高數(shù)期末試題庫及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-12.函數(shù)$y=x^2$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$2x$B.$x$C.$3x^2$D.$2$3.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$4.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線斜率為（）A.0B.1C.eD.-15.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^2$是$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價(jià)無窮小6.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的定義域是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\gt1$D.$x\lt1$7.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.eD.∞8.函數(shù)$y=\lnx$的導(dǎo)數(shù)為（）A.$\frac{1}{x}$B.$x$C.$-\frac{1}{x}$D.$\frac{1}{x^2}$9.定積分$\int_{0}^{1}x^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.010.函數(shù)$y=\sinx$的一個(gè)原函數(shù)是（）A.$\cosx$B.$-\cosx$C.$\sinx$D.$-\sinx$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$2.以下哪些是無窮小量（）A.$\lim_{x\to0}x$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\sinx$D.$\lim_{x\to\infty}e^{-x}$3.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$可導(dǎo)的等價(jià)條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)B.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)C.極限$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$存在D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.$\int\cosxdx=\sinx+C$B.$\int\sinxdx=-\cosx+C$C.$\inte^xdx=e^x+C$D.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$5.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)6.函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上滿足羅爾定理的條件有（）A.在$[a,b]$上連續(xù)B.在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)C.$f(a)=f(b)$D.$f(x)$為單調(diào)函數(shù)7.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim_{x\to\infty}x$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$8.函數(shù)$y=x^3-3x$的駐點(diǎn)有（）A.$x=-1$B.$x=0$C.$x=1$D.$x=2$9.以下不等式正確的有（）A.當(dāng)$x\gt0$時(shí)，$x\gt\sinx$B.當(dāng)$x\gt0$時(shí)，$e^x\gt1+x$C.當(dāng)$x\gt0$時(shí)，$\ln(1+x)\ltx$D.當(dāng)$x\gt0$時(shí)，$x^2\gtx$10.曲線$y=x^2-2x+3$的性質(zhì)正確的有（）A.開口向上B.對稱軸為$x=1$C.有最小值D.與$x$軸無交點(diǎn)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處一定連續(xù)。（）2.函數(shù)$y=|x|$在$x=0$處可導(dǎo)。（）3.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$。（）4.無窮小量與無窮大量的乘積一定是無窮小量。（）5.函數(shù)$y=x^4$是偶函數(shù)。（）6.若$f^\prime(x)=0$，則$x$一定是$f(x)$的極值點(diǎn)。（）7.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。（）8.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1$。（）9.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)。（）10.函數(shù)$y=\tanx$的周期是$\pi$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-2x^2+3x-1$的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式$(X^n)^\prime=nX^{n-1}$，$y^\prime=3x^2-4x+3$。2.計(jì)算定積分$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$。答案：由積分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$，則$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=[\lnx]_{1}^{2}=\ln2-\ln1=\ln2$。3.求極限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$。答案：利用等價(jià)無窮小，當(dāng)$x\to0$時(shí)，$e^x-1\simx$，所以$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$。4.已知函數(shù)$y=\sin(2x+1)$，求其導(dǎo)數(shù)。答案：令$u=2x+1$，則$y=\sinu$，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，$y^\prime=(\sinu)^\prime\cdotu^\prime=\cos(2x+1)\cdot2=2\cos(2x+1)$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=x^2-4x+3$的單調(diào)性與極值。答案：先求導(dǎo)$y^\prime=2x-4$，令$y^\prime=0$，得$x=2$。當(dāng)$x\lt2$時(shí)，$y^\prime\lt0$，函數(shù)遞減；當(dāng)$x\gt2$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)遞增。所以在$x=2$處取極小值，$y(2)=4-8+3=-1$。2.討論極限$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3-2x+1}$的存在性。答案：分子分母同時(shí)除以$x^3$，原極限變?yōu)?\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}$，當(dāng)$x\to\infty$時(shí)，分子趨于0，分母趨于1，所以極限存在且為0。3.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的漸近線。答案：垂直漸近線：令$x-1=0$，得$x=1$是垂直漸近線。水平漸近線：$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0$，所以$y=0$是水平漸近線。4.討論函數(shù)$y=\lnx$的凹凸性。答案：求二階導(dǎo)數(shù)，$y^\prime=\frac{1}{x}$，$y^{\prime\prime}=-\frac{1}{x^2}\lt0$，對于定義域$(0,+\infty)$內(nèi)任意$x$都成立，所以函數(shù)$y=\lnx$在$(0,+\infty)$上是凸函數(shù)。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.A3.A4