【中考數(shù)學(xué)】2025屆壓軸題提升訓(xùn)練專題11T5

專題11《軸對稱》

破題策略

成軸對稱的兩個圖形全等；如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對成軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂

直平分線.通常所說的翻折實質(zhì)上就是軸對稱變換.圖形沿著某條直線翻折，這條直線即為對稱軸，利用

軸對稱的性質(zhì)，再借助方程的知識就能很快解決問題.

例題講解

例1在正方形485外側(cè)作直線4尸，點6關(guān)于直線4尸的對稱點為點￡,連接咽DE,其中以交直線4尸

于點F.

如圖1,若/PAB=20。,求/4所的度數(shù)；

如圖2,若45°</以5<90°,用等式表示4￡、FE、物之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

解(1)如圖3,連接則/為E=N為Q20°,AE^AB.

?.?四邊形48co為正方形:.NBAD=90°,AB=ADN曲=130°ZADF=25°

(2)如圖4,連接BF,BD,由軸對稱知所=冊AE=AB=AD

:.NABF=NAEF=NADF,ZBFD=ZBAD=^0°:.Bfi+Fl}=Blf.?.函+用=2?

1

I--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

j例2菱形紙片4頗的邊長為2,折疊菱形紙片，將反〃兩點重合在對角線初上的同一點處，折痕分別

\為EF、GH.當(dāng)重合點在對角線的上移動時，六邊形4跖弼的周長的變化情況是怎樣的？

i小明發(fā)現(xiàn)：若NW=60°,

j①如圖1,當(dāng)重合點在菱形的對稱中心0處時，六邊形4砒腑的周長為^_________；

!②如圖2,當(dāng)重合點在對角線切上移動時，六邊形/皮訝i?的周長(填“改變”或“不變”).

；請幫助小明解決下面問題：

j如果菱形紙片四位邊長仍為2,改變的大小，折痕郎的長為0.

'(1)如圖3,若/極=120°,則六邊形4瓦潮的周長為；

!(2)如圖4,若NW的大小為2a,則六邊形4明胡的周長可表示為.

答案：(1)①6；②不變；(2)4+273；4+4sin.

如圖1,因為EF=AB=FC=CH=AG=GH=1,所以周長為6.

如圖2,因為△麻尸、ZXG孫為等邊三角形，所以EF=BE,GH=GD

因為四邊形能的、力￡初為平行四邊形，所以FC=GD=DH=AE,同理可得OU應(yīng)'=4?

所以周長不變

當(dāng)乙4a=120。時，EP=43BE,GH=CGD.

因為AE=DH=DG=FC,AG=BF=BE=CH

所以六邊形AEFCHG的周長為AB+AD+也BE+4iGD=4+2粗.

當(dāng)NZ8仁2a時，EF=2BEsina,,GH=2DGEsina

所以六邊形4所的周長為4+4sina

2

I----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

j例3有一個數(shù)學(xué)活動，其具體操作過程是：第一步：對折矩形紙片4氏力，使4〃與留重合，得到折痕房

1把紙片展開（如圖1）;第二步：再一次折疊紙片，使點4落在廝上，并使折痕經(jīng)過點8得到折痕掰

;同時得到線段冊（如圖2）.請解答以下問題：

如圖2,若延長冊交比1于R△布是什么三角形？請證明你的結(jié)論；

（2）在圖2中，若AB=a,BC=b,a、6滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片4反》上剪出符合（1）中結(jié)論的

三角形紙片兩

（3）設(shè)矩形期力的邊46=2,BC=4,并建立如圖3所示的直角坐標系.設(shè)直線朝為尸kx,當(dāng)N"BC

=60°時，求a的值，此時，將△4面沿BM折疊，點/是否落在斯上（E、尸分別為48、5中點），

為什么？

解：（1）△颯P是等邊三角形

連接的

?.?廝垂直平分幽

：.AN=BN

由折疊知ZQ胡

：.AN^AB=BN,

m為等邊三角形，

：.ZABN=&Q°

:./PBN=3Q°

又,：4ABM=4NBM=30°,/BNM=/A=90°,

:./BPN=6Q°,/MBP=NMBN+NPBN=60°

:.NBMP=6Q°,

：.AMBP=ZBMP=ZBPM=^°

:.ABMP為等邊三角形.

3

r

要在矩形紙片485上剪出等邊△或P,則3彥即

在Rt△曲印中，BN=BA=a,NPBN=3Q°

BP二a

:.cos30"

.<J3A

??QW-----b

2

所以當(dāng)。(如/,時，在矩形上能剪出這樣的等邊△核tan

2

TN"80=60°，

：.ZABM1=90°-60°=30°

AM'

在中，tanZABM'=

AB

273

.AM'=—

??J

:.譚(―,2),代入y=4x中，得后=斗=行

32V|

丁

設(shè)AAB冊沿碗折疊后，點4落在矩形極力內(nèi)的點為H,過H作/H1BC交BC于H

Bit之△48",

：.ZABM=ZABH=30°，A'B=AB=2

：.Z/BH=NMBH-Z/Bii=30°

在幽中，A'H=-AB=\,BH=C

2

"'（原1）

：.A'落在哥'上.

4

進階訓(xùn)練

1.已知：在菱形485中，Z^C=120°,￡是對角線AC上一點，連結(jié)的/DEC=50°,將線段回繞

點6逆時針旋轉(zhuǎn)50°并延長得到射線明交初的廷長線于點6求證：EG=BC.

2.如圖，有一矩形紙片力反力，38,AD=\1,將此矩形紙片折疊，使頂點4落在回上的/'處，折痕所

在直線同時經(jīng)過邊眼4〃（包括端點），設(shè)物’=x,則x的取值范圍是.

D

3.如圖，將正方形4版翻折，使點8落在曲邊上點￡處（不與C,〃重合），壓平

后得到折痕仞v：設(shè)在=工，則?絲=（用含〃的式子表示）.

CDnBN----------------

5

專題12《旋轉(zhuǎn)》

破解策略

經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；任意兩條對應(yīng)線段所在直線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前后的圖

形全等.

1.旋轉(zhuǎn)的基本圖形有：

(1)如圖，將/2組旋轉(zhuǎn)至NZ'如'，則=NBOB.

(2)如圖，將旋轉(zhuǎn)至△4'勿'，連結(jié)44',班，則△4A4's△反應(yīng)

2.利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解題的步驟為：

(1)找旋轉(zhuǎn)點，得等邊、等角；

(2)證全等或相似；

(3)利用全等或者相似得到邊、角關(guān)系.

例題講解

例1已知：在△上中，AB=6,AC^BC=5,將花繞點4按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到典旋轉(zhuǎn)角為a

(0°<a<180°),點8的對應(yīng)點為點〃，點。的對應(yīng)點為點￡,連結(jié)BD,BE.

(1)如圖，當(dāng)a=60°時，延長留交4。于點在，求證：BFVAD,AF=DF.

(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，過點。作〃形于點G,連結(jié)圓當(dāng)NDAG=NACB,且線段加與線段無公共

點時，求龍+龍.

備用圖

解(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得"=/〃，AE=DE,ZBAD=a=60°.

所以物為等邊三角形，所以4片血.

從而得到施為4〃的垂直平分線，所以即_L4D,AF=DF.

t

L)

(2)如圖，按照題意畫出圖形，令應(yīng)與46的交點為反

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。=曲=取=被NCAB=/CBA

=ZEAD=ZED\.

因為NDAG+NDAE+NEAB=NACB+NCAB+NCBA=180°,且已知/物G=N4龍，

所以NC48=N￡4B.

所以A3,應(yīng)互相垂直平分，則4。=施=班三切.

所以龐+==5+2x752-33=13.

例2已知：如圖，△可是等邊三角形，點￡在線段46上，點〃在直線比1上，&EAEC,將△以方繞點C

順時針旋轉(zhuǎn)60°至叢ACF,連結(jié)廖

(1)求證：AB=DB+AF；

(2)若點￡在線段48的延長線上，其他條件不變，線段43DB,4尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說三明理

由；

(3)若點￡在線段出的延長線上，其他條件不變，線段AB,DB,4月之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

證明(1)如圖1,過點￡作￡?！?。交6c干表G,則△旗C為等邊三角形.

易證△勿屋△￡6C所以DB=CG=AE.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得"=典所以46=^+Z￡=ZF+ZB.

(2)AB=DB-AF.理由如下：

如圖2,過點后作￡G〃ZG交必于點C,則△9為等邊三角形.

易證△或屋△酗；所以〃

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=BE=BG.

所以AB=DG=DB-AF.

2

圖2

(3)AB=AF-DR.理由如下：

如圖3,過點后作及〃ZG交死的延長線于點G,則△誠為等邊三角形.

易證△期屋△舐7,

所以DB=CG=AE.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4尸=題

所以AB=BE-AE=AF-ZB.

圖3

進階訓(xùn)練

1.如圖，將正五邊形4m小繞點4順時針旋轉(zhuǎn)60°后，旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點0,連結(jié)40；再將40

所在的直線繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點尸，連結(jié)尸0,判斷尸的形狀，并說明

理由.

1.如為等邊三角形.

【提示】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/龍國=/用＞60°,從而NE4P=NE48,又N￡=/E,AE=AE,從而△陽4

烏△應(yīng)'4,貝1即得證.

2.如圖，在菱形力靦中，AC=2,初=2百，AC,即相交于點0,將一個足夠大的直角三角板60°角的

頂點放在菱形3的頂點4處，繞點4左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊比；切相交于

點EF,連結(jié)班與4c相交于點G.

(1)判斷跖是哪一種特殊三角形，并說明理由；

(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點￡為邊回的四等分點時(BOCE),求曲的長.

0_

G

2.(1)即是等邊三角形；(2)CG=~.

3

【提示】(1)證班2必)即可；

(2)易證/XCAEs/XCFG,從而里=空，即可求得％的長.

4

1

專題13《“產(chǎn)形模型》

破解策略：

當(dāng)圖形具有鄰邊相等的這一特征時，可以把圖形的某部分繞其鄰邊的公共端點旋轉(zhuǎn)到另一位

置，將分散條件相對集中起來，從而解決問題.因為正方形、正三角形的邊長相等，所以在

這兩種圖形中常常應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換.

(1)如圖，等邊△48C內(nèi)有一點尸，連結(jié)4尸，BP,CP,將△加，繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△函4則4

"N是等邊三角形；0的形狀由4尸，BP,⑦的長度決定.

(2)如圖，正方形4BCD內(nèi)有一點P,連結(jié)42，BP,CP,將△8%繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△函4則

△的是等腰直角三角形；"的形狀由4尸，BP,⑦的長度決定.

這類題目中不提旋轉(zhuǎn)，而是通過旋轉(zhuǎn)添加輔助線，從而解決問題.

例題講解

例1已知：在△胞中，N8AX6Q°.

(1)如圖1,若AB=4C,點尸在宛內(nèi)，且刈=3,PC=4,N4R=50°,求陽的長;

圖1

1

1

【答案】解：（1）如圖4,將繞點4順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△四0,連結(jié)尸Q

易證△為0是等邊三角形.

從而在△尸膽中，有NPQB=90。，PQ=3,BQ=4,

所以收=5

圖4

【答案】解：（1）如圖4,將△加，繞點Z順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到連結(jié)尸0.

易證△為0是等邊三角形.

從而在△PQ8中,有/PQB=90°,PQ=3,BQ=4,

所以加=5

（2）如圖2,若AB=AC,點尸在△』比外，且序=3,PB=5,PC=4,求N4R7的度數(shù);

【答案】（2）如圖5,將個繞點4順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到連結(jié)R?.

易證△為0是等邊三角形.

從而在△尸如中,有川=3,BQ=4,PB=5,

所以/產(chǎn)肥=90°,從而N4尸C=NZ/=30°.

2

(3)如圖3,若43=24C,點尸在△4比內(nèi)，且必=百，PB=3,ZAPC=120°，求尸。的長;

A

【答案】

(3)如圖6,作△第C,使得42=』4尸，CQ=-BP,連結(jié)尸0.

22

易證人ACBs/^AQP.

35

從而在△陽中，有/仍7=90°,PQ=-QC=—,

292

：.PC=2

3

例2如圖，正方形能力外有一點四滿足EgEC,且/煙=15°,求證：△頌為等邊三角形.

證明：如圖，過效D作DFLDE,ADF=DE,連結(jié)行1交四于點G,連結(jié)郎.

易述叢ADE空叢CDF,

所以NDFC=NDE4=15°,

從而/?重=/小=90°,Z67^=30°.

所以GE=-EF=—DF=—CE,

222

所以/函=45°,NDEC=6Q°,

即△。友'為等邊三角形.

F

4

進階訓(xùn)練：

1.(1)如圖1,在正方形/靦內(nèi)有一點RPA=M,PB=4i,PC=\,則/即C的度數(shù)為:

【答案】1.(1)135°；

【提示】如圖，將△即C旋轉(zhuǎn)至△即4連結(jié)而，證尸尸是直角三角形即可.

(2)如圖2,在正六邊形松力即內(nèi)有一點尸，PA=2屈,PB=4,PC=2,則/即C的度數(shù)為

正六邊形ABCDEF的邊長為.

【答案】(2)120°；277

5

P'、、

2.(1)如圖1,在等邊△?回中，ZC=7,點尸在■內(nèi)，且N4PC=90°,NBPC=120°,求的

面積；

(2)如圖2,在四邊形48力中，AELBC,垂足為點￡,NBAE=NADC,BE=CE=2,CA5,AD=k>AB(A

為常數(shù))，求物的長(用含A的式子表示)

(1)△4%的面積為7百；

(2)劭=J16左2+25

【提示】(1)如圖，將△上繞點6順時針旋轉(zhuǎn)60°至叢CBQ,連結(jié)尸Q易證△尸加為含30。的直角三角

形.令BP=m,貝?。輒=。，仄而AP=CQ=6m,PC=2m,然后解Rt△4/即可.

(2)如圖，連結(jié)4C,顯然將△4如繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)/應(yīng)I。的度數(shù)至△4CQ連接見?,則△上

s9DQ=k?BC=4k.作AFLDQ于點F,則/%F=NB4E=N40C,所以AF〃CD,即/5g90°.

在Rt^3中，由勾股定理可得劭=CgJl6左2+25

6

1

Q卜、

L____________________________________________________________________________________________________________________________________________I

7

專題14《共頂點模型》

破解策略

i.等邊三角形共頂點

等邊與等邊B、a后三點共線.

?連結(jié)初、交于點月初交4C于點G,四交〃C于點小連結(jié)少、GH,則:

?(1)△BCD^△ACE-,

?(2)AE=BI>,

?(3)NAFB=2DFE=60。;

?(4)FC^■分2BFE;

?(5)BF=AF+FC,EF=DF+FC,

?(6)△。網(wǎng)為等邊三角形.

CA=CB

證明(1)由已知條件可得＜N/CE=N5CD,則△及力以△4位

EC=DC

?(2)由(1)得/￡=股

?(3)由(1)得NGAF=NGBC,而NAGF=NBGC,所以NDFE=NAFB=NACB=60°.

?(4)方法一如圖1,過點。分別作物、AE的垂線,垂足分別為必N.

?由(1)知SA4B=SA順，即上BD?CM==AE?CN,所以CM=CN,故戶。平分

22

?方法二由ZCAF=ZCBF,可得4B、C、尸四點共圓，所以/跖C=NB4C=60°.

?同理可得/緲=N〃E=60。.所以此平分N班笈

?(5)如圖2,作/凡7=60。，交切于點/,則△函■為等邊三角形.

?易證△BCI9△ACF,所以BI=AF,IF=CI=K.

?從而BF=BI+IF=AF+CF.同理可得EF=DF+FC.

A

?(6)易證△ACH義△BCG(ASA)可得CG=CH,而NGCH=60°，所以△。曲為等邊三角形.

?2.等腰直角三角形共頂點

?等腰口△45。與等腰Rt中，NACB=NDCE=90°.

圖2

如圖1,連結(jié)即交于點居連結(jié)汽；AD、BE,貝4：

(1)△BCD9△ACE\

(2)AE=BI>,

(3)AELBI>,

(4)FC平分NBFE;

(5)AR+DE=AD+BE

(6)班=AF+V2FC,EF=DF+亞FC,

(7)如圖2,若G、/分別為BE、4〃的中點,貝1JGCkAD、ICLBE(反之亦然)；

(8)SxACD=SXBCB

證明(1)(2)(3)(4)證明見“等邊三角形共頂點”；

(5)因為4瓦L初，由勾股定理可得數(shù)+〃且=("+")+(〃戶+即)，

Ab+BE=(AP+DP)+(眇+酸)

所以AE+DE=Ab+BE

(6)如圖3,過點。作竊」所交初于點的則△以弧為等腰直角三角形.

易證△52W△ACF,所以BK=4R從而BF=BK+KF=AF+亞FC,

同理可得EF=DF+V2用.

?(7)①如圖4,延長GC,交/〃延長線于點〃，延長4至點￡使得微=GG連結(jié)跖

?易證ZKBG=ZCEG,BK=EC=6D.

?由題意可得NACD+NBCE=NCBE+NCEB+NBCE=18Q°,

?所以NACD=ZCBE+NCEB=ZCBG+NGBK=/CBK.

?可得AACD9ACBK(SAS)

?則NC40=NBCK,

?所以NACH+NCAH=NACH+NBCK=9Q：故GCL?

?②如圖5,CUBE,延長/。交4〃于點T,分別過點A,〃作//的垂線，垂足分別為肌及由

已知可得△/加3△四△DNC^△CJE,

?所以4〃=加=67,故有所以//=〃/,即可證.

?(8)在(7)中的證明過程中可得到a版=SA頗；也可以用下面的方法來證明

?如圖6,過點〃作DPIAC于點、P,過點￡作EQLBC,交起延長線于點Q.

?易證ADP%AEQC(AAS).所以加=改，政工DP?AC=-EQ-BC,即叢板=5人如

22

A

D

圖6

?3.等腰三角形共頂點

?等腰四與等腰△〃四中，AC=BC,DC=CE,且NACB=NDCE.

?連結(jié)破AE交于晨F,貝亞

?(1)△BCD@△ACS;

?(2)AE=BI>,

?(3)AAFB=AACB-,

?(4)FC平分2BFE.

?4.相似三角形共頂點

?4ACB與4ECD中,4￡=空，NACB=NE8.

ECDC

?連結(jié)孫4月交于點月貝上

?(1)△BCD^△ACE-,

?(2)AAFB=ZACS.

BCAC

?證明(1)由已知可得?而一茄

/BCD=/ACE

?所以△［管saBCD.

?(2)由(1)可得/以/=/頌:

?設(shè)4c與切的交點為G,則N/即=NBGC,

?所以/4期=/40.

?例題講解

?例1如圖1,在中，5(7=4,以線段48為邊作△［初，使得AD=BD,連結(jié)％再以

〃C為邊作△CDE,使得DC=DE,￡CDE=AADB=a.

?(1)如圖2,當(dāng)NCDE=450且a=90。時，用等式表示線段/〃，施之間的數(shù)量關(guān)系；

?(2)將線段四沿著射線四的方向平移，得到線段灰；連結(jié)BF,AF.

?①若a=90°,依題意補全圖3,求線段4月的長；

?②請直接寫出線段"1的長(用含0的式子表示)

解（1）/〃+DE=4.

(2)①如圖4,連結(jié)43交%于點G,設(shè)施與死的交點為H.

由“等腰直角三角形共頂點”可得

△ADE9△BDC(SAS)

所以AE=BC,AEGC=AEDC=90°

因為線段四沿著射線四的方向平移，得

到線段肥

所以AE=BC=FE=4,AELEF.

所以AF=V2EF=4V2.

②4尸=8sinq.

2

如圖5,連結(jié)絲交死于點G.

由“等腰直角三角形共頂點”可得FE=BC=AE

Z.AEF=AEGC=AEDC=a

過點?作EH1AF于點、H

則/4即=-Z.AEF=-a

22

所以AF=lAH=lAEsin-=8sin-.

22

?例2如圖1,在△/%中，〃、月分別是45、4C上的點，且以//%,將以繞［點順時

旋轉(zhuǎn)一定角度，連結(jié)物，CE,得到圖2,然后將初，絲分別延長至叢N,4更DM==BD,

2

EN=-CE,連結(jié)AM,AN,MN,得到圖3.

2

?(1)若"=4。，請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系；

?①在圖2中，BD與四的數(shù)量關(guān)系是；

?②在圖3中，猜想/〃與4%的數(shù)量關(guān)系，NMAN與NBAC的數(shù)量關(guān)系,丙證明你的猜

?想：

?⑺若AB=k-,按上述操作方法，得到圖4,請繼續(xù)探究：4〃與44的數(shù)

量關(guān)系；NMAN與NBAC的數(shù)量關(guān)系.

解(1)①BD=CE.

②AM=AN,NMAN=NBAC.證明如下：

由“等腰三角形共頂點”可得ACAE也ABAD(SAS)

所以CE=BD,NACN=AABM

所以BM=CN

從而△ABM9△ACN(SAS)

所以AM=AN,NBAM=ZCAN

即NBAC.

⑺AM=kAN,AMAN=ABAC.證明如下：

由“相似三角形共頂點”可得△CAW△BAD,

所以些=必=A，/ACN=/ABM

CEAC

所以**

從而4ABMs△ACN

所以AM=kAN,ABAM=NCAN

即NBAC.

進階訓(xùn)練

?1.在平行四邊形45勿中，NA=NDBC,過點〃作施=加，且NEDF=NABD,連結(jié)愿

EC,N、尸分別為及7,冠的中點，連接讀肥

圖?

?（1）如圖1,若點￡在加上，EF與DC更于點、M,試探索線段的與的數(shù)量關(guān)系及N

/初與N也快滿足的等量關(guān)系；

?（2）如圖2,若點〃在線段的上，當(dāng)點〃在何位置時，你在（1）中得到的結(jié)論仍然成

立？寫出你確定的點〃的位置，并證明（1）中的結(jié)論.

?解NP=NM,AABD+AMNP=180°

?”是線段斯的中點.

?【提示】（1）證DP1BC,DCLEF,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得處=枷=!四，N

2

ABD+^MNP=1APDC+1ADCP=180°;或者連結(jié)的，切（如圖），由“等腰三角形共頂

點”可證得結(jié)論.

?如圖，連結(jié)灰；CF,取所中點G連結(jié)附，由“等腰三角形共頂點”和中位線定理,

即可得到點〃與點G重合時（1）中結(jié)論仍成立.

?2.如圖1,在△48。中，ZACB=90°,AC=BC,N從。=90。，點〃為射線43上任意一

點（不與點4重合），連結(jié)曲將線段O繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段說

直線泗分別交直線飲射線空于點只D.

?2.如圖1,在△/駝中，N4四=90。，AC=BC,N￡/C=90。，點〃為射線4月上任意一

點(不與A重合)，連接CM,將線段CM繞點、。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN,直

線附分別交直線6M射線四于點尺D.

?(1)直接寫出的度數(shù)；

?(2)如圖2、圖3,當(dāng)N9。為銳角或鈍角時，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否發(fā)生

變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；

?(3)如圖4,若=15。，ZACM=6Q°,直線口/與"交于GBD=—+二,其他

2

條件不變，求線段的長.

?解：⑴NNDE=90。;

?(2)(1)中結(jié)論不變，證明略；

?(3)V6.

?【提示】(2)由“共頂點模型”可得位△比%所以NBNC=NAMC,從而得到N

MDN=NMCN=90。.

?(3)由題意可得，ABAE=30°,AAMG=AAGM=75°,而又(1)可得9=90°,

所以AB=2BD=V6+V2.如圖，過點G作GH1BC于點、H,則CH=mGH=#,BH,從而AG

=43BG,所以4G+&+0,解得/〃=〃=&.

3

B

3.如圖，△45。與△瓦尸都是等腰三角形，AB,斯的中點均為。，且頂角//◎=

/EDF=a,直線班，少交于點G,連結(jié)/G.現(xiàn)將圖中△。班1繞點。旋轉(zhuǎn)，請你確定

4G取最小值和最大值時點G的位置.

答案：以5c為直徑作?！?，直線交于點如6,則G、為4G取最小值時點G的位置,

6為4G取最大值時點G的位置.

【提示】如圖，連結(jié)CO,DO,構(gòu)建兩個相似的“直角三角形共頂點”，從而得到/

BGC=ZBOC=90°,從而點G在以BC為直徑的圓上.

r

專題15《角含半角模型》

?破題策略

?1.等腰直角三角形角含半角

如圖，在中，AB=AC,ZBAC=90°,點〃，B在BC上且NDAB=45°

(1)△BAEs△ADES△CDA

?(2)加+切血.

?證明(1)易得N4〃C=NB+NBAD=NEAB,

所以△BAEs△ADEs△CDK.

(2)方法一(旋轉(zhuǎn)法)：如圖1,將△/初繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△/陰連結(jié)班:

?則=45°,AF=AD,

就以XADEsXFAE{SAS}.

所以DE=EF.

?而CF=BD,AFCE=ZFCA+ZAC￡=90°,

?所以B八CE=CP+CE=EP=DE.

方法二（翻折法）：如圖2,作點3關(guān)于47的對稱點孔連結(jié)［冏DF,EF.

?改為，BAD+NEAC=ZDAF+ZEAF,

又因為/皿〃=Z.DAF,

則NE49=N/用AF=AB=AC,

所以XFAEsxCAE<SAS'）.

所以EF=氏.

?而DF=BD,ADFE=AAFD+AAFE=90°,

所以Bd+EC=即+EP=DS.

【拓展】①如圖，在△/駝中，AB=AC,ZBAC=90°，點〃在夕。上，點￡在％的延長

線上，且/為￡=45。，則B療+CE=DR.

?可以通過旋轉(zhuǎn)、翻折的方法來證明，如圖:

?②將等腰直角三角形變成任意的等腰三角形：如圖，在△48。中，AB=AC,晨D,E農(nóng)BC

上，且NDAE=L/BAC,貝1］以弧DE,勿為三邊長的三角形有一個內(nèi)角度數(shù)為180。-Z

2

BAC.

?可以通過旋轉(zhuǎn)、翻折的方法將初，DE,轉(zhuǎn)移到一個三角形中，如圖:

r

2.正方形角含半角

如圖1,在正方形4原力中，點四尸分別在邊5C,CD上,N9尸=45°,連結(jié)愿貝上

⑴郎=BE+DF;

(2)如圖2,過點4作“J_所于點G,則AG=An

(3)如圖3,連結(jié)BD交AE于點、H,連結(jié)FH.則FHLAE.

(1)如圖4,將△/期繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△4〃/證明.

?則//"1=N=45°,AI=AE,

所以XAEFsXAIF<SAS'),

所以EF=IF=DI+DF=BE+DF.

(2)取為AAEFs4AIF,AGLEF,ADJ.IF,

?所以AG=AD.

(3)由4HAF=2HDF=45°可得4,D,F,〃四點共圓，

從而N4處1=180°-N4M=90°,

即FHLAE.

【拓展】①如圖，在正方形48切中，點尸分別在邊四，〃。的延長線上，N從尸=45。，

連結(jié)EF,如JEF=DF-BE.

CD

r

?可以通過旋轉(zhuǎn)的方法來證明.如圖:

?②如圖，在一組鄰邊相等、對角互補的四邊形4"笫中，AB=AD,N孫為N6H80°,

點E,F分別在BC、CD上，Z.EAF=-/.BAD,連結(jié)EF,則EF=BE+DF.

2

?可以通過旋轉(zhuǎn)的方法來證明.如圖:

?例題講解

?如圖1,點艮F分別在正方形ABCD的邁BC、勿上，ZEAF=45°.

?試判斷的、EF、物之間的數(shù)量關(guān)系.

?如圖2,在四邊形485中，N及〃*90°,AB=AD.NB+N〃=180°，點反,分別在BC、

CD上,則當(dāng)/從尸與/曲〃滿足關(guān)系時，仍

?有EF=BE+FD.

?(3)如圖3.在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形453已知43=4〃

?=80m,NB=60。,N/〃C=120。，/曲〃=150°,道路及7,5上分別有景點

?E,F,且/及Z?F=40(V3-1)m.現(xiàn)要在反月之間修一條筆直的道路，求

?這條道路跖的長.(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V2=1.41,V3=1.73)

r

?解：(1)由“正方形內(nèi)含半角模型”可得EF=BE+FD.

?(2)NBAD=2NEAF,理由如下：

?如圖4,延長5至點G,使得DG=BE.連結(jié)AG.

?易證小ABE9AADG(SAS).

?所以AE=AG,

?即EF=BE+DF=DG+DF=GF.

?從而證得△AEF也△AGF(SSS).

?所以NEAF=，GAF==NEAG==NBAD.

22

?由題意可得N及￡=60°

?所以△4期和均為等腰直角三角形.

?過點4作AH工DG于點H.則

]n

?DH=-^=40m,AH=—^=4073m.

22

?而。葉=40(V3-1)m.

?所以/從尸=N&尸=45°.

?可得△EAF9△GAF(SAS).

?所以EF=GF=80m+40(V3-1)m?109.2m.

?例2如圖，正方形ABCD的逆長為a,BM、例分別平分正方形的兩個外角，且滿足N協(xié)

%=45。.連結(jié)膿NC、MN.

?(1)與現(xiàn)相似的三角形是_______________,BMDN=(用含有a的代數(shù)式表示)；

?(2)求/加亞的度數(shù)；

r

(3)請你猜想線段麻娜和池之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

?解：(1)△NDA,a2.

(2)由⑴可得