全國(guó)卷3理數(shù)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\cupB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.若\(z=1+i\)，則\(\vertz^{2}-2z\vert=\)（）A.0B.1C.\(\sqrt{2}\)D.23.已知\(\tan\alpha=3\)，則\(\frac{2\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+2\cos\alpha}=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.2C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(-2\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow=(3,-2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\perp\overrightarrow\)，則\(m=\)（）A.-8B.-6C.6D.85.函數(shù)\(f(x)=\frac{\sinx+x}{\cosx+x^{2}}\)在\([-\pi,\pi]\)的圖象大致為（）（選項(xiàng)略）6.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的\(x=0\)，\(y=1\)，\(n=1\)，則輸出\(x\)，\(y\)的值滿(mǎn)足（）（程序框圖略）A.\(y=2x\)B.\(y=3x\)C.\(y=4x\)D.\(y=5x\)7.某圓柱的高為\(2\)，底面周長(zhǎng)為\(16\pi\)，其三視圖如右圖。圓柱表面上的點(diǎn)\(M\)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為\(A\)，圓柱表面上的點(diǎn)\(N\)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為\(B\)，則在此圓柱側(cè)面上，從\(M\)到\(N\)的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）（三視圖略）A.\(2\sqrt{17}\)B.\(2\sqrt{5}\)C.\(3\)D.\(2\)8.已知雙曲線(xiàn)\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一條漸近線(xiàn)方程為\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，且與橢圓\(\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1\)有公共焦點(diǎn)，則\(C\)的方程為（）A.\(\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{10}=1\)B.\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\)C.\(\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1\)D.\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1\)9.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，且在區(qū)間\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增。若實(shí)數(shù)\(a\)滿(mǎn)足\(f(2^{\verta-1\vert})\gtf(-\sqrt{2})\)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((-\infty,\frac{1}{2})\)B.\((-\infty,\frac{1}{2})\cup(\frac{3}{2},+\infty)\)C.\((\frac{1}{2},\frac{3}{2})\)D.\((\frac{3}{2},+\infty)\)10.已知函數(shù)\(f(x)=2\cos^{2}x-\sin^{2}x+2\)，則（）A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)，最大值為\(3\)B.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)，最大值為\(4\)C.\(f(x)\)的最小正周期為\(2\pi\)，最大值為\(3\)D.\(f(x)\)的最小正周期為\(2\pi\)，最大值為\(4\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^{x}\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.已知\(a,b,c\)為三條不同的直線(xiàn)，\(\alpha,\beta\)為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若\(a\parallelb\)，\(b\subset\alpha\)，則\(a\parallel\alpha\)B.若\(a\perp\alpha\)，\(b\perp\alpha\)，則\(a\parallelb\)C.若\(a\perp\alpha\)，\(a\perp\beta\)，則\(\alpha\parallel\beta\)D.若\(a\subset\alpha\)，\(\alpha\cap\beta=b\)，\(a\parallelb\)，則\(a\parallel\beta\)3.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_{n}\)，若\(a_{3}=5\)，\(S_{3}=9\)，則（）A.\(a_{1}=1\)B.\(d=2\)C.\(a_{5}=9\)D.\(S_{5}=25\)4.已知函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0)\)的部分圖象如圖所示，則（）（圖象略）A.\(A=2\)B.\(\omega=2\)C.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}](k\inZ)\)5.已知曲線(xiàn)\(C\)的方程為\(x^{2}+y^{2}-2x-4y+m=0\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)\(m=4\)時(shí)，曲線(xiàn)\(C\)表示一個(gè)點(diǎn)B.當(dāng)\(m\gt5\)時(shí)，曲線(xiàn)\(C\)表示圓C.當(dāng)\(m\lt5\)時(shí)，曲線(xiàn)\(C\)表示圓D.若曲線(xiàn)\(C\)與直線(xiàn)\(x+2y-4=0\)交于\(M\)，\(N\)兩點(diǎn)，且\(\vertMN\vert=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)，則\(m=4\)6.以下關(guān)于概率的說(shuō)法正確的是（）A.若事件\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)B.若事件\(A\)與\(B\)相互獨(dú)立，則\(P(AB)=P(A)P(B)\)C.對(duì)于任意事件\(A\)，\(B\)都有\(zhòng)(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)\)D.若事件\(A\)發(fā)生的概率為\(P(A)\)，則\(0\leqP(A)\leq1\)7.已知函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x\)，則（）A.\(f(x)\)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上單調(diào)遞增C.\(f(x)\)的極大值為\(2\)D.\(f(x)\)的極小值為\(-2\)8.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(a^{2}+b^{2}\geq\frac{1}{2}\)B.\(2^{a-b}\gt\frac{1}{2}\)C.\(\log_{2}a+\log_{2}b\geq-2\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)9.已知橢圓\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_{1},F_{2}\)，過(guò)\(F_{2}\)的直線(xiàn)\(l\)與橢圓\(C\)交于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，若\(\triangleAF_{1}B\)的周長(zhǎng)為\(8\)，離心率\(e=\frac{1}{2}\)，則（）A.\(a=2\)B.\(b=\sqrt{3}\)C.\(F_{2}(1,0)\)D.橢圓\(C\)的方程為\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(R\)，其導(dǎo)函數(shù)\(f^\prime(x)\)的圖象如圖所示，則（）（圖象略）A.函數(shù)\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞減B.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處取得極小值C.函數(shù)\(f(x)\)在\((0,2)\)上單調(diào)遞增D.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=2\)處取得極大值三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\gtb\)，則\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（）2.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)。（）3.直線(xiàn)\(x+y+1=0\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)相切。（）4.若向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow\)。（）5.函數(shù)\(y=\cosx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）6.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿(mǎn)足\(a_{n+1}=2a_{n}\)，則\(\{a_{n}\}\)是等比數(shù)列。（）7.空間中，垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行。（）8.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)。（）9.拋物線(xiàn)\(y^{2}=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,0)\)。（）10.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq4\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.已知\(\{a_{n}\}\)是等差數(shù)列，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}+a_{4}=12\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的公差為\(d\)，\(a_{3}=a_{1}+2d\)，\(a_{4}=a_{1}+3d\)，由\(a_{3}+a_{4}=12\)，\(a_{1}=1\)可得\(2a_{1}+5d=12\)，即\(2+5d=12\)，解得\(d=2\)，所以\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.已知函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)，求\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間。答案：對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)\gt0\)，解得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，此時(shí)\(f(x)\)單調(diào)遞增；令\(f^\prime(x)\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，此時(shí)\(f(x)\)單調(diào)遞減。即增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，減區(qū)間為\((0,2)\)。3.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\cosC=\frac{1}{3}\)，求\(c\)的值及\(\triangleABC\)的面積。答案：根據(jù)余弦定理\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cosC\)，可得\(c^{2}=9+16-2\times3\times4\times\frac{1}{3}=17\)，則\(c=\sqrt{17}\)。又\(\sinC=\sqrt{1-\cos^{2}C}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)，所以\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times3\times4\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}\)。4.已知橢圓\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率為\(\frac{\s