區(qū)期末）如圖所示，在正方形45CD中，。是對(duì)角線4C、助的交點(diǎn),

過。作OE_LOR分別交48、BC于E、F,若4￡=4,CF=3,則環(huán)的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

4.（2024?錢塘區(qū)三模）如圖，四邊形/BCD的對(duì)角