三重積分試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.三重積分$\iiint_{\Omega}dxdydz$中$\Omega$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=1$所圍成的閉區(qū)域，積分區(qū)域$\Omega$在$xOy$面上的投影區(qū)域是（）A.$x+y\leq1,x\geq0,y\geq0$B.$x+y\geq1,x\geq0,y\geq0$C.$x+y\leq1,x\leq0,y\leq0$D.$x+y\geq1,x\leq0,y\leq0$2.設$\Omega$是由球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$所圍成的閉區(qū)域，則$\iiint_{\Omega}dzdydx$的值為（）A.$\frac{4}{3}\pi$B.$\frac{2}{3}\pi$C.$\frac{1}{3}\pi$D.$\pi$3.若$\Omega$由$z=x^{2}+y^{2}$與$z=1$所圍成，則在柱坐標下三重積分$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$可表示為（）A.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{r^{2}}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$B.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dr\int_{0}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$C.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{0}^{r^{2}}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$D.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dr\int_{r}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$4.三重積分$\iiint_{\Omega}zdxdydz$，其中$\Omega$是由$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$與$z=1$所圍成的閉區(qū)域，其值為（）A.$\frac{\pi}{12}$B.$\frac{\pi}{6}$C.$\frac{\pi}{4}$D.$\frac{\pi}{3}$5.已知$\Omega$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=2$所圍成的閉區(qū)域，則$\iiint_{\Omega}xdxdydz$的值為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.1D.$\frac{4}{3}$6.設$\Omega$是由曲面$z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$與$z=0$所圍成的上半球體，則$\iiint_{\Omega}(x^{2}+y^{2}+z^{2})dxdydz$化為球坐標下的積分是（）A.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{2}\rho^{4}\sin\varphid\rho$B.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\varphi\int_{0}^{2}\rho^{4}\sin\varphid\rho$C.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\varphid\rho$D.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}d\varphi\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\varphid\rho$7.若$\Omega$由$z=1-x^{2}-y^{2}$與$z=0$所圍成，則$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$在柱坐標下為（）A.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{0}^{1-r^{2}}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$B.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}rdr\int_{r^{2}}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$C.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dr\int_{0}^{1-r}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$D.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}dr\int_{r}^{1-r^{2}}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$8.三重積分$\iiint_{\Omega}1dxdydz$，其中$\Omega$是由$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1$所圍成的閉區(qū)域，其值為（）A.$\frac{4}{3}\pi$B.$\frac{8}{3}\pi$C.$\frac{2}{3}\pi$D.$\pi$9.設$\Omega$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=a(a\gt0)$所圍成的閉區(qū)域，則$\iiint_{\Omega}x^{2}dxdydz$的值為（）A.$\frac{a^{5}}{60}$B.$\frac{a^{5}}{30}$C.$\frac{a^{4}}{20}$D.$\frac{a^{4}}{10}$10.若$\Omega$由$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$與$z=2$所圍成，則$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$在柱坐標下可表示為（）A.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr\int_{r}^{2}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$B.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr\int_{0}^{r}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$C.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr\int_{0}^{2}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$D.$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr\int_{r}^{r^{2}}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些情況適合用柱坐標計算三重積分（）A.積分區(qū)域$\Omega$由圓柱面、平面及圓錐面圍成B.被積函數(shù)是$f(x^{2}+y^{2},z)$形式C.積分區(qū)域$\Omega$關(guān)于$z$軸對稱D.被積函數(shù)是$f(x,y,z)$形式2.以下哪些是將直角坐標下三重積分化為球坐標下三重積分的變換公式（）A.$x=\rho\sin\varphi\cos\theta$B.$y=\rho\sin\varphi\sin\theta$C.$z=\rho\cos\varphi$D.$dxdydz=\rho^{2}\sin\varphid\rhod\varphid\theta$3.設$\Omega$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=1$所圍成的閉區(qū)域，以下關(guān)于$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$的積分限正確的是（）A.先對$z$積分，$z$從$0$到$1-x-y$B.再對$y$積分，$y$從$0$到$1-x$C.最后對$x$積分，$x$從$0$到$1$D.先對$x$積分，$x$從$0$到$1-y-z$4.對于三重積分$\iiint_{\Omega}z^{2}dxdydz$，當$\Omega$是由$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$與$z=1$所圍成的閉區(qū)域，以下計算思路正確的有（）A.用柱坐標計算，先確定柱坐標下積分區(qū)域B.用球坐標計算，先確定球坐標下積分區(qū)域C.先對$x$積分，再對$y$積分，最后對$z$積分D.先對$z$積分，再對$y$積分，最后對$x$積分5.以下哪些區(qū)域可以用球坐標方便地計算三重積分（）A.球體$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqR^{2}$B.上半球體$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqR^{2},z\geq0$C.圓錐體$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$與球體$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqR^{2}$所圍成的區(qū)域D.由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=1$所圍成的區(qū)域6.三重積分$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$在柱坐標下的形式為$\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz$，以下說法正確的是（）A.$\alpha,\beta$確定了$\theta$的取值范圍B.$r_1(\theta),r_2(\theta)$確定了$r$關(guān)于$\theta$的取值范圍C.$z_1(r,\theta),z_2(r,\theta)$確定了$z$關(guān)于$r$和$\theta$的取值范圍D.被積函數(shù)中的$x,y,z$要替換為$r\cos\theta,r\sin\theta,z$7.若$\Omega$由$z=x^{2}+y^{2}$與$z=4$所圍成，關(guān)于$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$在柱坐標下的積分限正確的是（）A.$\theta$從$0$到$2\pi$B.$r$從$0$到$2$C.$z$從$r^{2}$到$4$D.$z$從$0$到$4$8.以下關(guān)于三重積分的性質(zhì)正確的是（）A.$\iiint_{\Omega}(f(x,y,z)+g(x,y,z))dxdydz=\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz+\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dxdydz$B.$\iiint_{\Omega}kf(x,y,z)dxdydz=k\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$（$k$為常數(shù)）C.若$\Omega_1\subset\Omega$，則$\iiint_{\Omega_1}f(x,y,z)dxdydz\leq\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$D.$\iiint_{\Omega}1dxdydz$等于積分區(qū)域$\Omega$的體積9.當計算三重積分$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$時，選擇合適的坐標系的依據(jù)有（）A.積分區(qū)域的形狀B.被積函數(shù)的形式C.計算的難易程度D.個人喜好10.設$\Omega$是由球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2z$所圍成的閉區(qū)域，將其化為球坐標下積分區(qū)域正確的是（）A.$\rho$從$0$到$2\cos\varphi$B.$\varphi$從$0$到$\frac{\pi}{2}$C.$\theta$從$0$到$2\pi$D.$\rho$從$0$到$2$三、判斷題（每題2分，共10題）1.三重積分$\iiint_{\Omega}dxdydz$的值等于積分區(qū)域$\Omega$的體積。（）2.若積分區(qū)域$\Omega$關(guān)于$x$軸對稱，被積函數(shù)$f(x,y,z)$是關(guān)于$y,z$的偶函數(shù)，則$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=2\iiint_{\Omega_1}f(x,y,z)dxdydz$，其中$\Omega_1$是$\Omega$在$x\geq0$的部分。（）3.在柱坐標下，體積元素$dV=rdzdrd\theta$。（）4.球坐標變換中，$\rho$表示點到原點的距離。（）5.若$\Omega$由$z=0,z=1,x=0,y=0,x+y=1$所圍成，則$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}dy\int_{0}^{1}f(x,y,z)dz$。（）6.三重積分的計算順序可以隨意交換。（）7.當積分區(qū)域$\Omega$是球體時，一定用球坐標計算三重積分最簡單。（）8.若被積函數(shù)$f(x,y,z)=1$，則三重積分$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$在數(shù)值上等于積分區(qū)域$\Omega$的體積。（）9.在直角坐標下計算三重積分時，若先對$z$積分，積分限一定是關(guān)于$x,y$的函數(shù)。（）10.柱坐標和球坐標都可以將一些在直角坐標下計算復雜的三重積分簡化。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述將直角坐標下三重積分化為柱坐標下三重積分的步驟。答案：先確定積分區(qū)域$\Omega$在$xOy$面上投影區(qū)域$D$，將$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$代入邊界曲面方程，確定$r,\theta$范圍，$z$范圍由原積分區(qū)域確定，再將被積函數(shù)中的$x,y$替換，體積元素$dxdydz$換為$rdzdrd\theta$。2.說明在什么情況下適合用球坐標計算三重積分。答案：當積分區(qū)域是球體、球錐體或被積函數(shù)是$f(x^{2}+y^{2}+z^{2})$形式時，適合用球坐