2025年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷01（天津卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、

準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.回答第H卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合/={乂-14/W1},5={-2,-1,0,1,2},則/口8=（）

A.{-1,0}B.{1,2}C.{-2,-1,0}D.{-1,0,1}

【答案】D

【詳解】由題意可得/={引-14》41},貝lJ/c8={-l,0,l}.

故選：D.

2,已知{%}是公差為d的等差數(shù)列，{2}是公比為4的等比數(shù)列.若0<4<1,則“{%-2}是遞增

數(shù)列”是“d20”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】若{%-“}是遞增數(shù)歹!I,則5向-加）-⑷-6,）=d+b?（1-q）>0對(duì)所有的正整數(shù)?都成立,

充分性：若{%-2}是遞增數(shù)列，貝IJd+，（l-q）>0

即d>_4（l_4）qi恒成立，又0<彳<1,1-?>0,

①若數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列,

若4>0,貝lj—6](1—q)q"?<0,”—>8時(shí)，—4(1—q)q"'—>0,所以<720；

若可<0,則一可(I-//->。，"一s時(shí)，一4(1一0,所以420,

此時(shí)充分性成立；

②若數(shù)列為有窮數(shù)列，

若4>0,通(1_?)產(chǎn)<0,只需d>-，(l-?)q"T即可,此時(shí)充分性不成立.

必要性：420時(shí)，

若“<0,有”(l-q)<0,則d+〃(l-q)>0不一定成立，故必要性不成立；

即0<q<1時(shí)，“{4-2}是遞增數(shù)列”是“4>0”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

3.函數(shù)了=sinx-工部分圖象是()

【詳解】函數(shù)了=/(x)=siiu-：的定義域?yàn)?-co,0)U(0,+co),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

因?yàn)?(-xh-sinx-Bn-ya),所以函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，

當(dāng)x>0且x->0時(shí)，f(x)^-oo,故排除BC；

又/[]]=1一|>0,故排除D.

故選：A.

1+10g32

4.3+lg2+log72xlog27xlg5=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【詳解13"幅2+lg2+log72xlog27xlg5=3x3叱+Ig2+^|x^xlg5

~lg7lg2

=3x2+lg2+1g5=7.

故選：C.

5.已知奇函數(shù)在R上是減函數(shù)，g(x)=_^(x),若a=g(-k>g29.1),6=g(2°s),c=g⑶，則

a,6,c的大小關(guān)系為()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【詳解】因〃尤)為奇函數(shù)且在R上是減函數(shù)，所以〃f)=-/(x),/(o)=o,r(x)<0,

且x>0,時(shí)/(x)<0.

因g(x)=#(x),所以g(-x)=-#(-x)=#(x),故g(x)為偶函數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)=/(x)+礦(x)<0,因〃x)<0,f'{x)<0,所以g'(x)<0.

即g(x)在(0,+功上單調(diào)遞減.

a=g(-log29.1)=g(log29.1),

08

Slog29.1>log29>log28?3>2-,所以g(k)g29.1)<g(3)<g(203),

即a<c<b.

故選：A.

6.有一散點(diǎn)圖如圖所示，在六組數(shù)據(jù)(4％)1=1,2,…,6)中去掉8點(diǎn)后重新進(jìn)行回歸分析，則下列

說(shuō)法正確的是()

斗

/?c

A.樣本數(shù)據(jù)的兩變量xj正相關(guān)

B.相關(guān)系數(shù)『的絕對(duì)值更接近于0

C.去掉5點(diǎn)后，回歸直線的效果變?nèi)?/p>

D.變量X與變量y相關(guān)性變強(qiáng)

【答案】D

【詳解】對(duì)A：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)的兩變量x，y負(fù)相關(guān)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：由圖可知，點(diǎn)5相對(duì)于其它點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉8點(diǎn)后，回歸直線的擬合效果會(huì)更好，

相關(guān)系數(shù)『的絕對(duì)值更接近于1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：去掉2點(diǎn)后，回歸直線的效果變強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：正確.

故選：D

7.己知函數(shù)〃x）=4sin?x+。）（/＞0,。＞0,冏＜曰）的部分圖象如圖所示，給出下列結(jié)論:

①"鼻=一6;②當(dāng)xe-p0時(shí)，/（x）e[-2,V3]；

③函數(shù)?。┑膯握{(diào)遞減區(qū)間為加+*兀+卷,化eZ）；

④將/（x）的圖象向右平移三個(gè)單位，得到y(tǒng)=2sin2x的圖象；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

【答案】C

【詳解】由圖象可知：A=2,9=：=>7=兀=三=O=2.

43124co

由L=2=2si“2x喂+0]=2,又時(shí)所以夕=去

所以/"(x)=2sin]2x+?]

因?yàn)?'(5)=2sin(2x5+gj=-2sin]=-7L故①正確；

當(dāng)時(shí)，-^<2x+^<^,所以-l《sin[2x+工]V且，所以一247(力4石，故②正確;

233313)2

兀7i37r7i7兀

由2kllH—W2xH—W2kli---,kGZ——/ku-\WxWkitH------,kGZ,

2321212

jr77r

所以函數(shù)〃X)的單調(diào)遞減區(qū)間為far+—,hr+—,左eZ.故③正確；

將的圖象向右平移個(gè)單位，得至廿=2sin21-3+三=2sin12xjJ的圖象，故④錯(cuò)誤.

故選：C

22

8.已知雙曲線E:4=1（“>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，巴，直線/與E的兩條漸近線分別

ab

交于48兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若2可=方,。/，48,則E的離心率為（）

A.V2B.V3C.V5D.—

2

【答案】B

【詳解】

:

22L

由雙曲線E:會(huì)-a=1（〃>0,6>0）可知漸近線方程為昨X,

因?yàn)?瓦7=次,。/_1_/8,所以。4_L4用，

一,1=.//ab'

在Rt/XO/g中，\OF2\=c,tanZAOF2=-,:.\AF^\=b\AO\=c，可得z—,—?

c)

2F\A=AB,即2（x「c,乃）=區(qū)-/,為-”），

則XB=3XH2c=,y=3y=,

cBAc

又因?yàn)辄c(diǎn)8在漸近線夕=-2X上，所以型=-2x￡z型，解得,2=3/,可得e=￡=6.

acaca

故選：B.

9.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體/BCD-中，點(diǎn)￡,F,G分別是棱CG，CB,CO的中點(diǎn),

P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面a〃平面EFG,則下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.不存在點(diǎn)尸，使得C尸，平面EFG

B.三棱錐尸-跖G的體積為定值

C.平面a截該正方體所得截面面積的最大值為苴

2

D.平面a截該正方體所得截面可能是三角形或六邊形

【答案】C

【詳解】如圖，連接4。，可得4。，平面跖G,由4c與異面可知，不存在點(diǎn)p,使得CP,

平面EFG,故A正確；

又平面EFG,所以動(dòng)點(diǎn)尸到平面EFG的距離為定值，故三棱錐尸-EFG的體積為定值，故B

正確；

如圖，當(dāng)截面為正六邊形Z/KLW時(shí)(其中/,J,K,L,M,N都是中點(diǎn))，易得該正六邊形

的邊長(zhǎng)為坐，所以其面積為=￥，故C錯(cuò)誤；

24(2)4

截面可能為三角形，也可能為六邊形，故D正確，

故選：C.

第n卷

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分

10.已知i為虛數(shù)單位，若(l-i)(2+“i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.

【答案】-2

【詳解】因?yàn)?l-i)(2+ai)=2-2i+ai-ai2=2+a+(a-2)i,

。+2=0

故答案為：-2.

二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

【答案】？

【詳解】由題意，得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為(+1=&

3

43--r=0,得尸=2,

15

故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-3時(shí)，篌義(-1八92-27.

故答案為：—.

4

12.若一個(gè)圓的圓心為0(0,2),且該圓與直線底-了-2=0相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

過(guò)點(diǎn)尸(-2,-1)作該圓的兩條切線尸4尸8,切點(diǎn)分別為42,則直線45的方程為

【答案】X2+(J-2)2=42x+3y-2=0

【詳解】①點(diǎn)(0,2)到直線板-y-2=0距離等于半徑，

1-2-21

2

..J="==2,.?.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+(j-2『=4

VV3'+12

②當(dāng)斜率不存在時(shí)，切線：x=-2,與圓相切與點(diǎn)(-2,2)；

由圓的切線的性質(zhì)可知，ABLOP,

-12

kAB=T-

%P2-(T)

0-(-2)

2/、

AB:y-2=-§(x+2)即2x+3>—2=0

故答案為：①/+(歹—2)2=4②2x+3>—2=0

13.周先生到某地開(kāi)會(huì)，他乘火車(chē)，輪船，汽車(chē)，飛機(jī)的概率分別為3歷1,m1，歷2,(，且乘坐這四種交

通工具到達(dá)會(huì)議地遲到的概率分別為1,3白,。11,：，則周先生到達(dá)會(huì)議地遲到的概率是________;若

410105

周先生本次到達(dá)會(huì)議地遲到了，則他本次是乘飛機(jī)前往的概率是.

【詳解】周先生到達(dá)會(huì)議室心到的概率為:

3113112115+12+2+16_9

PT=—X—+—X--------1-------X一+—X—=

104510101055200-40

若周先生本次到達(dá)會(huì)議地遲到了，則他本次是乘飛機(jī)前往的概率是:

2

21

—X—

55295-1-6

31131121一45

一X——F—X-------1--------X--------F—X—

10451010105540

916

故答案為：①獷②*.

14.已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為1,萬(wàn)g=2就，若現(xiàn)二過(guò)十質(zhì),其中4〃為實(shí)數(shù)，則

彳+2〃=；設(shè)尸是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為線段/月的中點(diǎn)，則衣.布的最小值為.

715

【答案】一/2—；---.

3318

【詳解】如圖，以3為原點(diǎn)，30,34所在直線分別為了/軸建立平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)橥?2皮，所以2(0,0),4(0,1),。(1,0)/1,口的(1,1),

得屁=的=(0,1),就=(1,0),

因?yàn)辂?4瓦+〃前，所以［1,j=x(o,i)+〃(i,o)=(〃,x),

得力=4，〃=1,所以幾+2〃=2=可，

設(shè)麗=加麗=卜,,則尸(加方：6號(hào),￡+J,

所以/J喘』加=［十吟一)

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)"2=1時(shí)，N.方不取得最小值

1O

75

故答案為：—；.

31o

15.已知函數(shù)=g(x)=；!°g2M°："V2,且方程〃x)=加有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍為,關(guān)于x的方程g[/(x)]=加解的個(gè)數(shù)為.

【答案】(0,1);4

【詳解】①/仁)=|2-，-1|==2J,：由題意可知，直線^=加與函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個(gè)不同

2—1,x＜0

的交點(diǎn)，如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)0(加＜1時(shí)，直線夕=冽與函數(shù)＞=/(%)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故0＜加＜1；

②方程g[/(x)]二加中，設(shè)"/(x)￡(0,+8),

即g(。二加，即函數(shù)歹二g⑺與直線y=加￡(0,1)的交點(diǎn)問(wèn)題，

的圖象如下圖所示:

因?yàn)?(加＜1,函數(shù)了=8?)與卜=加有3個(gè)交點(diǎn),

即g?)=加有三個(gè)根仆t2>t3,其中％w(O,l)、右€(1,2)、4w(2,3),

再結(jié)合y=/(x)圖象可知，方程/(x)=4有2個(gè)不同的根，方程/2=〃力有1個(gè)根,

方程%=/口)有1個(gè)根,

綜上所述，方程g[/(x)]=加有4個(gè)不同的解.

故答案為：0＜相＜1；4.

三、解答題：(本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

bsin4=acosB--

16.在△4BC中，內(nèi)角4昆。所對(duì)的邊分別為4。，I6a=2,c=3.

(1)求角8的大小:

⑵求6的值;

(3)求sin(2/-8)的值.

【答案】(1)三;

⑵3；

⑶

14

【詳解】(1)在△/比中，由正弦定理二^=上，可得6sin/=asin3,

sinAsmB

又由bsinZ=acos18一弓,得qsin5=QCOs15-1

即sin5=cos[5—己

sinS=—cos3+—sin3,—sinS=—cos5,tanB=C.

2222

又因?yàn)?e(O,7t),可得8=5；

(2)在△ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,

有/=/+/-2accos5=7,故6=g;

(3)由bsin/=acos[8-W),可得sin/=

2

因?yàn)?c,所以/<C,故A為銳角，故cos/=］亍,

因止匕sin2/=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A—l=—

77

47311V33A/3

所以，sin(2y4-=sin1AcosB-cos1AsinB=------x--------x-----=-------

727214

17.如圖，在四棱錐尸-48C。中，尸/_L平面/BCD,ADYCD,AD//BC,BC=4,

P/=4D=CD=2,點(diǎn)￡為尸C的中點(diǎn).

(1)證明：DE〃平面PAB；

⑵求點(diǎn)8到直線ED的距離;

(3)求直線尸3與平面尸CD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)2>/2

⑶g

【詳解】(1)證明：取尸5的中點(diǎn)尸，連接EF,AF,因?yàn)镋為尸C的中點(diǎn)，所以斯//BC,

又因?yàn)?C//4D且40=38。，所以斯//4D且E尸=NZ),

所以四邊形/。斯為平行四邊形，所以DE//AF,

因?yàn)?。E<Z平面尸48,4Fu平面尸48,所以DE//平面尸48.

(2)解：取2c的中點(diǎn)G,連接ZG,因?yàn)?D/ABC且4D=g3C,

所以ZD〃CG且4O=GC,所以四邊形/DCG為平行四邊形，所以。///G,

因?yàn)?D_LCZ),所以4D_LZG,

又因?yàn)槭?_L平面4BCD,4D,/Gu平面/BCD,所以P4_L4D,尸/_LNG,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為x,%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，可得8(2,-2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),則E(W),

所以礪=(2,-4,0),麗=(1,一1,1),則西=(2,-4,0)=275

可得cos08,DE=帝拓司=方7,所以用!1。8,?！?；=,

\DB\\DE\05V15

則點(diǎn)B到直線ED的距離為|而|sin萬(wàn)瓦瓦=2百x里=2貶.

11V15

(3)解：由(2)中的空間直角坐標(biāo)系，可得尸(0,0,2),

所以屈=(2,-2,-2),DP=(0,-2,2),DC=(2,0,0),

一n?DP=-2y+2z=0

設(shè)平面PC。的法向量為〃=(x,y,z)，貝叫一，

n?DC=2x=0

取y=i,可得x=o,z=i,所以3=(o,1,1),

設(shè)直線尸5與平面尸CD所成角為。，

則sin6—|cos方麗|一匹￥—上二L一如

則I，卜同同F(xiàn)X2省一3，

所以直線依與平面PCD所成角的正弦值為YS.

18.人教A版選擇性必修二第8頁(yè)中提到：歐拉函數(shù)。（〃乂〃?N*）的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)〃

且與"互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：

夕⑴=1,0⑵=1,0⑶=2,0（4）=2,夕⑻=4,夕（9）=6,0（27）=18.

⑴求9（6）,夕（10）9（2"）的值；

（2）已知數(shù)列｛%,｝滿(mǎn)足%=；〃?夕（3"）,求｛。"｝的前〃項(xiàng)和5“；

（3）若數(shù)列的前〃項(xiàng)和為刀，對(duì)任意“eN*,均有X-2〃+320恒成立，求

實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】⑴。⑹=2,9（10）=4,0（2"）=2"T

⑵S“=W（2"_l）3"+a

【詳解】（1）因?yàn)椴怀^(guò)正整數(shù)6且與6互素的正整數(shù)只有1,5,所以@（6）=2,

因?yàn)椴怀^(guò)正整數(shù)10且與10互素的正整數(shù)只有1,3,7,9,所以。（10）=4,

正偶數(shù)與2"不互素，所有正奇數(shù)與2〃互素，比2"小的正奇數(shù)有2片個(gè)，所以。（2"）=2"一；

（2）所有不超過(guò)正整數(shù)3"的正整數(shù)有3"個(gè),其中與3■不互素的正整數(shù)有1x3,2x3,3x3，…，3"一以3,

所以所有不超過(guò)正整數(shù)3",且與3"互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為3"-3"一=2X個(gè),

即“3"）=2X3"T,=E〃V（3"）=〃X3"T

5?=1X3°+2X3'+3X32+??■+（?-1）X3"-2+WX3"-1,

3S“=1X31+2X32+3X33+---+（?Z-1）X3"-1+WX3",

兩式相減得

-2S?=1+31+32+33+---+3^1-WX3"=|（3"-l）-nx3",

2n-l2?-l

30-3〃)33

=2x3〃—士

1-322

^-k+|j-2?+3>0得2>|X^2恒成立,

22〃一3

令或=—x--------

33〃

22n-122n—32一4〃+8

貝?ài)鏸=—x-----------x-------=—x-------：—

33〃+i33〃33-1

可得匕2>4；當(dāng)n>2時(shí)，bn+i<bn,當(dāng)〃=2時(shí)，bn+x=bn,

所以a=gx寸的最大值為仇=白=之，

故拄三2

27

22

19.已知橢圓C0+.T.〉心>。)的離心率為上，左、右焦點(diǎn)分別為片，耳，點(diǎn)尸為C上的動(dòng)

點(diǎn)，△片尸匕的周長(zhǎng)為6.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)延長(zhǎng)線段尸耳，P%分別交C于。，M兩點(diǎn)，連接鑿，并延長(zhǎng)線段鑿交C于另一點(diǎn)N,若直

k.

線尸。和MV的斜率均存在，且分別為匕，k2,試判斷寸是否為定值.若是，求出該定值；若不是,

“2

說(shuō)明理由.

22

【答案】(1)亍+0=1

k,3

⑵是，『

【詳解】(1)設(shè)橢圓的焦距|￡F=2c,|尸印+|尸乙|=2°,

所以記尸&的周長(zhǎng)為IWI+|PKI+IE&=2a+2c=6,即a+c=3.

又橢圓c的離心率為:，所以￡=：,

2a2

所以。+5=3,所以。=2,c=l,所以6=,2?-1=6，

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1.

43

(2)［是定值.

K2

由（1）得耳（一1,0）百（1,0）,

設(shè)尸（巧，乂），。（工2必），田（三，力）W（為必），

又尸,。,大三點(diǎn)共線，所以3=七，化簡(jiǎn)得再%-工2%=%一%，

人［I11

1

則直線PF2的方程為x=^-y+l,直線。月的方程為x=，

X]—1

x=———y+1

必,

化簡(jiǎn)得（2為一5）/一2（巧-1）“y+3/=0,

由根與系數(shù)關(guān)系可知，%%=＜,

2再-5

3必x王5萬(wàn)一8

所以%=2再一5出%+1=

必2x{-5'

同理居=建,匕=5X2-8

2々—5

3匕3M

2/-52網(wǎng)—5.2（尤建2-馬必）_5（72_必）

又尢=及口兒=9

x2一玉x4-x35%-8_5X|-8-3（%-X]）

2%2—52七—5

-3（X2-XJJ3x2-x13

k3

所以廣}

7

20.已知函數(shù)/（x）=x+--（6z-l）lnx（6zeR）

⑴若。=1,求不等式/（x）＜|的解集；

（2）討論函