2024-2025學(xué)年云南省玉溪市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是正確的.

1.已知函數(shù)/（"）的導(dǎo)函數(shù)為/'⑺，貝?！笔恰昂瘮?shù)/㈤在x=處有極值”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)在極值點(diǎn)處有極值時(shí)導(dǎo)數(shù)必為0,導(dǎo)數(shù)為0不一定有極值判斷即可.

【詳解】若函數(shù)/（"）在A/處有極值，則一定有

反之，若/'（Xo）=°,函數(shù)/（X）在“=兀處不一定有極值，

如/在x=0處滿足但/CO在x=0處無(wú)極值，

所以“/'（%）=°”是“函數(shù)/（x）在x=/處有極值”的必要不充分條件.

故選：B

A==2",neN*18==2n,neN*］

2.已知集合eJ,e’，則（）

A.NjBB.B=4C,ACB=0D,A=B

【答案】A

【解析】

【分析】

可根據(jù)特殊元素與集合的關(guān)系作答.

［詳解］A.VncN*,2”為偶數(shù)，故故AQ5

B.6eB,6史4,故B錯(cuò)

C.4eB,4eZ,故=0錯(cuò)

D,6€民6任2,故口錯(cuò)

故選：A

3.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A（sinx）=-cosxB.（-e'）'=e，

“1、，1

（In—）=——

C.xxD.（2，）'=2工

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，由（smx）=cosx,所以人錯(cuò)誤;

對(duì)于B中，由所以B錯(cuò)誤；

（In與=（-lnx）z=--

對(duì)于C中，由％X,所以C正確；

對(duì)于D中，由（2、）=21n2,所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

4.已知｛%＞為等比數(shù)列，若%=2,%=6,則&=（）

A.4B,2百c,一2道口.-4

【答案】B

【解析】

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.

［詳解］=2,%=6,

=。4?=2x6=12

*/=%?&〉0

。6〉0

4—2A/3

故選：B

設(shè)?208

5,a=log208,/>=0,8,c=2-,則。，b,c大小關(guān)系正確的是（)

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<a<c

【答案】B

【解析】

【分析】

借助中間量°』進(jìn)行大小比較即可.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)yTog?”在定義域（°，+8）上單調(diào)遞增，故"=log2（）.8<log21=0,即:

a<0

因?yàn)楹瘮?shù)>=88'在夫上單調(diào)遞減，故0<6=0.82<0.81<1,即：0<6<1,

因?yàn)楹瘮?shù)>=2,在&上單調(diào)遞增，故c=2"8>2°=1,則a<6<c.

故選：B

6.拋物線V=一的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線方程直接寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】根據(jù)已知一=y，2夕=1,

（0,7）

所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為4.

故選：A

7,已知向量”（T私2）,向量石=（3,1,〃），滿足a//i,則加+〃=（）

19J24J2

A.6B.6c.3D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

—1=3左

<m-k

根據(jù)題意，設(shè)5=屆，有12=加，求出加、"的值，計(jì)算可得答案.

【詳解】解：向量/=（T,m,2）,向量彼=（3,1,〃），

若5//B,設(shè)G=kB

—1=3k

<m=k]1

%k=m——

則有〔，則3,則有3,〃=-6,

1，19

m+n=----6=----

則33,

故選：D.

22

C:―^一與=1（。>0,6>0）pp_瓜

8.已知雙曲線礦卜的左、右焦點(diǎn)分別為4,4,直線y=03x與「相交

于46兩點(diǎn)，若四邊形/片即是矩形，則雙曲線。的離心率0=（）

A.eB.百C.C+lD.8+1

【答案】D

【解析】

【分析】聯(lián)立直線歹=瓜與c的方程組，求出弦相長(zhǎng)，由|["=|后用|求解即得.

【詳解】顯然直線了=后與片片交于原點(diǎn)。，由雙曲線對(duì)稱性知，四邊形'與朋是矩形，當(dāng)

且僅當(dāng)|四|口出五

設(shè)點(diǎn)幺(國(guó),必),B(X2,%),而片(-c,0),F2(C,0)

y=\/3x

<x2y2iabab

由〔a-b~得)x=ab,解得信-3〃-yjb2-3a2,

\AB|=Jl+(百4|x,-x|=:融

2

貝U\b—3ci而|公知=2c,c=^a2+b2,

4ab°Z,2,b2b2

2

/22=2c4224(—5-)-6--3=0—r>0

所以“^一3/化簡(jiǎn)得/—6/62—3/=0,即a2a2,a2

=3+273e=—=J^Y=Jl+^-=si4+2y/3=V3+1

解得。一，雙曲線，的離心率e有a\a-V。一

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求橢圓或雙曲線離心率，建立a,b,c的齊次關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，在直三棱柱"C-44。中，口,G,￡分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=4AF,三棱柱

ABC-挖去兩個(gè)三棱錐A-EFG,4-BCQ后所得的幾何體記為。，則（）

B.。有13條棱

C.。有7個(gè)頂點(diǎn)D.平面§G。//平面石廠G

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及面面平行的判定定理即可得解.

【詳解】對(duì)于A,由圖可知，。有面8CGE,面石尸G,面面8CG,面皮芯4Q,

面OE4GC,面4G。共7個(gè)，故A正確；

對(duì)于c,。有頂點(diǎn)與°&產(chǎn),￡，4，。1，。共8個(gè)，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于B,Q有棱BF,FG,GC,CB,FE,EG,BD,DCI，BCI,CC[,DA],CIA],EA、共]3條棱，故

B正確；

對(duì)于D,取中點(diǎn)“，連接S,4",則可得4〃//嗎CH"JD,

因?yàn)镹8=44F,則尸為NH中點(diǎn)，且E為44中點(diǎn)，

則￡尸//4〃，即EF//BD,且石尸二平面8。。，RDu平面8°G,

所以昉//平面8°G,

又G為4c中點(diǎn)，所以/G//S//CQ,且尸G.平面"*G,

C'D°BDC1,所以尸G//平面BOG,

且EFcFG=F,EF,FGu平面EFG,所以平面//平面E尸G,故D正確；

故選：ABD

10.已知無(wú)窮等差數(shù)列｛""｝的前"項(xiàng)和為s〃，Sf,s7>sSj則。

A.在數(shù)列｛%｝中，%最大

B.在數(shù)列中，生或?yàn)樽畲?/p>

C,邑<S]0

D.當(dāng)〃28時(shí)，4<°

【答案】ACD

【解析】

【分析】由條件推得數(shù)列公差d<°,故見(jiàn)最大，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)5。與S3作差，化簡(jiǎn)，

通過(guò)舉特例否定$3<Eo恒成立；根據(jù)S7>Sg推得/<-71,將通項(xiàng)表達(dá)式放大，由題設(shè)分析即

得.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛"〃｝的公差為"，由‘6<邑可得：又由$7>58可得：私<0,即

d＜。,故數(shù)列｛"'｝單調(diào)遞減，%最大，即A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，由Bo—邑=（10%+45"）—（3%+3"）=7%+42"=7（%+6"）=7%,由八項(xiàng)可

知%〉°故4。〉53,故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，由上分析知％+7d＜0,則為＜-7d,故a“=%+（〃_l）d＜（〃_8）d,因d＜0,

〃28,故有％即D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

11.如圖，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正

方形，重復(fù)上述操作（其中一1=/2=/3）,得到四個(gè)小正方形48CQ,記它們的面積分

別為S/,SB，SC，S0,則以下結(jié)論正確的是（）

A.

SA+SD=SB+SC

B.SA-SD=SB-SC

Q邑+SQ...2sB

D.SD+SA<2SC

【答案】BC

【解析】

【詳解】設(shè)Nl=N2=N3=a,最大正方形的邊長(zhǎng)為1,

小正方形4民的邊長(zhǎng)分別為名仇G".:。=c°s~a,b=sinacosa

c=sinacosa,d=sin2a

S+S=sin4a+cos4a>2sin2circos2a

AD，

22

SB=Sc=sinacosaSA+SD>2sB

所以C正確；

4444

SASD=sinasina.SBSC=sinasina

所以邑S°=SBSC,所以B正確，

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

_+￡=l（a>Q方0）,

12.若直線。b過(guò)點(diǎn)Q，2）,則29。+6的最小值為一

【答案】8

【解析】

-1r\

—F2=l（a〉。鄉(xiāng)0）—?——1

【分析】由直線。b過(guò)點(diǎn)（1/），可得ab,從而有

12

2a+b=(2a+b^—+—

ab,展開(kāi)后利用基本不等式可求得其最小值

-tr\

—\--=1(Q〉Q0)—?——1

【詳解】解：因?yàn)橹本€。b過(guò)點(diǎn)U"),所以。b

因?yàn)椤?gt;。>0

.77、(121個(gè)4Q6.14ab_

2a+b=(2a+6)—+—=2H------11-2>4+2J-------=8

所以\ab)ba\ba

4a_b

當(dāng)且僅當(dāng)6。，即"=2,6=4時(shí)取等號(hào)，

所以2a+6的最小值為8

故答案為：8

【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正二定三相等”的條

件，屬于基礎(chǔ)題

3]

sinCL――atan(?-P)=-/

13.已知5,12',2,則tan(a—77)的值為

_2_

【答案】11

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及和差公式計(jì)算即可得出答案.

?」sina=3,ae信兀,tana-3

【詳解】512J4

tan（a—=tan（兀+a—B）=tan[a+（兀-p）]

根據(jù)誘導(dǎo)公式得:

tan（7i-p）=—

由正切函數(shù)的和差公式，且2,上式可計(jì)算得:

tani+tan（兀一0）

tan（a—/7）=tan[a+（兀-P）]=

l-tanatan（7i-p）

_2_

故答案為：11.

[e\x>0

14.已知函數(shù)-2x-4x+l,x<0；若函數(shù)g（x）=/（x）+日恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

k等于.

【答案】-e

【解析】

①-小。）

【分析】首先判斷°是否為函數(shù)的零點(diǎn)，從而得到方程xI）有兩個(gè)根，令

A（x）=/（x）h⑺=/（X）

X"問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)"X（"°）與函數(shù)歹=一左的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明“（X）在（°,+"）上的單調(diào)性，即可得到“（X）的圖象，再數(shù)形結(jié)合即可得解.

卜工,x>0

TIJQI-v

【詳解】因?yàn)閇-2/—4x+l,xW0,則“0）=1,

對(duì)于函數(shù)g（x）=/（》）+丘，所以g（°）=/（°）=L顯然。不是函數(shù)g（x）=/（》）+日的零點(diǎn)，

當(dāng)Xw0時(shí)函數(shù)g（x）=/（x）+區(qū)恰好有兩個(gè)零點(diǎn),

/（X）

左（xwO）有兩個(gè)根,

所以方程X

心)*

(xw0)

令X

/z(x)（x*°）與函數(shù)，=一￡的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

則函數(shù)X

exex(x-l)

h(x)h(x)=

2

當(dāng)x>0時(shí),x，則X

x在（L+00）上為增函數(shù),

所以當(dāng)x〉l時(shí),/?(%)>0,函數(shù)

e'

X在（°』）上為減函數(shù)，又〃（l）=e

當(dāng)0<x<l時(shí)，、（x）<0,函數(shù)

h(x)=-2x-4+—k(x)——2x—4H—

當(dāng)x<°時(shí)，》,函數(shù)X在（-8,0）上為減函數(shù),

由此可得函數(shù)”（x）的圖象如下:

/（X）

h(x)（X，°）與函數(shù)歹二一"的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)一k=e即后=_e時(shí)，函數(shù)X

所以比=一e

故答案為：y

三、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

15.已知在ANBC中，三邊生仇°所對(duì)的角分別為4民°，已知

cosA+cosScosC=y/3sinBcosC

（1）求0；

（2）若。=2，△ZBC外接圓的直徑為生求A48c的面積.

C=-

【答案】⑴3；

⑵2回

【解析】

【分析】利用三角恒等變換和余弦展開(kāi)式再結(jié)合特殊三角函數(shù)值可得;

利用正弦定理，余弦定理，三角形面積公式解出即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閏os4+cos3cosc=V^sin5cosc,

因?yàn)閏°sN=-cos（5+C）_sinfisinC—cos3cosc

所以sinBsinC=gsin5cosc,

又sinS/O,貝ijtanC=G,因?yàn)椤?°，兀），所以3.

【小問(wèn)2詳解】

」一=4廠

由正弦定理，sinC,則c=4sinC=2,3,

「a2+b2-c24+b2-121

由余弦定理，2ab4b2,

解得b=4或b=-2（舍去），

,cS=-absinC=2s/3

故AA8C的面積2.

16.在圓錐心中，高？0=2,母線產(chǎn)/=4,6為底面圓。上異于/的任意一點(diǎn).

p

B

(1)若過(guò)底面圓心。作△P4B所在平面的垂線，垂足為〃求證：平面

OHB：

兀

ZAOB=-.

(2)若3,求二面角8—尸區(qū)一0的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

叵

⑵百

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明尸°,08,再證明08,平面尸。4,可得尸/,

根據(jù)OH工平面PAB,可得OHLPAt再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；

(2)以。原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)槿鐬閳A錐的高，所以。尸工平面/08,

又08u平面408,所以尸0,08,

又。4_L08,00coz=0,0尸,。4u平面尸0/,所以08_L平面尸0/,

因?yàn)槭琙u平面尸。4,所以08,尸幺，

因?yàn)椤?，平面P45,又尸Zu平面P45,所以

又因?yàn)椤鉎(~\OB=O,OH,OBu平面OHB,所以R4_L平面OHB.

【小問(wèn)2詳解】

如圖，以。原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

ZA

得0（0,0,0）,2（2百,0,0）8伊,3,0）°（0,0,2）

所以方=626,0,2）方=伊,3,—2）而=（0,0,2）,礪=伊,3,0）

設(shè)平面為夕的一個(gè)法向量為“=（*，凹，zJ,

AP-n=-2A/5%[+2Z]=0

則[方.云=瓜1+3乂一21°,則可取萬(wàn)=81,3）

因?yàn)閥軸垂直平面尸?！保?/p>

則可取平面弦的一個(gè)法向量為陽(yáng)=（0,1'°）,

一_n-m1V13

cosn.m=]—n-r=~i=——=---

則\n\\m\V13xl13,

叵

故所求二面角6-尸/一°的余弦值為13.

17.已知S”是等差數(shù)列卜"｝的前”項(xiàng)和，且4=3,S5=25

（1）求數(shù)列｛""｝的通項(xiàng)公式;

neN*,m>—+---1-

（2）若對(duì)任意‘-31323”,求加的最小整數(shù)值.

【答案】⑴%=21

（2）1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列出方程組求解即可;

（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求出和，即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)｛""｝的公差為〃，因?yàn)榈?3,§5=25

%+d=3a1=1

所以1"1+1。"=25,解得］"=2

所以4=2"1；

【小問(wèn)2詳解】

an_2n-\

因?yàn)?=2〃—1,所以三=下

小%1352n-\

T=--H——H----1-----=1—7H—H-----1--------

令313?3"332333n

一口+—+…+與

所以3"3233343"+i,

馬-3"

1222/z-l31⑸J12?-1_22n+2

—I——+…H----

3323"~~13--3^~3--3n+1

1-----

兩式相減得3

…-受

所以

----->0TJ

因?yàn)?",所以北<1

所以加21,故心的最小整數(shù)值為1.

18.已知函數(shù)/（x）=""，aeR.

（1）討論函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)”1時(shí)，設(shè)g（x）=eV（x）+e，+加x（meR）,若g（x）20恒成立，求加的取值范

圍.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析;

⑵[-e,+co）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得了‘（X）,然后分aW0與a>0討論，即可得到結(jié)果；

/、ex（inx-x）

MIV-I—__________________乙

（2）根據(jù)題意，分離參數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù),x,求導(dǎo)可得"（X）,轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)

題，即可得到結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

4）定義域?yàn)椋ā耍薄?/p>

①當(dāng)時(shí)，/'（x）V0恒成立，/（X）在（°，+"）上單調(diào)遞減

②當(dāng)a>0時(shí),

]_

X

［唱a

/(x)—0+

/(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

綜上所述，當(dāng)時(shí)，/（"）的單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)。>0時(shí)，/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為A/（”）的單調(diào)遞減區(qū)間為1“

【小問(wèn)2詳解】

g(x)=e"(x-lux-1)+ex+mx=ex(x-lnx)+加x20恒成立

(inx-x)，/、(inx-x)

m>一------LA(x)=—------L

所以工恒成立，設(shè)工,

h)_e',—X+—e%l-x)_/(1)(…7

則U,

設(shè)中)=山-xT,則Ox1x,

當(dāng)0<x<l時(shí)，?x)>°，'(x)遞增，當(dāng)x>l時(shí)，?x)<°，,(x)遞減,

所以*x）max='⑴=—2<°,所以當(dāng)x>0時(shí)，Inx-X-1<0恒成立,

當(dāng)0vxvl時(shí)，〃（'）>°，〃（、）遞增，當(dāng)X>1時(shí)，'遞減,

所以心)max=〃(l)=—e,

e"(lnx-x)

m>——-------

由X恒成立得-e,

所以優(yōu)的取值范圍為1一e，+0°）.

、

22

C—=1（Q〉Z7