高數(shù)同濟(jì)版試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^3\)C.\(2x+C\)D.\(x^2+C\)5.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\frac{1}{2}x^2+C\)C.\(x^3+C\)D.\(x^2+C\)6.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對收斂7.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點8.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)與向量\(\vec=(2,4,6)\)（）A.垂直B.平行C.既不平行也不垂直D.夾角為\(\frac{\pi}{4}\)9.微分方程\(y'=2x\)的通解是（）A.\(y=x^2+C\)B.\(y=2x^2+C\)C.\(y=x^2+1\)D.\(y=2x^2+1\)10.曲線\(y=e^x\)與\(x=0\)，\(x=1\)及\(x\)軸圍成的面積為（）A.\(e-1\)B.\(e\)C.\(e+1\)D.1二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\lnx\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)4.計算不定積分\(\intf(x)dx\)的方法有（）A.直接積分法B.換元積分法C.分部積分法D.公式法5.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}q^n(|q|<1)\)6.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則（）A.函數(shù)連續(xù)B.函數(shù)不一定連續(xù)C.全微分存在D.全微分不一定存在7.向量的運算有（）A.加法B.減法C.數(shù)乘D.數(shù)量積8.下列微分方程中，是一階微分方程的有（）A.\(y'+2y=0\)B.\(y''+y=0\)C.\(y'=x\)D.\(y'=y^2\)9.計算定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的幾何意義是（）A.曲邊梯形面積B.\(x\)軸上方部分面積減去下方部分面積C.函數(shù)\(f(x)\)與\(x\)軸圍成的面積D.不一定是面積10.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂區(qū)間求法涉及（）A.比值判別法B.根值判別法C.阿貝爾定理D.萊布尼茨判別法三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)在某點可導(dǎo)，則一定連續(xù)。（）2.\(\lim\limits_{x\to\infty}e^x=0\)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((-\infty,+\infty)\)。（）4.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)（\(f(x)\)為奇函數(shù)）。（）5.若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點可微。（）7.向量\(\vec{a}=(1,0,0)\)與向量\(\vec=(0,1,0)\)垂直。（）8.微分方程\(y'+y=0\)的通解是\(y=Ce^{-x}\)。（）9.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)的收斂半徑為\(1\)。（）10.定積分的值與積分變量的選取無關(guān)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)極限的\(\epsilon-\delta\)定義。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對于任意給定的正數(shù)\(\epsilon\)，總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿足不等式\(0<|x-x_0|<\delta\)時，對應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足不等式\(|f(x)-A|<\epsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時的極限。2.簡述不定積分與原函數(shù)的關(guān)系。答案：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)，則\(f(x)\)的不定積分\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，\(C\)為任意常數(shù)。即不定積分是原函數(shù)的全體。3.簡述多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義。答案：設(shè)函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)的某一鄰域內(nèi)有定義，固定\(y=y_0\)，給\(x_0\)一個增量\(\Deltax\)，相應(yīng)地函數(shù)有增量\(\Deltaz_x=f(x_0+\Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)\)，若\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltaz_x}{\Deltax}\)存在，則稱此極限為函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處對\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)。對\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)類似定義。4.簡述級數(shù)收斂的必要條件。答案：若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。但\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)不能推出級數(shù)收斂。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},x\neq0\\0,x=0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。答案：連續(xù)性：\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0=f(0)\)，所以函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)?？蓪?dǎo)性：\(f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\sin\frac{1}{x}\)極限不存在，所以函數(shù)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：牛頓-萊布尼茨公式表明，若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)，建立了定積分與不定積分的聯(lián)系。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的全體，結(jié)果是函數(shù)族；定積分是一個數(shù)值，由積分區(qū)間和被積函數(shù)確定。3.討論多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。答案：可微能推出函數(shù)連續(xù)且可偏導(dǎo)，但連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)也不一定可微。例如，函數(shù)\(z=\sqrt{x^2+y^2}\)在\((0,0)\)處連續(xù)但