2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練專題0219題新結(jié)構(gòu)定義題

(函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分)(典型題型歸類訓(xùn)練)(含答案)專題0219題新

結(jié)構(gòu)定義題(函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分)(典型題型歸類訓(xùn)練)

1.(2024?廣東茂名?統(tǒng)考一模)若函數(shù)在［a,以上有定義，且對于任意不同的不&e［a,b］,都有

|f(x1)-/(x2)|<Z:|x1-x2|,則稱為［a,國上的"％類函數(shù)

(1)若〃x)=］+x,判斷/(x)是否為［1,2］上的“3類函數(shù)〃；

(2)若〃x)=a(X-1)1-1-尤11^為［l,e］上的"2類函數(shù)"，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶若為M上的"2類函數(shù)"，且/⑴=〃2),證明：%,x2e［l,2］)|/(x,)-/(x2)|<l.

2.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考二模)我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之(公元429年-500年)計

算出圓周率的精確度記錄在世界保持了千年之久，德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪?公元1540年-1610年)用一生精力

計算出了圓周率的35位小數(shù)，隨著科技的進步，一些常數(shù)的精確度不斷被刷新.例如：我們很容易能利用

計算器得出函數(shù)J(x)=e'+x(e=2.71828…)的零點%的近似值，為了實際應(yīng)用，本題中?。サ闹禐?57.哈

三中畢業(yè)生創(chuàng)辦的倉儲型物流公司建造了占地面積足夠大的倉庫，內(nèi)部建造了一條智能運貨總干線G，其

在已經(jīng)建立的直角坐標系中的函數(shù)解析式為g(x)=lnx-2--,其在x=2處的切線為，：y="(x),現(xiàn)計

Ixo7

劃再建一條總干線C2:y=e*+m,其中m為待定的常數(shù).

注明：本題中計算的最終結(jié)果均用數(shù)字表示.

⑴求出L的直線方程，并且證明：在直角坐標系中，智能運貨總干線C|上的點不在直線4的上方；

⑵在直角坐標系中，設(shè)直線右：,="申］計劃將倉庫中直線4與右之間的部分設(shè)為隔離區(qū)，兩條運

貨總干線G、&分別在各自的區(qū)域內(nèi)，即曲線G上的點不能越過直線4，求實數(shù)機的取值范圍.

3.（2023上?安徽?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若〃x）=f-2酸+10>0）在［m,可上的值域是［九,〃］的子集，則

稱函數(shù)〃x）在［辦用上是封閉的.

⑴若/（x）在［0,2］上是封閉的,求實數(shù)a的取值范圍；

⑵若/（%）在［。刁上是封閉的，求實數(shù)t的最大值.

4.（2023上?浙江寧波?高一效實中學(xué)校考期中）黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，是德國著名數(shù)學(xué)家波恩哈德,黎

曼發(fā)現(xiàn)并提出，在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在［0』上，

,、』,x=￡（p,qeN+，“為既約真分數(shù)）

=qq

0,x=0或1或（0,1）內(nèi)的無理數(shù)

（1）請用描述法寫出滿足方程尺（無）=蒼漢/0）的解集；（直接寫出答案即可）

⑵解不等式R（X）>++，

⑶探究是否存在非零實數(shù)％］，使得y=R（丘+6）為偶函數(shù)？若存在，求左，b應(yīng)滿足的條件；若不存在，

請說明理由.

5.(2023上?貴州貴陽?高二統(tǒng)考期中)閱讀材料：

差分和差商

古希臘的著名哲學(xué)家芝諾，曾經(jīng)提出"飛矢不動”的怪論.他說箭在每一個時刻都有一個確定的位置，因而在

每一時刻都沒有動.既然每個時刻都沒有動，他怎么能夠動呢？為了駁倒這個怪論，就要抓住概念，尋根究

底.討論有沒有動的問題，就要說清楚什么叫動，什么叫沒有動.如果一個物體的位置在時刻"和后來的一個

時刻v不同，我們就說他在時刻"和v之間動了，反過來，如果他在任意時刻"有相同的位置，就說

它在"到v這段時間沒有動.這樣，芝諾怪論的漏洞就暴露出來了.原來，動或不動都是涉及兩個時刻的概念.

芝諾所說"在每一個時刻都沒有動"的論斷是沒有意義的!函數(shù)可以用來描述物體的運動或變化.研究函數(shù)，就

是研究函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.變化的情形至少要看兩個自變量處的值，只看一點是看不出變化

的.設(shè)函數(shù)y=/(x)在實數(shù)集S上有定義.為了研究的變化規(guī)律，需要考慮它在S中兩點處的函數(shù)值的差.

定義(差分和差商)稱/3)-/(")為函數(shù)從"到v的差分，這里若無特別說明，均假定通常記

/7=v-M,〃叫做差分的步長，可正可負.差分和它的步長的比值上H二！H叫做“X)在a和V的差商.顯然,

v—u

當,和V位置交換時，差分變號，差商不變.隨著/■(”所描述的對象不同，差商可以是平均速度，可以是割

線的斜率，也可以是曲邊梯形的平均高度.一般而言，當時，它是/(X)在區(qū)間［"#］上的平均變化率.顯

然，函數(shù)和它的差商有下列關(guān)系：某區(qū)間s上，單調(diào)遞增函數(shù)的差商處處為正，反之亦然；某區(qū)間S上，單

調(diào)遞減函數(shù)的差商處處為負，反之亦然.可見，差商是研究函數(shù)性質(zhì)的一個有用的工具.回答問題：

(1)計算一次函數(shù)/(?=6+c的差商.

⑵請通過計算差商研究函數(shù)=5+：的增減性.

6.(2023下?江蘇南京?高二南京市中華中學(xué)?？计谀?歐拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻，除特殊符號、

概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對于函

數(shù)y=/(%),如果對于其定義域D中任意給定的實數(shù)X,都有-xe。，并且/W-/(-%)=I,就稱函數(shù)y=f(x)

為倒函數(shù).

1-LV

⑴已知/a)=2x,g(x)=；—，判斷y=/(x)和尸g(%)是不是倒函數(shù)，并說明理由；

l-x

(2)若y=/(x)是R上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0,且在R上是嚴格增函數(shù).記尸(X)」八切證明:

f(x)

%%>0是歹(國)+F(X2)>0的充要條件.

7.(2023上?江蘇連云港?高一?？计谀?對于定義域為/的函數(shù)，如果存在區(qū)間上同時滿足下列

兩個條件：

①/■⑺在區(qū)間上是單調(diào)的；

②當定義域是時，/W的值域也是網(wǎng)"］，則稱［〃,可是函數(shù)y=〃x)的一個"黃金區(qū)間

⑴區(qū)間口，2］是函數(shù)〃x)=a2+b(a>0)的黃金區(qū)間，求。，6的值

⑵如果網(wǎng)同是函數(shù)>=■+少Tg豐0)的一個“黃金區(qū)間"，求…的最大值

8.(2022上?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末)懸索橋(如圖)的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.

1691年萊布尼茲和伯努利推導(dǎo)出某鏈線的方程為y=3/+/,其中c為參數(shù).當c=l時，該方程就是雙曲

余弦函數(shù)cosh(x)=三詈，類似的我們有雙曲正弦函數(shù)sinh(x)=tJ.

⑴從下列三個結(jié)論中選擇一個進行證明，并求函數(shù)丁=8$11(2"+5：11±(耳的最小值；

①［cosh(x)］2-［sinh(切之=］；

(2)sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)；

③cosh(2%)=［cosh(x)］2+［sinh⑺了.

(2)求證：Vxe一匹￡,cosh(cosx)>sinh(sinx).專題0219題新結(jié)構(gòu)定義題(函數(shù)與

導(dǎo)數(shù)部分)(典型題型歸類訓(xùn)練)

1.(2024?廣東茂名?統(tǒng)考一模)若函數(shù)/(X)在［a,匕］上有定義，且對于任意不同的加當耳。,可，都有

|/(xi)_/(x2)|<^|xi-^|,則稱/'(x)為［a,句上的"％類函數(shù)

⑴若〃x)=1+x,判斷是否為［1,2］上的"3類函數(shù)"；

⑵若〃x)=a(xTe-1-xlnx為［l,e］上的"2類函數(shù)"，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶若〃尤)為口，2］上的"2類函數(shù)"，且/⑴=/(2),證明：5,^￡［1,2］,|/(x1)-/(^)|<l.

【答案】⑴〃x）='+x是［1,2］上的"3類函數(shù)"，理由見詳解.

⑶證明過程見詳解.

【分析】（1）由新定義可知，利用作差及不等式的性質(zhì)證明|/（占）--目即可;

Y-1—InY_1_q

（2）由已知條件轉(zhuǎn)化為對于任意xe［l,e］,都有一2〈r（x）<2,f（x）=axex-x-inx-l,只需a<

'xe

且a>x+lnl,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可.

xe

（3）分國-馬|<3和兩種情況進行證明，/（l）=f（2）,用放縮法

/⑴+〃2）-〃%）歸|/（%）—/■⑴|+|/（2）-〃/）|進行證明即可.

【詳解】（1）對于任意不同的小%41，2］，

1<%］<x2<2,2<X］+x2<4,所以2<占+；+2<3,

|/(%1)-/(%2)|=++=&-」)「+；2+2］<3卜一引,

丫2

所以〃x）='+x是［1,2］上的"3類函數(shù)〃.

(2)因為/'(%)=oxe"—x—lnx—1,

由題意知，對于任意不同的％e［l,e］,都有|〃占）-〃々）|<2|玉-百，

不妨設(shè)玉<%，則-2（尤2-石）</（西）-/（龍2）<2（龍2-石），

故/（西）+25<〃%）+2%且/（石）一2石,

故〃x）+2x為［l,e］上的增函數(shù)，/（x）-2x為［l,e］上的減函數(shù)，

故任意xe［l,e］,都有一2（尸（x）W2,

由/'（x）<2可轉(zhuǎn)化為a"+M：+3,令g@）=土魯土2,只需“<g⑺皿

xeXQ

g，(x)=°?)(-：［In口),令〃(x)=_2—Inx—X,“力在［l,e］單調(diào)遞減,

所以"(x)V〃(l)=-3<。,g'(x)<0,故g(x)在［l,e］單調(diào)遞減,

由可轉(zhuǎn)化為上詈1,令W）J+1：T

只需aN/z(x)1mx

//(x)=+，nxx),令機(x)=2—lnx—x,m(x)在［l,e］單調(diào)遞減，

且加⑴=l>0,m(e)=l-e<0,所以%?1,目使加(%)=0,即2—ln%-毛=0,

即lnx0=2-x0,x0=e?一演,

當xe［l，X)時,機(x)>0,〃(x)>0,故/?(%)在［1,%)單調(diào)遞增，

當x?M，e］時，m(x)<0,h'(x)<0,故/z(x)在($,e］單調(diào)遞減,

九(文*=3。)「。；￥廣1q,

"1//4+e

ee

(3)因為〃x)為［，2］上的"2類函數(shù)"，所以|〃不)一〃馬)|<2|當一司，

不妨設(shè)IM%<2,

當歸-々kg時，|〃為)-/(々)|<2卜1一對<1；

當'引%一9|<1時,因為〃1)=〃2),-\<xA-x2<--

=/⑴+〃2)一〃%)|邛0)-〃1)|+|/(2)-了伍)|

<2(^-1)+2(2-^2)=2(^-X2+1)<2^-1+1^|=1,

綜上所述,%,x.efl,!］,|/(%,)-/(%2)|<1.

【點睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)。2/(X)恒成立2/(尤)2)或aV/(x)恒成立

(a<f(x)^);②數(shù)形結(jié)合(y=/(x)的圖象在y=g(x)上方即可)；③討論最值/⑺曄40或〃力面》>0

恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.

2.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？级?我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之(公元429年-500年)計

算出圓周率的精確度記錄在世界保持了千年之久，德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪?公元1540年-1610年)用一生精力

計算出了圓周率的35位小數(shù)，隨著科技的進步，一些常數(shù)的精確度不斷被刷新.例如：我們很容易能利用

計算器得出函數(shù)J(x)=e'+x(e=2.71828…)的零點％的近似值，為了實際應(yīng)用，本題中?。サ闹禐?0.57.哈

三中畢業(yè)生創(chuàng)辦的倉儲型物流公司建造了占地面積足夠大的倉庫，內(nèi)部建造了一條智能運貨總干線G，其

在已經(jīng)建立的直角坐標系中的函數(shù)解析式為g(x)=lnx-2—,其在x=2處的切線為卬y=-(x),現(xiàn)計

\xo7

劃再建一條總干線C2:y=e"”，其中加為待定的常數(shù).

注明：本題中計算的最終結(jié)果均用數(shù)字表示.

(1)求出右的直線方程，并且證明：在直角坐標系中，智能運貨總干線G上的點不在直線右的上方；

⑵在直角坐標系中，設(shè)直線L2：y="(x-申)計劃將倉庫中直線乙與乙之間的部分設(shè)為隔離區(qū)，兩條運

貨總干線C］、c2分別在各自的區(qū)域內(nèi)，即曲線c?上的點不能越過直線求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】(l)y=057龍-0.57,證明見解析.

(2)卜2.38,+功

【分析】(1)求得g'(x),得至加(2)=-&且g(2)=-ln(f),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得右的直線方程

(\\

y=0.57x-0.57,令〃尤)=g(尤)-以尤)=Inx-2-----+xox-xo),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最大

IxoJ

值，得到〃x)V0,即可得到結(jié)論；

(2)令從力=69,“-)=”+/陵-?-2毛+111(-/)，求得〃(x)=e,+%,得到函數(shù)蛆)的單

調(diào)性和最小值人。11(一1)-機)，令須皿一5)一化簡得到2—3+"(一無。)—g+山(演),結(jié)合e』=-Xo

3XQ

和%=-0.57,即可求解.

(—!—

【詳解】(1)解：由函數(shù)g(x)=ln%-2——,可得"I)x-2--'

I無。1尤。

則/⑵=一修旦g(2)=In|=-ln(-x0),

IX。)

所以右的方程為嚴皿一%)=-%(彳-2),即丫=一飛了+2%-111(-%)

因為函數(shù)J(x)=e'+x的零點%的近似值，即e』+x°=。，所以e』=r。，

可得y=-xox+2x0-Ine聞=-xox+x0

又因為%=-0.57，所以L的直線方程為y=0.57x-0.57

(1)/(1)

令/(x)=g(x)_"(x)=lnx-2------(-xox+xo)=lnx-2-------+(xox-xo)

Ixo)\XQ)

其中x>2+J,則?(x)=x_2_J_+"°,令尸(x)=0,解得x=2,

當無e(2+4~,2)時，f^x)>0,單調(diào)遞增；

當xe(2,”)時，f\x)<0,/(元)單調(diào)遞減，

所以當尤=2時，函數(shù)取得極大值，也為最大值/⑵=0,即/(x)W0,

所以在直角坐標系中，智能運貨總干線G上的點不在直線右的上方.

(2)解：由曲線G：丁=且七2：，=口(％-~^)=一式0(%-才)+2%—ln(—%),

令/z(X)=6"+加—/(x—今］=e*+加+x0(x-守)一2x0+ln(-x0),

要使得兩條運貨總干線G、G分別在各自的區(qū)域內(nèi)，則滿足力(%)20恒成立,

又由〃(%)=七/加+/0,令"(尤)=0,可得用+m=ln(-/0),即X=ln(—Xo)-m，

當x<ln(—%)-加時，"⑺<0,"(X)單調(diào)遞減；

當x>ln(-Xo)-加時，”(x)>0,"(%)單調(diào)遞增，

當x=ln(To)-加時，函數(shù)"(%)取得最小值，

ln(-Ab)

最小值為/i(ln(-x0)-m)=e+x0[(ln(-x0)-m)-^-]-2x0+ln(-x0),

ln(-b)

令Mln(—%o)-m)之0,即e^+x0[(ln(-x0)-m)-^-]-2x0+ln(-x0)>0,

x2

KR—XQ+XQln(—XQ)—77tx0——2xg+ln(—XQ)20,

X2

即ITIXQK-XQ+XQln(-XQ)2XQ+111(-XQ),

因為為<0,可得mN-3+ln(-Xo)-++ln(“°),

3尤。

又因為函數(shù)J(x)=e*+x的零點%的近似值，即6&+%=0,所以1。=-%,

則機上一3+lneM-*+咄=一3+生+1,

3XQ3

又由尤。=-0.57,所以加2-3+2X(：57)+1=一2.38,

所以實數(shù)機的取值范圍是［-2.38,內(nèi)).

【點睛】方法點睛：應(yīng)用函數(shù)知識求解實際應(yīng)用問題的方法：

1、正確地將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解答應(yīng)用問題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化來源于對已知條件的綜合分析、歸

納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，以確定函數(shù)模型的種類.

2、用相關(guān)的函數(shù)知識，進行合理設(shè)計，確定最佳解題方案，進行數(shù)學(xué)上的計算求解.

3、把計算獲得的結(jié)果回到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問題進行總結(jié)作答.

3.(2023上?安徽?高一校聯(lián)考階段練習(xí))若/("=尤2_2依+1(°>0)在網(wǎng)耳上的值域是價,用的子集，則

稱函數(shù)“力在［m,n］上是封閉的.

⑴若/(x)在［0,2］上是封閉的，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若/(尤)在［0,/］上是封閉的，求實數(shù)t的最大值.

3

【答案】（1）-4

（2產(chǎn)小

2

【分析】（1）根據(jù)新的定義，即求二次函數(shù)在［0,2］上的值域，利用分類討論思想可得結(jié)果；

（2）根據(jù)新的定義，即求二次函數(shù)在［0,4上的值域，利用分類討論思想建立不等關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】（1）函數(shù)開口向上，對稱軸是x=a，S>0）,

當0<”2時，/（力晶=〃。）=一/+1,〃尤）1mx=max{〃0）,〃2）}

因為〃x）在［0,2］上是封閉的，

〃。）=1<2

貝I］有"2）=5-4aW2,解得*W1；

/（6Z）=-6Z2+l>0

/、「I17（0）="25

當時，“X）在［0,2］上為減函數(shù)，則有伉2：=5-4°>0'解得。弓，又故無解；

一3'

綜上，。的取值范圍是-J

（2）函數(shù)開口向上，對稱軸是x=a,（a>0）,

當時，，（尤L=/.）="+1，〃xLx=max{〃0）,〃r）}

/（0）=1</欄1

因為“X）在［0刁上是封閉的，則有產(chǎn)-2m+l4f,解得2〃+1型+4,

八，一ct

依題意有/+解得主造工三2±好，

t22

所以云生芭，

2

當時，在［。內(nèi)上為減函數(shù)，則有O3=/_0+i〉o，

以2/<2Q—,即tv—=>/<1（去）

tt

綜上，r的最大值是上5.

2

4.（2023上?浙江寧波?高一效實中學(xué)校考期中）黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，是德國著名數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎

曼發(fā)現(xiàn)并提出，在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在［0』上，

,、工,尤=K（o，qeN+，"為既約真分數(shù)）

R（x）=《qqq

0m=0或1或（0,1）內(nèi)的無理數(shù)

（1）請用描述法寫出滿足方程R（x）=x,（x*O）的解集；（直接寫出答案即可）

（2）解不等式R（x）＞《x+《；

⑶探究是否存在非零實數(shù)％]，使得y=R（"+6）為偶函數(shù)？若存在，求左，b應(yīng)滿足的條件；若不存在,

請說明理由.

【答案】⑴｛x|%=-,q為大于1的正整數(shù)｝

Q

（2）1』

（3）存在，k=l,b=^

【分析】（1）根據(jù)黎曼函數(shù)的定義，分類討論求解；

（2）根據(jù)黎曼函數(shù)的定義，分類討論求解；

（3）根據(jù)黎曼函數(shù)的定義,分類討論可證得我⑺=R（lr）,則R（x）關(guān)于x=g對稱，即

則+為偶函數(shù)，即可得解.

【詳解】（1）依題意，xwO,

當x=l時，R（x）=O,則方程網(wǎng)》）=尤無解，

當x為（0,1）內(nèi)的無理數(shù)時，R（x）=0,則方程R（x）=x無解，

當、=々?。?€叫』為既約真分數(shù)）時，則R（尤）=Lq為大于1的正整數(shù)，

44Q

則由方程R（x）=x,解得x=Lq為大于1的正整數(shù)，

綜上，方程R（x）=x,（xwO）的解集為｛x[x=：,q為大于1的正整數(shù)｝.

（2）若x=0或尤=1或x為（0,1）內(nèi)無理數(shù)時，R（x）=O,

而不次+二＞0,止匕時E（x）＜y%+《，

若％=4P，4￡N+，K為既約真分數(shù)），則R（X）=L0為大于1的正整數(shù)，

qqq

由H（x）〉/+!，得-〉：,"+￡,解得p+q＜5,

'，55q5q5

又因為x=K(P，4eN+，K為既約真分數(shù))，所以x=

qq23

綜上，不等式尺(無)的解為

(3)存在非零實數(shù)左=l］=g,使得y=R("+》)為偶函數(shù)，即'=k卜+3)為偶函數(shù)，證明如下：

當x=0或x=l時，有R(O)=R⑴=0成立，滿足RQ)=R(1-尤)，

當x為(0,1)內(nèi)的無理數(shù)時，l-x也為(0,1)內(nèi)的無理數(shù)，所以R(x)=R(l-x)=。，滿足R(x)=R(l-x),

當.3照3看為既約真分數(shù))，則1-釬1-r空為既約真分數(shù),

所以R(X)=R(1-X)=L滿足R(X)=R(1-X),

q

綜上，對任意工￡［?！梗?都有R(x)=R(l-%),

所以R(x)關(guān)于尤=：對稱，即?尤+；卜

貝+為偶函數(shù),

所以，存在非零實數(shù)上=1/=3,使得y=R(丘+6)為偶函數(shù).

5.(2023上?貴州貴陽?高二統(tǒng)考期中)閱讀材料：

差分和差商

古希臘的著名哲學(xué)家芝諾，曾經(jīng)提出“飛矢不動”的怪論.他說箭在每一個時刻都有一個確定的位置，因而在

每一時刻都沒有動.既然每個時刻都沒有動，他怎么能夠動呢？為了駁倒這個怪論，就要抓住概念，尋根究

底.討論有沒有動的問題，就要說清楚什么叫動，什么叫沒有動.如果一個物體的位置在時刻〃和后來的一個

時刻v不同，我們就說他在時刻"和v之間動了，反過來，如果他在任意時刻有相同的位置，就說

它在"到v這段時間沒有動.這樣，芝諾怪論的漏洞就暴露出來了.原來，動或不動都是涉及兩個時刻的概念.

芝諾所說"在每一個時刻都沒有動”的論斷是沒有意義的!函數(shù)可以用來描述物體的運動或變化.研究函數(shù)，就

是研究函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.變化的情形至少要看兩個自變量處的值，只看一點是看不出變化

的.設(shè)函數(shù)丁=/("在實數(shù)集S上有定義.為了研究/(x)的變化規(guī)律，需要考慮它在S中兩點處的函數(shù)值的差.

定義(差分和差商)稱/■3)-，(")為函數(shù)/(%)從a到v的差分，這里若無特別說明，均假定通常記

/7=叫做差分的步長，可正可負.差分和它的步長的比值上H二叫做〃X)在M和v的差商.顯然,

v-u

當a和v位置交換時，差分變號，差商不變.隨著/(x)所描述的對象不同，差商可以是平均速度，可以是割

線的斜率，也可以是曲邊梯形的平均高度.一般而言，當"<?時，它是“X)在區(qū)間［"#］上的平均變化率.顯

然，函數(shù)和它的差商有下列關(guān)系：某區(qū)間S上，單調(diào)遞增函數(shù)的差商處處為正，反之亦然；某區(qū)間S上，單

調(diào)遞減函數(shù)的差商處處為負，反之亦然.可見，差商是研究函數(shù)性質(zhì)的一個有用的工具.回答問題：

(1)計算一次函數(shù)/(%)=丘+c的差商.

⑵請通過計算差商研究函數(shù)y（x）=*+：的增減性.

【答案】⑴4

（2）函數(shù)〃同=5+：在（-，。）和（?！贿f減，在［1,+應(yīng)遞增

【分析】（1）由材料根據(jù)差商定義式「3）一""）求解即可;

v—u

（2）求解差商，分區(qū)間討論差商符號，根據(jù)材料即可判斷單調(diào)性.

【詳解】（1）一次函數(shù)〃力=履+。的定義域內(nèi)任取且"XV,

,/（v）—/（w）=kv+c—ku—c=k（v—u）

，差商為了⑺一/⑷

v—uv-u

一次函數(shù)〃了）=履+。的差商處處為女;

（2）函數(shù)〃同=5-+上1的定義域為（y>，°）」（。,+8）,設(shè)“<v,

y2I|V2-u2u—v

計算/（x）在［%v］的差商為/&）/（"）_2v（2u）_—2—+，T_v+"1>

v—uv—uv-u2vu

當〃vvv0時，v+u<0<—,

2vu

從而故函數(shù)/（X）在（-8,0）遞減；

v—u2vu

當0v〃vu4l,0<v+u<1<―,

2vu

從而J"）-/（"）=山」<o,故函數(shù)在（0』遞減；

v-u2vu

當1<〃VU時，貝IjV+U->1>—,

2vu

從而/「）〃"）二山口〉0,故函數(shù)/⑺在［1,+8）遞增；

v—u2vu

綜上所述，函數(shù)=］+：在（-雙。）和（0,1］遞減，在［1,+⑹遞增.

6.（2023下?江蘇南京?高二南京市中華中學(xué)?？计谀W拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻，除特殊符號、

概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對于函

數(shù)y=/（X）,如果對于其定義域D中任意給定的實數(shù)X,都有-xe。，并且/?-/（T）=1,就稱函數(shù)y=/（X）

為倒函數(shù).

⑴已知〃%）=2"雙次）=產(chǎn),判斷'=/（%）和kg（x）是不是倒函數(shù)，并說明理由；

1-X

（2）若y=/（x）是R上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0,且在R上是嚴格增函數(shù).記比（尤）」/（切T,證明：

/（X）

玉+X2＞。是/（占）+/（尤2）＞。的充要條件.

【答案】（i）y=/（元）是倒函數(shù)，y=g。）不是倒函數(shù)；理由見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)倒函數(shù)的定義判斷可得答案；

（2）根據(jù)倒函數(shù)的性質(zhì)，先證充分性，再證必要性即可，

【詳解】（1）對于/（%）=2、，定義域為R,顯然定義域。中任意實數(shù)x有-xeO成立，又/（x）/（-x）=2、-2-、=1,

.?./（尤）=2”是倒函數(shù),

1-LV

對于g（尤）=詈，定義域為{X|XR1},

1-x

故當x=-1時，-尤=1e{xlxwl},不符合倒函數(shù)的定義，

1J-Y

所以g（x）=7—不是倒函數(shù)；

1-x

（2）因為尸（x）=3Lzl=/（x）工，又y=〃尤）是R上的倒函數(shù)，

“X）

所以/（-x）=I，所以尸（x）=/（x）-〃_彳），

/（x）

故尸（占）+尸?。?/（髭）一/（-占）+/（尤2）-f（-x2）,

充分性：當%+%＞。時，占尤2且%＞-王，又/（X）在R上是嚴格增函數(shù),

所以/a）＞f（F）,/（%）＞/（-%）,

所以/（占）-/（一尤2）＞°，/（尤2）-/（一占）＞0,故尸（占）+尸（%）＞0.

必要性：當尸（占）+尸食2）＞。時,

有了⑺一號“少人J(X[)+/區(qū))

=/（%）+/（々）一

/(%)/(%)-1

="(%)+/(3)卜>0,

/(^1)/(^2)

又了（尤）恒大于0,所以/（占）/（%）＞1=/（三）〃一若），

因為〃占）＞0,所以“々）＞/（-再），

因為/（X）在R上是嚴格增函數(shù).所以3＞-再，即有無1+%＞。成立.

綜上所述：&%＞0是尸（%）+尸（%）＞0的充要條件.

7.（2023上?江蘇連云港?高一?？计谀τ诙x域為/的函數(shù)，如果存在區(qū)間［S司=/,同時滿足下列

兩個條件：

①在區(qū)間［m,n］上是單調(diào)的；

②當定義域是［m,小時，/(x)的值域也是［m,n\,則稱［m,可是函數(shù)y=/(x)的一個"黃金區(qū)間

⑴區(qū)間［L2］是函數(shù)〃力”.2*+6(°＞0)的黃金區(qū)間，求“，6的值

(2汝口果網(wǎng)同是函數(shù)＞=("少Tg豐o)的一個"黃金區(qū)間"，求…的最大值

a2x

【答案】"=g，b=0

⑵逑

3

【分析】⑴根據(jù)函數(shù)增減性，判斷求出。，b-,

(2)f［x}=^-2在(-8,0)和(0,+s)上均為增函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為加，根相＜〃)是方程上已-一：=x的兩

aaxaax

個同號的實數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)與韋達定理求解問題.

【詳解】(1)因為區(qū)間［L2］是函數(shù)〃x)=a2+6(a＞0)的黃金區(qū)間，〃x)是增函數(shù)，

1

a-D+b^l,,a=一

所以解得J2；

a-22+b^2

b=0

(2)由/(x)=("-l=￡±1_!在(_8,0)和(0,+8)上均為增函數(shù),

己知“X)在"黃金區(qū)間〃W，n\上單調(diào),

所以卜〃,?]c(-oo,0)或\m,n]G(0,4w),且〃x)在[m,n]上為單調(diào)遞增,

則同理可得/(加)=租"(")=〃，

即修,〃(加＜〃)是方程竺1一：=苫的兩個同號的實數(shù)根,

aax

等價于方程+a)尤+1=0有兩個同號的實數(shù)根，

12

注意到相〃=二＞。，則只要△=(/+〃)-4a2＞0,

所以或IV-3,

而由韋達定理知n+m=土^=—,mn=」

aaa

所以〃一m=yl（n+m）2-4mn=

其中a>l或av-3,

所以當"=3時，”一機取得最大值2叵.

3

8.(2022上?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末)懸索橋(如圖)的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.

(xx\

1691年萊布尼茲和伯努利推導(dǎo)出某鏈線的方程為y=：,其中c為參數(shù).當c=l時，該方程就是雙曲

余弦函數(shù)cosh(x)=e；e,,類似的我們有雙曲正弦函數(shù)smh(x)=三寸.

①從下列三個結(jié)論中選擇一個進行證明，并求函數(shù)丁=8$11(2力+5：1疝(耳的最小值;

①[cosh(切2-[sinh(x)丁=1；

②sinh(2A:)=2sinh(x)cosh(x)；

③cosh(2x)=[cosh(%)丁+[sinh(x)]2.

JI

(2)求證：Vxe-7T,—cosh(cosx)>sinh(sinx).

7

【答案】⑴條件選擇見解析，證明見解析，函數(shù)丁=8511(2司